7.2.4诱导公式(第2课时+)2024-2025学年高一下学期数学人教B版(2019)必修第三册

π
π
- sin +
2
2
3π
+ sin (-4π-)
2
=-1.
易错辨析
应用诱导公式时因弄错符号致错
【典例】 已知 sin
π
-
4
π
=a,0<α< ,求
2
π
错解:∵0<α< ,
2
π
∴-4
<
π
-
4
∴cos
sin
5π
4
=cos
π
π
π
-α< 4 ,∴cos 4 -
4
π
2
1-sin 4
=
+ =sin
C.sin
+
2
=sin 2
D.sin
+
2
=cos 2
答案:BD
)
4.已知α是第二象限角,且 cos
3
π
解析:∵- =cos
5
2
∴sin
+ =-sin α,
3
α=5.
又 α 是第二象限角,
∴cos
4
α=-5,
∴sin
3π
- 2
4
答案:5
=cos
π
+

2
4
α=-5.
3
=-5,则 sin
3π
- 2
2
>0,则 θ 是(
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
解析:∵sin
角.
答案:C
π
2
+ =cos θ<0,cos
3π
-
2
)
=-sin θ>0,∴sin θ<0,∴θ 是第三象限
3.(多选题)在△ABC 中,下列关系恒成立的是(
A.tan(A+B)=tan C
B.cos(2A+2B)=cos 2C
【变式训练 3】 求证:
sin (-5π)cos
cos (3π-)cos
证明:左边
-sin (5π-)sin cos
=cos (π-)sin [-sin (4π+)]
-sin (π-)sin cos
=
-cos sin (-sin )
-sin
= sin =-1=右边.
4
∴cos
π
-
4
∴cos
π
-
4
sin
5π
+α
4
=-cos
π
-α
4
<
π
π
-α< ,
4
4
>0,
=
π
2
1-sin
4
=sin π+
=- 1-2 .
π
+α
4
- =
=-sin
1-2 ,
π
+α
4
=-sin
π π
- 4 -α
2
在诱导公式中,记忆口诀均为“奇变偶不变,符号看象限”.而角是任意角,它
可以是单角,也可以是复角,无论什么情况,在确定符号时,都把它看作锐角.
看象限”或“正变余,余变正,符号象限定”.
3.把下列各角的三角函数化为0°到45°之间角的三角函数.
(1)sin 230°=-cos 40°;
(2)cos 301°=sin 31°.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
π
3π
(1) ±α, ±α
2
2
诱导公式中的角只能是锐角.
π
-
4
=
3π
π
2
4
1-2 .
-
>0,
- =
1-2 ,
sin
5π
4
+ .
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你如何防
范?
提示:对诱导公式三角函数值的符号确定掌握不好,在 sin
π
“ -α”看成锐角来确定三角函数值的符号.
4
3π
π
-
2
4
中,要把
π
π
正解:∵0<α< ,∴2
解:(1)原式=-sin 1 920°=-sin(360°×5+120°)=-sin(90°+30°)=-cos
√3
30°=- .
2
(2)原式=cos 1 560°=cos(360°×4+120°)=cos 120°=cos(90°+30°)=-sin
31π
(3)原式=-tan 4 =-tan
(4)原式=sin
4
3π
与 -θ
4
等互补,恰当选取诱导公式进行转换.
π
4
【变式训练 2】 已知 cos
解:sin
sin
π
+
4
3π
-
4
π
π
=sin[2 − 4 -
=sin
π π
+ -
2
4
- =
√3
,求
3
π
√3
]=cos(4-α)= 3 ,
=cos
π
-
4
=
√3
3
.
π
3π
sin( +α),sin
-
4
4
.
探究三
(2)cos 61°=sin 29°.
π
二、角α与 +α的三角函数值之间的关系
2
1.将公式 sin
提示:成立.sin
2.sin
π
2
π
-α
2
π
2
=cos α,cos
π
-α
2
=sin α 中的 α 换成-α,是否仍成立?
+ =cos(-α)=cos α,cos
+ =cos α;cos
π
2
π
+α
【变式训练】 已知
解:∵cos(π+α)=-cos
∴cos
1
cos(π+α)=- ,求
2
cos
π
2
+ 的值.
1
α=- ,
2
1
α=2,
∴α 为第一象限角或第四象限角.
①若 α 为第一象限角,则 cos
π
2
②若 α 为第四象限角,则 cos
π
2
+ =-sin α=- 1-cos 2 =- 1+ =-sin α=
π
π
=sin 4 + -sin 4 + =0.
故 sin
4 -1
πபைடு நூலகம்
4
+cos
4 +1
π-
4
=0.
2√6
α= .
5
1 2 2 √6
- 5 =- 5 ,
探究二
给值求值问题
【例 2】 (1)已知 cos
(2)已知 sin
π
-
3
分析:(1)由 cos
因此 cos
π
6
π
2
=
π
2
1
,求
2
+ =
cos
π
6
π
√3
,且|φ|<
,求
2
2
tan φ;
+ .
+ =-sin φ 可求 sin φ,再求 tan
-)
π
π
1
,sin(
-α)=
,
2
3
2
π
1
=sin(3 -α)=2.
求解给值求值问题应注意两点:
一是应用诱导公式化简条件式和待求式.
π
π
π
π
π
π
二是寻找条件中的角和结论中的角的关系,如3 -α 与 6 +α, 3 +α 与 6 -α, 4 -α 与4 +α
π
等互余, +θ
3
2π
π
与 -θ, +θ
3
2
=sin(-α)=-sin α.
+ =-sin α.
3.把下列各角的三角函数化为0°到45°之间角的三角函数.
(1)sin 145°=sin 35°;
(2)cos 105°=-sin 15°.
三、角α与
3π
±α的三角函数值之间的关系
2
1.试用角α的三角函数表示角
提示:sin
cos
3π
+α
2
3π
8+3
8+5
则原式=sin
π- +cos
π-
4
4
3π
5π
=sin 2π + 4 - +cos 2π + 4 -
3π
5π
=sin 4 - +cos 4 -
π
π
=sin π- + +cos π + -
4
4
π
π
=sin 4 + -cos 4 -
π
π
π
=sin 4 + -cos 2 - 4 +
=
.
5.若α∈
3π
π,
2
解析:∵α∈
,则
3π
π, 2
3π
2
1-sin
-
2
,∴sin α<0,
∴原式= 1-cos 2 =-sin α.
答案:-sin α
=
.
4 -1
4 +1
6.化简:sin( 4 π-α)+cos( 4 π-α)(n∈Z).
解:当 n 为偶数时,设 n=2k(k∈Z),
8-1
时,角 α
π
与 -α
2
=cos α,cos
π
2
的正弦、余弦之间有什么关系?
- =sin α.
2.若α为任意角,上面问题1中的结论是否依然成立?
提示:成立.
3.sin
π
-
2
=cos α;cos
π
-
2
=sin α.
4.把下列各角的三角函数化为0°到45°之间角的三角函数.
(1)sin 72°=cos 18°;
(2)sin 269°=-sin 1°.
(3)cos 330°=-sin
√3
60°=- .
2
( ×)
( ×)
( ×)
合作探究 释疑解惑
探究一
三角函数求值
【例1】 求下列各三角函数值.
(1)sin(-1 920°);
(2)cos(-1 560°);
(3)tan
31π
- 4
11π
(4)sin .
6
;
cos (--π)tan (-π-)
-tan ·cos ·(-cos )
= -cos ·(-tan )
=cos α,
∴f
32π
3
=cos
32π
3
32π
=cos =cos
3
2π
10π+
3
π 1
2π
=cos =-cos3 =- .
3
2
先将已知角化为
π
3π
2kπ+α(k∈Z),π±α, 2 ±α, 2 ±α
3π
2
π
+
3
π
8π- 4
π
=tan4 =1.
π 1
=-cos3 =- .
2
1
30°=- .
2
3π
2
tan (π-)cos (2π-)sin -+
已知 f(α)=
cos (--π)tan (-π-)
,求 f
32π
3
.
解:∵f(α)
3π
2
tan (π-)cos (2π-)sin -+
=
1-cos 2
=
1-
1 2 √3
=- .
2
2
1 2
2
=
√3
.
2
随堂练习
1.若cos 65°=a,则sin 25°的值是(
A.-a
B.a
C.√1-2
D.-√1-2
)
解析:sin 25°=sin(90°-65°)=cos 65°=a.
答案:B
2.若 sin
π
2
+ <0,且 cos
3π
-
8+1
则原式=sin
π- +cos
π-
4
4
π
π
=sin 2π + - 4 - +cos 2π + 4 -
π
π
=sin - 4 - +cos 4 -
π
π
π
=-sin + +cos - +
4
2
4
π
π
=-sin + +sin +
4
4
=0.
当 n 为奇数时,设 n=2k+1(k∈Z),
+ =sin
π
-
3
.
π
π
φ.(2)注意到 3 -α 与6 +α 互余,
π
2
解:(1)∵cos
∴sin
+ =-sin
√3
φ= ,
2
√3
φ=- 2 .
π
π
∵|φ|< 2 ,∴φ=-3 ,
∴tan φ=tan
(2)∵
π
-
3
π
-3
+
π
=-tan3 =-√3.
π
6
+ =
π
π π
∴cos(6 +α)=cos 2 -( 3
利用诱导公式证明恒等式
3π
2
2sin -
【例 3】 求证:
1-2si n 2
-2cos ·sin -1
证明:左边= 2
co s -si n 2
-(sin +cos )2
=(cos -sin )(cos +sin )
sin +cos
= sin -cos
tan +1
=
tan -1
tan (9π+)+1
= tan (π+)-1 =右边.
π
2
cos +
-1
=
tan (9π+)+1
.
tan (π+)-1
证明三角恒等式的常用方法和技巧:
(1)方法:三角函数式证明的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关
系,据此灵活应用相关的公式及变形,解决问题.
(2)技巧:①异名化同名;②异角化同角;③切化弦.
人教B版 数学 必修第三册
课标定位素养阐释
3π
π
1.掌握角 ±α, 2 ±α与角α的三角函数值之间的关系.
2