上海市高二数学寒假作业7

高二数学寒假作业
满分100分，考试时间90分钟
姓名____________ 班级_________学号__________
一、填空题（本大题满分36分，每题3分）：
1.已知,i r j r 是互相垂直的单位向量,设43,34a i j b i j =+=-r r r r r r
，则a b ⋅r r =________。

2.双曲线
22
149
x y -=的渐近线方程是_________________________.
3.点（2，3，4）关于x 轴的对称点的坐标为_____
4.
b
a y x y x
b a by ax 4
140142)0,0(022..1022+
=+-++>>=+-，则截得的弦长为被圆若直线的最小值是( )
5.已知矩阵1204A ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，2011B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则AB =___________.
6.已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积是_____.
7.对于曲线C ∶1
42
2-+-k y k x =1，给出下面四个命题：
（1）曲线C 不可能表示椭圆；
（2）若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜2
5
； （3） 若曲线C 表示双曲线，则k ＜1或k ＞4；
（4）当1＜k ＜4时曲线C 表示椭圆，其中正确的是 _________________.
8.空间中，到两定点A ，B 距离相等点的轨迹是_____________.
9.数列}{n a 中，若11=a ，n n n a a 2
11=++（*N n ∈），则=+++∞→)(lim 221n n a a a Λ .
10.已知方程2x +
θtan x －θ
sin 1=0有两个不等实根a 和b ，那么过点),(),,(2
2b b B a a A 的直线与圆12
2
=+y x 的位置关系是 ▲ ． 11、已知函数2
sin
)(2π
n n n f =，且)1()(++=n f n f a n ，则=++++2014321a a a a Λ 。

12、函数x x f πsin 2)(=与函数31)(-=x x g 的图像所有交点的橫坐标之和为 ．
二、选择题(本大题满分12分，每题3分)：
13.在△ABC 中，M 是AB 边所在直线上任意一点，若λ+-=2，则λ＝（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
14.若{a n }为等比数列，且2a 4＝a 6－a 5，则公比是 ( ) A ．0 B ．1或－2 C ．－1或2 D ．－1或－2
15.已知P （x,y)是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，PA ，PB 是圆C ：022
2=-+y y x 的
两条切线，A 、B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为（ ） A.3 B.2
1
2 C.22 D.2
16.设椭圆中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，点P 在椭圆上.若椭圆的离心率为1
2，△PF 1F 2
的周长为12，则椭圆的标准方程是
三、解答题(本大题满分52分)：
17. (本题满分6分)三棱锥P ABC -,底面ABC 为边长为23PBC ⊥平面ABC ，2PB PC ==,D 为AP 上一点，2AD DP =，O 为底面三角形中心. （Ⅰ）求证DO ∥面PBC ； （Ⅱ）求证：BD AC ⊥；
（Ⅲ）设M 为PC 中点，求二面角M BD O --的余弦值.
18. (本题满分9分).已知各项为正数的等差数列{}n a 满足3732a a ⋅=，2812a a +=，且
2
n
a n
b =（*N n ∈）．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设n n n c a b =•，求数列{}n c 的前n 项和n S ．
19. (本题满分10分).已知椭圆C ：122
22=+b
y a x )0(>>b a ，
（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为
2
3
，求椭圆的标准方程； （2）在（1）的条件下，设过定点()2,0M 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点B A ,，且AOB ∠为锐角（O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围；
（3）过原点O 任意作两条互相垂直的直线与椭圆C ：122
22=+b
y a x )0(>>b a 相交于
P
D
C
B
A
O
Q R S P ,,,四点，设原点O 到四边形PQSR 的一边距离为d ，试求1=d 时b a ,满足的条件.
20. (本题满分13分).三棱锥P ABC -,底面ABC
为边长为PBC ⊥平面ABC ，2PB PC ==,D 为AP 上一点，2AD DP =，O 为底面三角形中心.
（Ⅰ）求证：DO ∥面PBC ； （Ⅱ）求证：BD AC ⊥；
（Ⅲ）求平面DOB 截三棱锥P ABC -所得的较大几何体的体积.
21. (本题满分14分).若数列{}n b 满足：对于*∈N n ，都有d b b n n =-+2（常数），则称数列{}n b 是公差为d 的准等差数列．如：若⎩⎨⎧+-=.
9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c n 则{}n c 是公差
为8的准等差数列．
（1）求上述准等差数列{}n c 的前9项的和9T ；
（2）设数列{}n a 满足：a a =1，对于*∈N n ，都有n a a n n 21=++．求证：{}n a 为准等差数列，并求其通项公式；
（3）设（2）中的数列{}n a 的前n 项和为n S ，试研究：是否存在实数a ，使得数列{}n S 有连续的两项都等于50．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．
P
D
C
B
A
O
试卷答案
1.
2.32
y x =±
3.)4,3,2(--
4.9
5.4244-⎛⎫
⎪-⎝⎭
6.
53
π 7. (2)(3) 8.
9.
3
2 10.相切
11、4032-； 12、17； 13.C 14.C 15.D 16.B
因为△PF 1F 2的周长＝2a ＋2c ＝12，1
e=2
c a =，所以a ＝4，c ＝2，b 2＝12， 故选B. 17.
证明：（Ⅰ）连结AO 交BC 于点E ，连结PE .O Q 为正三角形ABC 的中心， ∴2AO OE =,且E 为BC 中点.又2AD DP =， ∴DO ∥PE , --------------2分
DO ⊄Q 平面PBC ，PE ⊂平面PBC
∴DO ∥面PBC ． --------------4分
（Ⅱ）PB PC =Q ,且E 为BC 中点, ∴PE BC ⊥,
又平面PBC ⊥平面ABC ，∴PE ⊥平面ABC , ------------5分
由（Ⅰ）知，DO ∥PE ，∴DO ⊥平面PBC ,∴DO AC ⊥ ----------6分 连结BO ,则AC BO ⊥,又DO BO O =I ,
∴AC ⊥平面DOB ,∴AC BD ⊥． -----------8分
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，,,EA EB EP 两两互相垂直，且E 为BC 中点，所以分别以,,EA EB EP 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则
21(3,0,0),(0,0,1)(1,0,),(0,(0,)32A B P D C M ，------9分
∴12
(0,),()223
BM DB =-
=--uuu r uu u r 设平面BDM 的法向量为(,,)n x y z =u r
，则203102
n DB x z n BM y z ⎧⋅=--=⎪⎪
⎨⎪⋅=+=⎪⎩r uu u
r r uuu r
，
令1y =
，则(n =r
． --------------10分
由（Ⅱ）知AC ⊥平面DBO ,
∴(3AC =-u u u r
为平面DBO 的法向量，
∴cos ,||||
n AC n AC n AC ⋅<>===r uuu r
r uuu r r uuu r
由图可知，二面角M BD O --
． --------------12分
C
x
18.解： {}n a Θ是等差数列，127382=+=+∴a a a a ， ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨
⎧=+=⋅84
1232737373a a a a a a ，或37
84a a =⎧⎨=⎩，
又0>n
a Θ，()1318437
3+=-+=⇒=⇒⎩⎨⎧==∴n d n a a d a a n ． （II ）122
+==∴n a n n
b ，()121+⋅+=⋅=∴n n n n n b a
c ，
123n n S c c c c =++++L L 而
23413452223242(1)2(1)(1)22223242(1)2(2)
n n n n S n S n ++∴=⨯+⨯+⨯+++⨯⨯=⨯+⨯+⨯+++⨯L L L L L L L L L L L L 由得
23412
22341223412
22
2
(1)(2)22121212(1)212121212(1)22222(1)2(1)212
(1)22n n n n n n n n
n n n n S n n n n n n ++++++++--=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯⨯+⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯+++++-+⨯-+⨯--+⨯-⨯L L L L L L 得
=12 =42（1-2）
=4+ =4+4(2-1) =2
22(14)
n n S n ++∴⨯L L L L =分
略
19.
20.
证明：（Ⅰ）连结AO 并延长交BC 于点E ， 连结PE 、DO . --------------1分
O Q 为正三角形ABC 的中心，
∴2AO OE =,
又2AD DP =， ∴DO ∥PE , --------------2分
DO ⊄Q 平面PBC ，PE ⊂平面PBC --------------3分
∴DO ∥面PBC ． --------------4分
（Ⅱ）PB PC =Q ,且E 为BC 中点, ∴PE BC ⊥,
又平面PBC ⊥平面ABC ，∴PE ⊥平面ABC ． --------------5分 由（Ⅰ）知，DO ∥PE ，∴DO ⊥平面ABC , ∴DO AC ⊥ --------------6分
连结BO ,则AC BO ⊥, 又DO BO O =I ,∴AC ⊥平面DOB , --------------7分
∴AC BD ⊥． --------------8分
（Ⅲ）连结BO 并延长交AC 于点F ,连结DF ,则面DOB 将三棱锥P ABC -截成三棱锥
D ABF -和四棱锥B DFCP -两个几何体 . --------------9分
112333D ABF ABF V S DO -∆=⨯⨯==分
11
33
P ABC ABC V S PE -∆=⨯⨯=⨯= --------------11分
21.
C
B
（1）.2112
4
)4117(25)353(9=⨯++⨯+=
T
（2）n a a n n 21=++Θ（*∈N n ）①
)1(221+=+++n a a n n ②
②-①得22=-+n n a a （*∈N n ）． 所以，{}n a 为公差为2的准等差数列． 当n 为偶数时，a n n a a n -=⨯⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-=2122， 当n 为奇数时，解法一：12121-+=⨯⎪⎭
⎫
⎝⎛-++=a n n a a n ；
解法二：()[]11)1(2)1(21-+=----=--=-a n a n n a n a n n ； 解法三：先求n 为奇数时的n a ，再用①求n 为偶数时的n a 同样给分．
⎩⎨
⎧--+=∴为偶数）
　（为奇数）（n a n n a n a n ,,1
（3）解一：
当n 为偶数时，()22
1
2212222221222n n n n a n n n a S n =⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅=；
当n 为奇数时，()22
12121212221212121⨯⎪⎭⎫
⎝⎛---+
-⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++⋅=n n n a n n n a S n
2
1
212-+=
a n ． 当k 为偶数时，5021
2==k S k ，得10=k ．
由题意，有10502
1
92129=⇒=-+⨯=a a S ；
或105021
1121211-=⇒=-+⨯=a a S ． 所以，10±=a ．
解二：当n 为偶数时，n a a n n 21=++Θ, ()2
2
11312n n S n =-+⋅⋅⋅++⨯=∴ 当n 为奇数时，1)1(2
121-++-⨯=+=-a n n a S S n n n 21
212-+=a n ．
以下与解法一相同．。