高等数学说课稿《数列极限》（精选5篇）

高等数学说课稿《数列极限》（精选5篇）
第一篇：高等数学说课稿《数列极限》
《数列极限》说课稿
袁勋
这次我说课的内容是由盛祥耀主编的《高等数学》（上册）第一章第二节极限概念中的数列极限。

这部分内容在课本第18页至20页。

下面我把对本节课的教学目的、过程、方法、工具等方面的简单认识作一个说明。

一、关于教学目的的确定：
众所周知，对极限这个概念的理解是高等数学的学习基础，但由于学生对数列极限概念及其定义的数学语言表述的理解比较困难，这种理解上的困难将影响学生对后继知识的学习，因此，我从知识、能力、情感等方面确定了本次课的教学目标。

1．在知识上，使学生理解极限的概念，能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限；
2．在能力上，培养学生观察、分析、概括的能力和在探索问题中的，由静态到动态、由有限到无限的辨证观点。

体验‚从具体到抽象，从特殊到一般再到特殊‛的认识过程；
3．在情感上，通过介绍我国古代数学家刘徽的成就，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感，并使他们对数列极限知识有一个形象化的了解。

二、关于教学过程的设计：
为了达到以上教学目的，根据两节。

在具体教学中，根据‚循序渐进原则‛，我把这次课分为三个阶段：‚概念探索阶段‛；‚概念建立阶段‛；‚概念巩固阶段‛。

下面我将对每一阶段教学中计划解决的主要问题和教学步骤作出说明。

（一）‚概念探索阶段‛ 1.这一阶段要解决的主要问题
在这一阶段的教学中，由于注意到学生在开始接触数列极限这个概念时，总是以静止的观点来理解这个描述变化过程的动态概念，总
觉得与以前知识相比，接受起来有困难，似乎这个概念是突然产生的，甚至于不明概念所云，故我在这一阶段计划主要解决这样几个问题：
①使学生了解以研究函数值的变化趋势的观点研究无穷数列，从而发现数列极限的过程；
②使学生形成对数列极限的初步认识；③使学生了解学习数列极限概念的必要性。

2．本阶段教学安排
我采取温故知新、推陈出新的教学过程，分三个步骤进行教学。

① 温故知新
由于研究数列极限首先应对数列知识有一个清晰的了解，因此在具体教学中通过对教案中5个具体数列通项公式的思考让学生对数列通项公式这个概念产生回忆，指出以前研究数列都是研究的有限项的问题，现在开始研究无限项的问题。

然后引导学生回忆数列是自变量为自然数的函数，通项公式就是以n为自变量的、定义域为自然数集的函数an的解析式。

再引导学生回忆研究函数，实际上研究的就是自变量变化过程
1⎫中，函数值变化的情况和变化的趋势，并以第[2]的数列an=⎛⎪为例说
⎝2⎭明：当n=2、3、4、5 时，对应的an=1、1、1、1 就说明自变量由
242168增加到5时，对应的函数值就由1减小到1这种变化情况。

若问自然数n
216n-1一直增加下去，函数an应怎样变化下去，这就是研究变化的趋势。

这样利用通项公式就可把数列变化趋势问题与函数值变化趋势问题有机地结合起来，引导学生从函数值变化趋势的角度来看待例题中五个数列的变换趋势。

通过这种讨论，在对变化趋势这个概念的理解上发挥心理学上所提‚无意注意‛的作用，使学生对进一步讨论的数列变换趋势问题不至于太陌生。

② 推陈出新
在对5个数列变化趋势的分析过程中，通过引导，由学生讨论得
到数列（2）、（3）、（5）的共同特征，近而向学生说明：‚具有类似于数列（2）、（3）、（5）共性的数列称为有极限的数列，共性中的‚趋近于一个确定的常数‛称它为有极限数列的极限‛。

并进一步和学生讨论如何给数列的极限下定义，此时我根据学生情况给予提示，给出数列极限概念的描述性说明：当项数无限增加时，数列的项无限趋近于某一个确定的常数的数列称为有极限的数列，这个确定的常数称为数列极限。

③ 刘徽及其《割圆术》的介绍
学生对数列极限概念有了一定的认识，为了使学生认识到这个概念并不是突然产生的，是和他们已有的知识结构密切相关的，为此在第一阶段我设计了这一部分教学。

我一方面介绍了我国古代数学家对数列极限思想所做的贡献，如‚在世界数学史上，刘徽是最早运用这种数列极限的思想解决数学问题的大数学家。

用这种指导思想计算圆面积的方法，就称为刘徽割圆术.用类似刘徽割圆术的方法求出圆周率的近似值，虽然在公元前3世纪的古希腊数学家阿基米德也算出过，但所用的方法却比刘徽所用的方法繁杂的多。

‛
在另一方面重点结合计算机模拟刘徽割圆术，介绍这种算法的指导思想：‚割之弥细，所失弥少。

割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣‛。

通过课件动态演示，进一步在‚无意注意‛作用的发挥上下文章，加深学生对‚变化趋势‛、‚趋近于‛、‚极限‛等概念的认识，为下一阶段极限概念的教学提供对这个概念感性认识的基础。

（二）‚概念建立阶段‛ 1．这一阶段要解决的任务
由于数列极限概念及其定义的数学语言表述具有高度的概括性、抽象性，学生初次接触很困难。

具体讲，在ε-N语言中，学生搞不清ε的两重性——绝对的任意性、相对的确定性；学生搞不清‚N‛，不太理解N的实质是表示项数n无限增大过程中的某一时刻，从这一时刻起，所有an(n>N)，都聚集在以极限值A为中心，ε为半径的邻域中，N是否存在是证明数列极限存在的关键。

因此在这一阶段的教学中，我采取‚启发式谈话法‛与‚启发式讲解
法‛，注意不‚一次到位‛，这样在本阶段我设计解决的几个主要问题是：
①建立、理解数列极限的定义；
②认识定义中反映出的静与动的辨证关系；③初步学习论证数列极限的方法。

2．本阶段教学安排
本阶段教学安排分三个步骤进行。

① 问题的提出
在教学安排上，我根据学生形成对数列极限的初步认识，以数列
‚1,2,3,4,K,n,K‛
2345n+1为例，提出一个学生形成极限概念时不好回答的问题：根据数列极限定义直观描述，这个数列的极限是1，即当项数n无限增大时，这个数列的项无限地趋近于1，问题是为什么不说这个数列的项无限地趋近于1.1，从而使学生发现问题在于自己已获得的数列极限概念中‚无限趋近于‛这一描述，这种描述比较含混，感到有必要对极限定义做进一步精确描述。

② 问题的解决
具体讲，由于数轴上两点的距离及其解析表示对学生来说是很熟悉的，故我在教学中利用数轴引导学生先得出结论：‚趋近于‛是距离概念，距离的解析表示是绝对值，‚无限趋近于‛就可用距离要多小有多小来表示。

即数列项与确定常数差的绝对值要多小有多小。

然后让学生通过具体计算如：‚思考已知数列中是否有到1.1的距离为0.01的项？‛使学生知道已知数列的项不能与1.1的距离要多小有多小，即1.1不是已知数列的极限，从而使学生对‚要多小有多小‛这一概念有了进一步认识，并为量化|an-1|当项数无限增加时要多小有多小打下基础。

③数列极限定义的得出
在‚检验‘1’是否满足：已知数列的项与1的差的绝对值是否要多小有多小‛的教学过程中，我采取‚给距离找项数‛的方法。

具体讲让学生考虑已知数列中有哪些项与1的差的绝对值小于0.1、0.05、0.0011、0.0001，让学生把用计算器计算的结果在黑板上列表写出并解释所得的结果，如提示学生得出结论：‚已知数列中第908项以后各项与1的差的绝对值小于0.0011。

‛这种讨论的目的是使学生感
受到‚N‛是项数n 无限增大的过程中的一个标志，进而说明对于给定的每一个正数，可找到N，当n>N时，|an-1|小于这个正数。

进而让学生注意无论表示距离的正数取的多么小，也不能说成‚要多小有多小‛，而把具体值改为ε后即可解决这个问题。

这样通过讨论，在我的引导下，使学生得到结论：‚数列：1,22,33,42,34,K,53,4n,K n+1n,K n+1当项数无限增大时，它的项越来越趋近于1‛，也就是数列：1,24,K,5的极限为1，并进一步让学生总结出一般数列的极限的准确定义。

（三）‚概念巩固阶段‛
1．本阶段的教学计划
在这一阶段的教学中我计划做两件事情：
①说明N、ε、|an-A |
2．本阶段的教学过程根据上述说明，这一阶段分为两个步骤。

① 定义说明
除了对极限概念予以说明外为了加深学生对数列极限概念中N、ε、|an-A |
‚1,0,-1,0,1,K,1sinnπ,K‛
4162n-12并提示其根据定义考虑问题。

这样使学生进一步体会由特殊到一般再到特殊的认识规律。

② 习题训练
在学生对数列极限定义的初步掌握的基础上，为巩固学生所学，我让学生作课本例1，练习这道题目的在于总结上一阶段得到数列极限的过程，同时让学生熟悉数列极限定义的应用步骤；在此基础上结合北大附中学生的特点我安排了例2，让学生作这道题目的在于通过对这道题的证明与讨论可让学生对等比数列{1，q，q2，…qn，…}收敛、发散性有一个清楚的了解。

在例2的处理手法上我让学生先各抒己见，然后采用几何画板演示，验证同学猜想，从而激发学生的求知欲望。

由于{1，q，q2，…qn，…}和{1,1,1,K1,K}是今后学习过程中的常用数列，因此我觉得23n学生对例
1、例2的掌握的好坏将对后面的学习产生直接影响。

③ 补充说明
对于较好的班级，还可考虑用直角坐标系来代替数轴。

由于数列是以自然数集子集为定义域的特殊函数，其图象是离散的点.这使得数列的项与点(n,f(n))，即点(n,an)对应起来.当数列{an}有极限A时，在直角坐标平面内的几何意义为：任给正数ε，存在一个以直线y=A+ε和y=A-ε为边界的条形区域，存在一个N，当n>N时，所有的点（n, an）都落在这个条形区域内。

换句话说数列的项在坐标平面内对应的点，只有有限个点落在条形区域外。

利用这种方式教授这节课，形象直观，并为今后函数极限的教学打下基础。

三、关于教学用具的说明：
这节课的教学目的之一是使学生通过对极限概念形成过程的了解，较为自然地接受极限的定义，以利于加深对概念的理解和掌握。

因此在本节课中主要使用的是计算器和计算机课件演示。

计算器的作用在于使学生理解‚ε‛和‚N‛内在关系；计算机课件演示目的有三：其一是通过史料的简单介绍对学生进行爱国主义教育；其二是在概念形成阶段，为学生提供感性认识的基础；其三可对学生所得的结论验证、完善，加深对问题的理解，巩固所学的概念。

总之‚恰当使用现代化教学手段，充分发挥其快捷、生动、形象的辅助作用，最大限度地使学生获得并掌握所学的知识，‛是我选择和使用教学用具的根据。

四、结束语：
总之，作为极限概念这部分的教学，应使学生初步体会到极限思想是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想。

充分发挥学生主体意识，在老师引导下自主地获得知识。

体验数学概念形成的过程。

第二篇：数列极限
《数学分析》教案--第二章数列极限
xbl
第二章数列极限
教学目的：
1.使学生建立起数列极限的准确概念，熟练收敛数列的性质；
2.使学生正确理解数列收敛性的判别法以及求收敛数列极限的常用方法，会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题。

要求学生：逐步建立起数列极限的数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念.会应用数列极限的并能运用
概念.深刻理解定义证明有关命题，语言正确表述数列不以某定数为极限等相应陈述；理解并能证明收敛数列、极限唯一性、单调性、保号性及不等式性质；掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理及单调有界定理，会用这些定理求某些收敛数列的极限；初步理解柯西准则在极限理论中的重要意义，并逐步学会应用柯西准则判定某些数列的敛散性；
教学重点、难点：本章重点是数列极限的概念；难点则是数列极限的用.教学时数：16学时
定义及其应
§ 1 数列极限的定义
教学目的：使学生建立起数列极限的准确概念；会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题。

教学重点、难点：数列极限的概念，数列极限的 N定义及其应用。

教学时数：4学时
一、引入新课：以齐诺悖论和有关数列引入——
二、讲授新课：
（一）数列：
1.数列定义——整标函数.数列给出方法: 通项,递推公式.数列的几何意义.-《数学分析》教案--第二章数列极限
xbl
2.特殊数列: 常数列,有界数列,单调数列和往后单调数列.（二）数列极限: 以为例.定义(的“
”定义)定义(数列收敛的“
”定义)注：1.关于：的正值性, 任意性与确定性,以小为贵;2.关于：非唯一性,对只要求存在,不在乎大小.3.的几何意义.（三）用定义验证数列极限：讲清思路与方法.例1
例2
例3
例4
证
注意到对任何正整数
时有
就有
第三篇：数列极限
若当n无限增大时数列能无限的接近某一个常数a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限，不具有这种特性的数列不是收敛数列
收敛数列的特性是随着n的无限增大，数列无限接近一个常数a，这就是说，当n充分大时，数列的通项与常数a之差的绝对值可以任意小
第四篇：数列极限
§2.1 数列极限概念
第二章数列极限
§1 数列极限概念
Ⅰ.教学目的与要求
1.理解数列极限概念并利用定义证明数列是否收敛.
2.掌握无穷小数列概念并利用其证明数列是否收敛于指定的常数.Ⅱ.教学重点与难点: 重点: 数列极限概念.难点: 数列极限概念、利用数列极限定义证明数列是否收敛于指定的常数.Ⅲ.讲授内容
若函数f的定义域为全体正整数集合N+，则称
f:N+→R或f(n), n∈N+
为数列．因正整数集N+的元素可按由小到大的顺序排列，故数列f(n)也可写作
a1,a2,Λ,an,Λ,或简单地记为{an}，其中an，称为该数列的通项．关于数列极限，先举一个我国古代有关数列的例子．
例1古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一
尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去．
把每天截下部分的长度列出如下(单位为尺)：第一天截下111，第二天截下2，……，第n天截下n，……这样就得到一个数列 22 2111⎧1⎫,2,Λ,n,Λ．或⎨n⎬.222⎩2⎭
不难看出，数列{11}的通项随着n的无限增大而无限地接近于0．一般地说，对于数2n2n
列{an}，若当n无限增大时an能无限地接近某一个常数a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限．不具有这种特性的数列就不是收敛数列．
收敛数列的特性是“随着n的无限增大，an无限地接近某一常数a”．这就是说，当n充分大时，数列的通项an与常数a之差的绝对值可以任意小．下面我们给出收敛数列及其极限的精确定义．定义1设{an}为数列，a为定数．若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当，n>N
时有|an-a|<ε则称数列
n→∞
{an收敛于a，定数a称为数列{an}的极限，并记作
liman=a，或an→a(n→∞).读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于a或an趋于a”．
若数列{an}没有极限，则称{an}不收敛，或称{an}为发散数列．
定义1常称为数列极限的ε—N定义．下面举例说明如何根据ε-N 定义来验证数列极限．
例2证明lim证由于
|
=0，这里α为正数
n→∞nα
11-0|=, nαnα
⎡
1故对任给的ε>0，只要取N=⎢1
⎢α⎣ε
这就证明了lim
⎤
⎥+1，则当n>N时，便有⎥⎦
111<<ε|-0|<ε.即nαNαnα
=0.n→∞nα
例3证明
3n2
=3.lim2
n→∞n-
3分析由于
3n299
|=2≤(n≥3).(1)|2
n-3n-3n
因此，对任给的ε>o，只要
9<ε，便有 n
3n2
-3|<ε,(2)|2
n-3
即当n>
ε
时，(2)式成立．又由于(1)式是在n≥3的条件下成立的，故应取N=max{3,9
ε
证任给ε>0,取N=max{3,据分析，当n>N时有（2）式成立.于是本题得证.9
ε
注本例在求N的过程中，(1)式中运用了适当放大的方法，这样求N就比较方便．但应注意这种放大必须“适当”，以根据给定的E能确定出N．又(3)式给出的N不一定是正整
数．一般地，在定义1中N不一定限于正整数，而只要它是正数
即可．例4证明limq=0，这里|q|<1．
n→∞
n
证若q=0，则结果是显然的．现设0
|q-0|=|q|=
n
n
-1，则h>0． |q|, n
(1+h)
并由(1+h)n≥1+nh得到
<.(4)
1+nhnh1,则当n>N时，由（4）式得|qn-0|<ε.这对任给的ε>0,只要取N=εh
|q|≤
n
就证明了limq=0.n→∞
n
注本例还可利用对数函数y=lgx的严格增性来证明(见第一章§4例6的注及(2)式)，简述如下：
对任给的ε>0(不妨设ε<1)，为使|qn-0|=|q|n<ε，只要nlg|q|<lgε即n>
lgε
（这里也假定0<|q|<1).lg|q|
于是，只要取N=
lgε
即可。

lg|q|
例5证明lima=1=1，其中a>0．
n→∞
证(ⅰ)当a=1时，结论显然成立.(ⅱ)当a>1时，记α=a-1，则α>0.由
a=(1+α)≥1+nα=1+n(a-1)
1n
1n
n
1n
得a-1≤
a-1
(5)n.1n
任给ε>0，由(5)式可见，当n>
a-1
ε
=N时，就有a-1<ε，即|a-1|<ε.所以
1n
lima=1.n→∞
(ⅲ)当0<a<1时，,1n
１
a
－１=β则β>0.由
⎛1⎫1
=(1+β)n≥1+nβ=1+n -1⎪⎪a⎝a⎭
a-1-11-a1
得1-a≤（6）=<-1
n+a-1.1+n-1a1+n-1a
任给ε>0，由（6）式可见，当n>１+所以lima=1.n→∞
a-1-1
ε
=N时，就有1-a<ε，即|a-1|<ε.1n1n
关于数列极限的ε—N定义，应着重注意下面几点：
1．ε的任意性定义1中正数ε的作用在于衡量数列通项an与定数a的接近程度，ε愈小，表示接近得愈好；而正数ε可以任意地小，说明
an与a可以接近到任何程度．然而，尽管ε有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出N，又ε既时任意小的正数，那么
ε,3ε或ε2等等同样也是任意小的正数，因此定义1中不等式
ε
|an-a|<ε中的ε可用,3ε或ε2等来代替．同时，正由于ε是任意小正数，我们可限定
ε小于一个确定的正数(如在例4的注给出的证明方法中限定ε<1)．另外，定义1中的|an-a｜＜ε也可改写成|an-a|≤ε.2．N的相应性一般说，N随ε的变小而变大，由此常把N写作N(ε)，来强调N是依赖于ε的；但这并不意味着N是由ε所唯一确定的，因为对给定的ε，比如当N=100时，能使得当•n>N时有|an-a|<ε，则N=101或更大时此不等式自然也成立．这里重要的是N的存在性，而不在于它的值的大小．另外，定义1中的，n>N也可改写成n≥N．3．从几何意义上看，“当n>N时有|a-a|<ε”意味着：所有下标大于N的项aｎ都落在邻域U(a;ε)内；而在U(a;ε)之外，数列{an}中的项至多只有N个(有限个)．反之，任给ε>0，若在U(a;ε)之外数列{an}中
N，n
则当n>N时有an∈U(a,ε)，即当n>N时有|an-a|
定义1任给ε>0，若在U(a,ε)之外数列{an}中的项至多只有有限个，则称数列{an}
'
收敛于极限a．
由定义1，可知，若存在某ε０>0，使得数列{an}中有无穷多个项落在U(a,ε0)之外，则{an}一定不以a为极限．
例6证明{n2}和{(-1)n}都是发散数列．
证对任何a∈R，取ε0=1，则数列{n}中所有满足n>a+1的项(有无穷多个)显然
都落在U(a;ε0)之外，故知{n2}不以任何数a为极限，即{n2}为发散数列.至于数列{(-1)n}，当a=1时取ε0=1，则在U(a;ε0)之外有{(-1)n}
中的所有奇数项；当a≠1时取ε0=
|a-1|,则在U（a;ε0)之外有{(-1)n}中的所有偶数项．所以2
{(-1)n}不以任何数a为极限，即{(-1)n}为发散数列．例7设limxn=limyn=a，做数列{zn}如下：
n→∞
n→∞
{zn}:x1,y1,x2,y2,Λ,xn,yn,Λ.证明limzn=a.n→∞
证，因limxn=limyn=a,故对任给的ε>0，数列{xn}和{yn}中落在U(a;ε)之外
n→∞
n→∞的项都至少只有有限个.所以数列{zn}中落在U(a;ε)之外的项也至多只有有限个．故由定义1'，证得limzn=a．
n→∞
例8设{an}为给定的数列，{bn}为对{an}增加、减少或改变有限项之后得到的数列．证明：数列{bn}与{an}同时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等．
'
证设{an}为收敛数列，且liman=a．按定义1，对任给的ε>0，数列{an}中落在n→∞
U(a;ε)之外的项至多只有有限个．而数列{bn}是对{an}增加、减少或改变有限项之后得到的，故从某一项开始，所以{bn}中落在U(a;ε)之{bn}中的每一项都是{an}中确定的一项，外的项也至多只有有限个．这就证得limbn=a．
n→∞
现设{an}发散．倘若{bn}收敛，则因{an}可看成是对{bn}增加、减少或改变有限项之
后得到的数列，故由刚才所证，{an}收敛，矛盾．所以当{an}发散时，{bn}也发散．在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：定义2若liman=0，则称{an}为无穷小数列．n→∞
由无穷小数列的定义，不难证明如下命题：
定理2.1数列{an}收敛于a的充要条件是：{an-a}为无穷小数列．Ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解数列极限概念，利用定义证明数列是否收敛、是否收敛于指定的常数.要求学生课堂上给出liman≠a和liman不存在的“ε—N”定义.n→∞
n→∞
Ⅴ 课外作业: P２７ 2、3、4、6、7、8.
第五篇：高等数学-极限
《高等数学》极限运算技巧
(2009-06-02 22:29:52)转载▼ 标签：分类：数学问题解答
杂谈知识/探索
【摘要】《高等数学》教学中对于极限部分的要求很高，这主要是因为其特殊的地位决定的。

然而极限部分绝大部分的运算令很多从中学进入高校的学生感到困窘。

本文立足教材的基本概念阐述，着重介绍极限运算过程中极具技巧的解决思路。

希望以此文能对学习者有所帮助。

【关键词】高等数学极限技巧
《高等数学》极限运算技巧
《高等数学》的极限与连续是前几章的内容，对于刚入高校的学生而言是入门部分的重要环节。

是“初等数学”向“高等数学”的起步阶段。

一，极限的概念
从概念上来讲的话，我们首先要掌握逼近的思想，所谓极限就是当函数的变量具有某种变化趋势（这种变化趋势是具有唯一性），那么函数的应变量同时具有一种趋势，而且这种趋势是与自变量的变化具有对应性。

通俗的来讲，函数值因为函数变量的变化而无限逼近某一定值，我们就将这一定值称为该函数在变量产生这种变化时的极限！
从数学式子上来讲，逼近是指函数的变化，表示为。

这个问题不再赘述，大家可以参考教科书上的介绍。

二，极限的运算技巧
我在上课时，为了让学生好好参照我的结论，我夸过这样一个海
口，我说，只要你认真的记住这些内容，高数部分所要求的极限内容基本可以全部解决。

现在想来这不是什么海口，数学再难也是基本的内容，基本的方法，关键是技巧性。

我记得blog中我做过一道极限题，当时有网友惊呼说太讨巧了！其实不是讨巧，是有规律可循的！今天我写的内容希望可以对大家的学习有帮助!我们看到一道数学题的时候，首先是审题，做极限题，首先是看它的基本形式，是属于什么形式采用什么方法。

这基本上时可以直接套用的。

1，连续函数的极限这个我不细说，两句话，首先看是不是连续函数，是连续函数的直接带入自变量。

2，不定型
我相信所有学习者都很清楚不定型的重要性，确实。

那么下面详细说明一些注意点以及技巧。

第一，所有的含有无穷小的，首先要想到等价无穷小代换，因为这是最能简化运算的。

等价代换的公式主要有六个：
需要注意的是等价物穷小代换是有适用条件的，即：在含有加减运算的式子中不能直接代换，在部分式子的乘除因子也不能直接代换，那么如果一般方法解决不了问题的话，必须要等价代换的时候，必须拆项运算，不过，需要说明，拆项的时候要小心，必须要保证拆开的每一项极限都存在。

此外等价无穷小代换的使用，可以变通一些其他形式，比如：
等等。

特别强调在运算的之前，检验形式，是无穷小的形式才能等价代换。

当然在一些无穷大的式子中也可以去转化代换，即无穷大的倒数是无穷小。

这需要变通的看问题。

在无穷小的运算中，洛必答法则也是一种很重要的方法，但是洛必答法则适用条件比较单一，就是无穷小比无穷小。

比较常见的采用洛必答法则的是无穷小乘无穷大的情况。

(特别说明无穷小乘无穷大可以改写为无穷小比无穷小或者无穷大比无穷大的形式，这根据做题的需要来进行）。

第二，在含有∞的极限式中，一般可分为下面几种情况：（1），“∞/∞ ”形式
如果是幂函数形式的（包含幂函数四则运算形式），可以找高次。