山东省临沂市高二下学期期中联考数学(理)试题Word版含答案

高二数学试题（理科）
（本试卷满分150分，时间：120分钟） 一.选择题（每小题5分，共60分） 1. 若i 是虚数单位，则复数2018
(23)z i
i =⋅-的虚部等于（ ）
A. 2
B. 3
C. 3i
D. 3-
2.
6
1()
2x x +
的展开式中，常数项等于（ ）
A. 52
B. 15
16 C. 20 D. 160
3. 《论语·子路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足”，所以，名不正，则民无所措手足.上述推理过程用的是（ ）
A. 类比推理
B. 归纳推理
C. 演绎推理
D. 合情推理
4. 某班准备从甲、乙、丙等6人中选出4人在班会上发言介绍学习经验，要求甲、乙、丙三人中至少有两人参加，那么不同的发言顺序有（ ）
A ．18种
B ．12种
C ． 432种
D ．288种
5. 若纯虚数z 满足(12)z i a i -=+,其中a R ∈,i 是虚数单位，则实数a 的值等于（ ）
A. 2-
B.
12-
C. 2
D. 12
6. 若函数
2()1x a f x x -=
+在2x =-取得极值，则函数()f x 的单调递减区间是（ ） A.(,2)-∞-和(0,)+∞ B.(2,0)- C.(2,1)--和(1,0)- D. (2,1)--
7. 在等差数列{}n a 中，如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r +
+=，那么必有
3m n p r
a a a a ++=，
类比该结论，在等比数列{}n b 中, 如果,,,m n p r N *
∈，且3
m n p r ++=，那么必有（ ）
A ．
3m n p r
b b b b ++= B.
3
m n p r b b b b ++= C.
3m n p r
b b b b = D.
3
m n p r b b b b =
8. 若一条曲线上任意一点处的切线的斜率均为正数，则称该曲线为“升曲线”.已知函数()f x 定
义域为R ，且满足'
()()f x f x >，则下列曲线中是“升曲线”的是（ ）
A. ()y xf x =
B.
()x
y e f x = C. ()f x y x =
D. ()
x
f x y e =
9. 利用数学归纳法证明不等式
1111++1()232n n n N n *+
++<∈- 的过程中，由n k =到
1n k =+时，不等式的左边增加的项数为（ ）
A.1
B.21k -
C. 2k
D. k
10．已知函数
3
()3f x x x m =-+，若方程()0f x =有两个相异实根12,x x ，且120x x +<，则实数m 的值等于（ ）
A. 2-或2
B. 2-
C. 2
D. 0
11. 已知03cos()2m x dx π
π
=-⎰，则23)m x y z -+(的展开式中，2
m x yz -项的系数等于（ ）
A. 180
B. 180-
C. 90-
D. 15
12. 若直线y ax b =+与曲线()ln 1f x x =-相切，则b
a 的最小值为（ ）
A.
21e -
B. 2e -
C. e -
D. 1
e -
二.填空题（每小题5分，共20分）
13. 若i 是虚数单位，复数z 满足121z
i
i =+-，则复数z 在复平面内对应点的坐标为________.
14.
观察下列各式：11=，
141123+
=+，113
1121232++=+++，
1118
11212312345
+
++=++++++，由此可猜想，若
1111+12123123+10m +
++=++++++ ，则m =__________.
15. 在某班举行的“庆五一”联欢晚会开幕前已排好有8个不同节目的节目单，如果保持原来的节目相对顺序不变，临时再插进去,,A B C 三个不同的新节目，且插进的三个新节目按,,A B C 顺序出场，那么共有__________种不同的插入方法(用数字作答)．
16. 若函数2
1()l n 22f x x a x x =-
-存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是
——————.
三.解答题（共6小题，满分70分）
17. （本小题满分10分）已知i 是虚数单位，复数z 的共轭复数是z ，且满足521i z i ++=
+.
（I ）求复数z 的模||z ；
（II ）若复数(2)z mi -在复平面内对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围.
18. （本小题满分12分）已知01a b <<<. （I ）试猜想ln a b +与ln b a +的大小关系； （II ）证明（I ）中你的结论.
19. （本小题满分12分）若(21)n
x -的展开式中第3项的系数是第5项的系数的4倍.
（I ）求n 的值；
（II ）若
2012(21)(45
)(45)(45)n
n
n
x a a x a x a x -=+-+-++-
，求
024n
a a a a
++++ 的值.
20. （本小题满分12分）已知函数
ax x e x f x --=2
)(的图像在0=x 处的切线方程为2y x b =+.
（I ）求实数,a b 的值；
（II ）若函数'()1
()f x g x x -=
，求()g x 在(0,)+∞上的极值.
21. （本小题满分12分）已知数列
{}
n a 的前
n 项和为n S ，且满足
3
(,,0)2n n S a b n N b R b *=
+∈∈≠.
（I ）求证：
{}n a 是等比数列； （II ）求证：{}1n a +不是等比数列.
22. （本小题满分12分）已知函数
()()()2ln ,.
f x a x x
g x x =+=
（I ）当2a =-时，求函数()()()h x f x g x =+的单调区间；
（II ）当0a >时，若对于区间[]
1,2上的任意两个不相等的实数12,x x ，都有
()()
()()1
2
12f
x f x g x g x
-<
-成立，求实数a 的取值范围.
高二数学试题（理科）参考答案及评分标准 一.选择题
1.B
2. A
3. C
4. D
5. C
6. C
7. D
8. D
9. B 10. C 11. B 12. C 二.填空题
13.(3,1)- 14. 20
11 15.165 16. (1,)-+∞
三.解答题
17. 解析：（I ）设复数(,)z x yi x y R =+∈，则z x yi =-， ---------1分
于是
(5)(1)
2()(1)(1)i i x yi x yi i i +-++-=
+-，即332x yi i -=-， ---------3分
所以33
2x y =⎧⎨
-=-⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩
，即12z i =+. ---------5分
故
||z ==. ---------6分 （II ）由（I ）得(2)(12)(2)(22)(4)z mi i mi m m i -=+-=++-， ---------8分 由于复数(2)z mi -在复平面内对应的点在第一象限，
所以22040m m +>⎧⎨
->⎩
，解得14m -<<. ---------10分 18. 解：（I ）取
211,a b e e =
=，则21l n 1a b e +=-，1
ln 2b a e +=-，则有ln ln a b b a +>+；
再取
3211,a b e e =
=，则31ln 2a b e +=-，21ln 3b a e +=-，则有ln ln a b b a +>+.
故猜想ln ln a b b a +>+. ---------4分
（II ）令()ln f x x x =-，则
'1()1f x x =-
，当01x <<时，'1
()10
f x x =-<，
即函数()f x 在(0,1)上单调递减， ---------7分 又因为01a b <<<，所以()()f a f b >，
即ln ln a a b b ->-， ---------10分 故ln ln a b b a +>+. ---------12分
19. 解：（I ）(21)n
x -展开式的通项1(2)(1)(1)2r n r r r r n r n r r n n T C x C x ---+=-=-⋅，
0,1,2,,r n
= .
---------1分
因此第3项的系数是222(1)2n n C --,第5项的系数444
(1)2n n C --, ---------3分 于是有
222(1)2n n C --4444(1)2n n C -=-, ---------4分 整理得24
n n C C =，解得6n =. ---------6分 （II ）由（I ）知626
0126(21)(45)(45)(45)x a a x a x a x -=+-+-++- .
令451x -=，即
3
2x =
，得6
0123456264a a a a a a a ++++++==， ---------8分
令451x -=-，即1x =，得
6
012345611a a a a a a a -+-+-+==， ---------10分 两式相加得
02462()65a a a a +++=，
故
024665
2a a a a +++=
. ---------12分
20. 解析：（I ）因为，a x e x f x
--='2)(所以a f -='1)0(. -----------2分
于是由题知12a -=，解得1a =-. -----------4分
因此
x x e x f x +-=2
)(，而1)0(=f ，于是b +⨯=021，解得1=b . ----------6分 （II ）由（I ）得'()12()x f x e x g x x x --==，所以'
2(1)()x e x g x x -=
， ----------8分
令'
()0g x =得1x =，
当x 变化时，'
(),()g x g x 的变化情况如下：
x
(0,1)
1 (1,)+∞
'
()g x
-
0 +
()g x
递减
极小值
递增
------------10分 所以()g x 在1x =取得极小值(1)2g e =-，无极大值. ---------12分
21. 证明：（I ）因为32n n S a b =+，所以当2n ≥时1132n n S a b
--=+， ---------1分 两式相减得1133
()()
22n n n n S S a b a b ---=+-+，
即1
33
22n n n a a a -=-， ---------3分
因此13n
n a a -=， ---------4分
故
{}n a 是公比为3q =的等比数列. ---------5分
（II ）(方法一)假设{}1n a +是等比数列，则有2
11(1)(1)(1)n n n a a a -++=++， 即
2
1111211n n n n n n a a a a a a -+-+++=+++. ---------7分 由（I ）知{}n a 是等比数列，所以
2
11n n n a a a -+=， 于是112n n n a a a -+=+，即11169n n n a a a ---=+，解得10n a -=，
这与
{}n a 是等比数列相矛盾， ---------11分
故假设错误，即
{}1n a +不是等比数列. ---------12分
(方法二) 由（I ）知1113
2a S a b ==+，所以12a b =-，因此1
23n n a b -=-⋅. ---------7分
于是
123112,116,1118a b a b a b +=-+=-+=-， ---------8分
假设{}1n a +是等比数列，则有
2
213(1)(1)(1)a a a +=++， ---------10分 即
2(16)(12)(118)b b b -=--，解得0b =，
这与0b ≠相矛盾， ---------11分 故假设错误，即
{}1n a +不是等比数列. ---------12分
22. 解析：（I ）当2a =-时，
22
()()()2(ln )22ln h x f x g x x x x x x x =+=-++=--，定义域为(0,)+∞.
2'
2222
()22x x h x x x x --=--=
. -----------2分
令'
()0h x >得2
10x x -->，解
得
x >
，令'
()0h x <得210x x --<，解
得
0x <<
，
因此()h x
的单调递增区间是)+∞
，单调递减区间是. ---------4分
（II ）不妨设
1212x x ≤<≤.
因为0a >，所以()'1
(1)0
f x a x =+>，因此()f x 在[1,2]上单调递增，即
12()()f x f x <. 又因为2
()g x x =在[1,2]上也单调递增，所以
12()()g x g x <. 所以不等式()()()()
1212f x f x g x g x -<-即为
2121()()()()f x f x g x g x -<-，
即
2211()()()()f x g x f x g x -<-， ------------7分
设()()()F x f x g x =-，即2
()ln F x ax a x x =+-，
则
21()()F x F x <，因此()F x 在[1,2]上单调递减.
于是
'()20a
F x a x x =+
-≤在[1,2]上恒成立，
即
2
21x a x ≤
+在[1,2]上恒成立. -------------9分 令22()1x u x x =+，则2'
2
24()0(1)x x u x x +=>+，
即()u x 在[1,2]上单调递增，因此()u x 在[1,2]上的最小值为(1)1u =，------------11分 所以1a ≤，
故实数a 的取值范围是01a <≤. ------------12分。