2018-2019年初中沪科版九年级数学上册21.2二次函数的图像和性质第3课时同步训练课件
《二次函数的图象和性质》课件-沪科版
知2－导
感悟新知
归纳
知2－讲
代数性质: (1)当a>0时，函数有最小值k，当a<0时，函数有最大值 k； (2)如果a>0，当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y 随x的增大而增大；如果a<0，当x<0时，y随x的增大而 增大，当x>0时，y随x的增大而减小.
感悟新知
知2－讲
方法 2: 以对应点作中介平移: 观察图中的 两条抛 物线，抛物线y= -x2+1 的顶点是（0，1）， 抛物线 y=-x2-1 的顶点是 （0，-1），因为顶点向下 平移 了2 个单位，所以将 抛物线y=-x2+1 向下平移 2 个 单位可得到抛物线y= -x2-1.
感悟新知
1. 对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法错误的是( A. 最小值为2 B. 图象与x轴没有公共点 C. 当x<0时，y随x的增大而增大 D. 图象的对称轴是y轴
函数y=-x2-2的 图象可由y=-x2 的图象沿y轴向 下平移2个单位 长度得到.
图象向上移还是向下移,移多 少个单位长度,有什么规律吗?
知3－导
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+k (a≠0)的图象形状
相同 , 只是位置不同；当k>0时, 函数y=ax2+k
的图象可由y=ax2的图象向 上 平移 k 个单位得到,
感悟新知
例1
知2－讲
画出函数y=-x2+1与y=-x2-1 的图象，并根据图象回
沪科版九年级数学上册21.2二次函数y=ax2的图象与性质说课稿
本节课的教学内容为沪科版九年级数学上册21.2二次函数y=ax^2的图象与性质。该章节位于初中数学课程中函数学习的重要部分，是在学习了二次函数的概念及其表达式的基础上，进一步研究二次函数的图象与性质。主要知识点包括：
（3）了解二次函数y=ax^2的图象与系数a的关系，能够根据系数a判断图象的开口方向、对称轴等。
2.过程与方法：
（1）通过观察和分析二次函数y=ax^2的图象，培养学生观察、归纳、总结的能力。
（2）运用数学方法，如数形结合、函数变换等，引导学生探究二次函数的性质。
（3）通过实例分析，使学生能够灵活运用二次函数的图象与性质解决实际问题。
1.数形结合法：通过将二次函数的代数表达式与图象相结合，帮助学生直观地理解函数的性质和变化规律。这种方法符合学生的认知特点，有助于抽象概念的形象化，提高学习效果。
2.探究式教学法：引导学生通过观察、猜想、验证、总结的过程来发现二次函数的性质。这种教学方法能够激发学生的好奇心和探究欲，培养他们的创新精神和实践能力。
（2）二次函数y=ax^2的性质，如单调性、最值等。
（3）二次函数y=ax^2的图象与系数a的关系。
2.教学难点：
（1）如何引导学生理解二次函数y=ax^2的图象特征与系数a的关系。
（2）如何让学生掌握二次函数y=ax^2的性质，并能运用这些性质解决实际问题。
（3）如何培养学生运用数形结合、函数变换等数学方法探究二次函数的性质。
3.展示一个有趣的数学问题，如“如何确定一个抛物线拱门的最高点？”通过问题引导学生思考，自然过渡到二次函数的性质。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我将采取以下步骤引导学生深入理解二次函数的图象与性质：
沪科版数学九年级上册21.2.1《二次函数y=a2的图象和性质》教学设计
沪科版数学九年级上册21.2.1《二次函数y＝a2的图象和性质》教学设计一. 教材分析《二次函数y＝a2的图象和性质》是沪科版数学九年级上册第21章第2节第1课时的一节内容。
本节主要让学生掌握二次函数y＝a2（a≠0）的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性等。
通过本节的学习，为学生后续学习二次函数的一般形式及实际应用打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数的基本概念和一次函数的性质，具备了一定的函数思维。
但二次函数的知识相对抽象，对学生空间想象能力和逻辑思维能力的要求较高。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探索二次函数的图象和性质。
三. 教学目标1.理解二次函数y＝a2（a≠0）的图象特征，掌握其开口方向、对称轴、顶点坐标等性质。
2.能够运用二次函数的性质解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和合作交流能力。
四. 教学重难点1.重难点：二次函数y＝a2（a≠0）的图象和性质的推导及应用。
2.难点：二次函数性质的理解和运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生自主探究二次函数的图象和性质。
2.运用多媒体辅助教学，直观展示二次函数的图象，提高学生的空间想象能力。
3.采用合作交流的学习方式，培养学生的团队协作能力。
4.通过实例分析，让学生学会将二次函数的性质应用于实际问题。
六. 教学准备1.准备多媒体教学课件，包括二次函数图象的动态展示、实例分析等。
2.准备相关练习题，包括基础题、提高题和拓展题。
3.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示二次函数y＝x2的图象，引导学生回顾一次函数的图象和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）介绍二次函数y＝a2（a≠0）的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性等。
通过多媒体展示，让学生直观地感受二次函数的图象特征。
上海沪科版初中数学九年级上册21.2.2 第3课时 二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质1
相信自己，就能走向成功的
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上海沪科版初中数学
第一步 教师不光要传授知识，还要 告诉学生学会生活。数学思 维可以让他们更理性地看待
人生
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象顶点为(－2，3)，且过(－1，5)，则抛物
线的表达式为__________________．
1．会用描点法画出 y＝a(x＋h)2＋k 的
解析：由题意可设抛物线的表达式为 y
图象；
＝a(x＋2)2＋3，把 x＝－1，y＝5 代入得 5
2．掌握形如 y＝a(x＋h)2＋k 的二次函 ＝a(－1＋2)2＋3，所以 a＝2，所以抛物线
图象的增减性不同．故选 C. 方法总结：对于抛物线 y＝a(x＋h)2＋
1 将抛物线 y＝ x2 向右平移 2 个单
3
k，其对称轴为 x＝－h，顶点坐标为(－h， 位，再向下平移 1 个单位，所得的抛物线
k)．当 a>0 时，对称轴左边的图象，y 随 x 是( )
的增大而减小，对称轴右边的图象，y 随 x 的增大而增大，当 a<0 时，反之．
2
A．－3 B．1 C．5 D．8
二、合作探究
探究点一：二次函数 y＝a(x＋h)2＋k
的图象与性质
【类型一】 抛物线 y＝a(x＋h)2＋k 的
开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性
对于抛物线 y＝3(x－3)2＋6，下
解析：C、D 两点是抛物线与 x 轴的交
列结论：①抛物线的开口向上；②对称轴 点，当 C 的横坐标取得最小值时，抛物线
三、板书设计
二次函数 y＝a（x＋h）2＋k
的图象和性质
1.顶点坐标、对称轴、开口方向
{
2.抛物线的增减性 3.函数的最值
沪科版九上数学二次函数的图象和性质
y 9
6
3
-4 -2O 2 4 x 双击演示
操作
当取更多个点时，函
y
数 y = x2 的图象如下： 9
对称轴与抛物线的交
6
点叫做抛物线的顶点
这条抛物线关于 y 轴
对称，y 轴就是它的
3
对称轴.
-3 o 3
x
二次函数 y = x2 的图象形如物体抛射时所经过
顶点是 (0，0) .
典例精析
例1 已知 y = (m + 1)xm2 + m 是二次函数，且其图象开口 向上，求 m 的值和函数解析式.
m + 1＞0， ① 解：依题意有
m2 + m = 2， ② 解②得 m1 = -2，m2 = 1. 由①得 m＞-1， ∴ m = 1. 此时，二次函数为 y = 2x2.
1. y＝x2 是一条抛物线；
y y = x2
2. 图象开口向上；
3. 图象关于 y 轴对称；
4. 顶点 (0，0)；
5. 图象有最低点.
o
x
说说二次函数 y = -x2 的图象有哪些特征，与同伴交流.
1. y＝-x2 是一条抛物线； 2. 图象开口向下；
y o
x
3. 图象关于 y 轴对称；
4. 顶点 (0，0)；
a＞0 y
Ox
a＜0 y
Ox
开口向上，在 x 轴上方 开口向下，在 x 轴下方
a 的绝对值越大，开口越小
关于 y 轴对称，对称轴是直线 x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当 x = 0 时，y最小值 = 0 在对称轴左侧递减
沪科版数学九年级上册 21.2二次函数的图象和性质-学案
二次函数的图象和性质【学习内容】二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质【学习目标】1．会用描点法画出二次函数y=ax²+k的图象。
2．能通过函数y=ax²+k的图象和解析式，正确说出其开口方向，对称轴以及顶点坐标等图象性质。
3．知道二次函数y=ax²+k与函数y=ax²的关系，体会数形结合的思想方法。
4．会作二次函数y=a(x+h)2的图象。
5．通过函数y=a(x+h)2的图象理解其性质。
6．理解二次函数y=a(x+h)²的图象与二次函数y=ax²的图象的关系。
7．会画二次函数y=a(x+h)²+k的图象。
8．知道二次函数y=a(x+h)²+k的性质。
9．二次函数y=a(x+h)²+k的图象与y=ax²、y=ax²+k、y=a(x+h)²的关系。
10．会用配方法把二次函数y=ax²+bx+c化成y=a(x+h)²+k的形式，并能求出对称轴、顶点坐标、画出图象。
11．熟记二次函数y=ax²+bx+c的顶点坐标公式。
【学习重难点】1．二次函数y=ax²+k的图象和性质。
2．函数y=ax²+k与y=ax²的相互关系。
3．作函数y=a(x+h)2的图象，探索性质。
4．理解y=a(x+h)2与y=ax²的相互关系。
5．二次函数y=a(x+h)²+k的图象与性质。
6．抛物线平移规律及二次函数y=a(x+h)²+k中a、h、k作用的理解。
7．函数y=ax²+bx+c的图象、性质及顶点坐标公式。
【学时安排】4学时【第一学时】【学习过程】一、预习导航（一）链接。
1．二次函数y=2x²的图象是______，它的开口向_____，对称轴是_______，在对称轴的右侧，y随x的增大而________，函数y=-6x²当x=______时，有最______值，其最______值是________。
沪科版九年级上册数学教案 21.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第二十一章二次函数与反比例函数21.2 二次函数的图像与性质21.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质【知识与技能】1.使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象.2.使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.【过程与方法】让学生通过绘画、观察二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的.【情感态度与价值观】通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识.通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标.理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质.多媒体课件.（课件展示问题）由前面的知识，我们知道，函数y=2x2的图象，向上平移2个单位，可以得到函数y=2x2+2的图象；函数y=2x2的图象，向右平移3个单位，可以得到函数y=2(x-3)2的图象，那么函数y=2x2的图象，如何平移，才能得到函数y=2(x-3)2+2的图象呢？函数y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性质?【教学说明】通过这些练习题，使学生对以前的知识加以复习巩固，以便这节课的应用.这几个问题可找层次较低的学生回答，由其他同学给予评价.一、思考探究，获取新知你能确定y=-2x 2+4x+6的开口方向、对称轴、顶点坐标吗？具有哪些性质? 学生讨论得到：把二次函数y=ax 2+bx+c 转化成y=a(x-h)2+k 的形式再通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图.解：y=-2x 2+4x+6 =-2(x 2-2x)+6 =-2(x 2-2x+1-1)+6 =-2［(x-1)2-1］+6 =-2(x-1)2+8因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）. 你能从上图中总结出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的性质吗？ 【归纳结论】二次函数y=ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴是x=-ab2，顶点坐标是(-ab 2，a b ac 442 )【教学说明】让学生仔细观察所画图形，相互交流得出结论. 二、典例精析，掌握新知问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题?(画出二次函数y ＝2(x －1)2和二次函数y ＝2x 2的图象，并加以观察) 问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y ＝2x 2与y ＝2(x －1)2的图象吗?教学要点1．让学生完成下表填空。
数学沪科版九年级上册21.2 二次函数的图象和性质(3) 同步练习(解析版)
2019-2019学年数学沪科版九年级上册21.2 二次函数的图象和性质（3）同步练习一、选择题1.抛物线的顶点坐标为（）A. （3||，0）B. （-3||，0）C. （0||，3）D. （0||，－3）2.对于函数的图象||，下列说法不正确的是（）A. 开口向下B. 对称轴是C. 最大值为0D. 与y轴不相交3.把抛物线向下平移2个单位||，再向右平移1个单位||，所得到的抛物线是（）A. B. C. D.4.已知二次函数y=a（x﹣2）2+c（a＞0）||，当自变量x分别取、3、0时||，对应的函数值分别为y1、y2、y3||，则y1、y2、y3的大小关系是（）A. y1＞y2＞y3B. y2＞y1＞y3C. y3＞y1＞y2D. y3＞y2＞y15.在一次函数y=kx+b（k≠0）中||，y随x的增大而减小||，则二次函数y=k（x﹣1）2的图象大致是（）A. B. C. D.6.函数的图象可以由函数的图象( )得到A.向左平移3个单位B.向右平移3个单位C.向上平移3个单位D.向下平移3个单位7.要得到抛物线y= （x﹣4）2||，可将抛物线y= x2（）A.向上平移4个单位B.向下平移4个单位C.向右平移4个单位D.向左平移4个单位8.若抛物线的顶点在x轴正半轴上||，则的值为（）A.B.C.或D.9.对于抛物线y=﹣（x+2）2+3||，下列结论中正确结论的个数为（）①抛物线的开口向下；②对称轴是直线x=﹣2；③图象不经过第一象限；④当x＞2时||，y随x的增大而减小．A. 4B. 3C. 2D. 110.已知抛物线y=a（x-2）2+k（a＞0||，a||，k为常数）||，A（-3||，y1）B（3||，y2）C（4||，y3）是抛物线上三点||，则y1||，y2||，y3由小到大依序排列为（）A. y1＜y2＜y3B. y2＜y1＜y3C. y2＜y3＜y1D. y3＜y2＜y1二、填空题11.抛物线经过点（-2||，1）||，则________||。
沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y=a2+b+c的图象和性质》(第3课时)教学设计
沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y＝a2＋b＋c的图象和性质》（第3课时）教学设计一. 教材分析沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y＝a2＋b＋c的图象和性质》（第3课时）的内容包括：二次函数的图象和性质，具体有顶点坐标、开口方向、对称轴等。
这部分内容是整个初中数学的重要内容，对于学生来说，理解二次函数的图象和性质有助于解决实际问题，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本课时，已经掌握了二次函数的一般形式，对于二次函数的图象和性质有一定的了解，但顶点坐标、开口方向、对称轴等概念还需进一步巩固。
此外，学生对于实际问题的解决能力有待提高。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等性质，能够运用二次函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生发现二次函数的图象和性质，提高学生的观察能力和逻辑思维能力。
3.情感态度价值观：培养学生对数学的兴趣，增强学生解决实际问题的信心。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等性质。
2.难点：如何运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解二次函数的图象和性质。
2.启发式教学法：引导学生发现问题、解决问题，培养学生的逻辑思维能力。
3.小组合作学习：让学生在合作中发现问题、解决问题，提高学生的沟通能力。
六. 教学准备1.教师准备：教材、教案、PPT、黑板、粉笔等。
2.学生准备：教材、笔记本、文具等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入二次函数的图象和性质，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师利用PPT展示二次函数的图象和性质，引导学生观察、分析，发现二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等性质。
3.操练（10分钟）教师给出几个例子，让学生运用二次函数的性质解决问题，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）教师通过提问、讨论等方式，检查学生对二次函数图象和性质的掌握情况。
沪科版数学九年级上册21.2二次函数图象和性质(3)
-5 -4 -3灿-若2寒-1星 o 1 2 3 4 5 x
函数y=-(x+3)2的图 象可由y=-x2的图象 沿x轴向左平移3个
单位长度得到.
函数y=-(x-2)2的图 象可由y=-x2的图象 沿x轴向右平移2个
单位长度得到.
y=-(x+3)2
y=-x2 y=-(x-2)2
图象向左移还是向右移,移多少个 单位长度,有什么规灿律若寒吗星 ?
y a(x h)2的图象与性质
灿若寒星
回顾：二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k
a>0
a<0
图象
开口 对称性
顶点
k>0
k<0
开口向上
k>0 k<0
开口向下
|a|越大，开口越小
关于y轴对称
(0,k)
顶点是最低点
顶点是最高点
增减性 当x<0时，y随x的增大而减小 当x<0时，y随x的增大而增大
（5）抛物线y=7(x-3)2的开口 向上，对称轴是 x=3 ， 顶点坐标是 (3,0) ，在对称轴的左侧，y随x的增大 而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而 增大， 当x= 3 时，取得最 小 值，这个值等于 0 。
灿若寒星
y=a(x+h)2 (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值
函数y= (x+1)2的 图象可由y= x2的 图象沿x轴向左平 移1个单位长度得
函数y到= ;(x-1)2的 图象可由y= x2的 图象沿x轴向右平 移1个单位长度得
到;
y (x 1)2
y 10
9 8 7 6 5 4
沪科202X课标版初中数学九年级上册第二十一章21.2 二次函数的图像和性质(共27张PPT)
10.如图所示的抛物线： 当x=_0_或__-2_时，y=0； 当x<－2或x>0时， y__<___0； 当x在－_2_<__x_<0范围内时，y>0； 当x=___-1__时，y有最大值___3__.
3
11、试分别说明将抛物线的图象通 过怎样的平移得到y=x2的图象：
(1) y=(x-3)2+2 ；
-1 -1.5
-3 -5.5 …
再描点、连线
直线x=－1
(1)抛物线 y1(x1)21
2
的开口方向、对称轴、顶点?
抛物线 y1(x1)21 的开口向下, 2
对称轴是直线x=－1,
顶点是(－1, －1).
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 y1(x1)21
y=ax2
向左(右)平移 y=a(x+h)2
向上(下)平 y=a(x+h)2+k
|h|个单位
移|k|个单位
y=ax2 向上(下)平 y=ax2+k 向左(右)平 y=a(x+h)2+k
移|k|个单位
移|h|个单位
抛物线y=a(x+h)2+k有如下特 点:
(1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时，开口向下;
解：∵二次函数图象的顶点是(1,-1)， ∴设抛物线解析式是y=a(x-1)2-1， ∵其图象过点(0,0)， ∴0= a(0-1)2-1， ∴a=1 ∴y= (x-1)2-1
（2）根据图象回答：
当x x<0或x>2 时，y>0; (0,0) 当x x=0或2 时，y=0;
新沪科版九年级数学上册同步教案：21.2 第3课时y=a(x+h)^2的图像和性质
第3课时二次函数y=a(x+h)2的图象和性质◇教学目标◇【知识与技能】利用描点法画出二次函数y=a(x+h)2的图象.【过程与方法】使学生经历探究二次函数y=a(x+h)2性质的过程,理解函数y=a(x+h)2的性质,理解二次函数y=a(x+h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系,培养学生观察、分析、猜测、归纳解决问题的能力.【情感、态度与价值观】培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神.◇教学重难点◇【教学重点】会用描点法画出二次函数y=a(x+h)2的图象,理解二次函数y=a(x+h)2的性质,理解二次函数y=a(x+h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系.【教学难点】理解二次函数y=a(x+h)2的性质,理解二次函数y=a(x+h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的相互关系.◇教学过程◇一、情境导入在青青草原上,慢羊羊在课堂上讲授有关二次函数的知识,只见他把已画的y=x2的图象向上、下、左、右四个方向平移1个单位长度.然后提出问题:平移后所得的四条抛物线与抛物线y=x2的形状、大小如何?二、合作探究探究点1二次函数y=a(x+h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的相互关系典例1抛物线y=ax2向右平移3个单位长度后经过点(-1,4),求a的值和平移后抛物线对应的二次函数的表达式.[解析]抛物线y=ax2向右平移3个单位长度后的抛物线对应的二次函数的表达式可表示为y=a(x-3)2,.把x=-1,y=4代入,得4=a×(-1-3)2,解得a=14∴平移后抛物线对应的二次函数的表达式为y=1(x-3)2.4).已知二次函数y=a(x+m)2的顶点坐标为(-1,0),且过点A(-2,-12(1)求这个二次函数的表达式.(2)点B(2,-2)在这个函数图象上吗?(3)你能通过左、右平移函数图象,使它过点B 吗?若能,请写出平移方案.[解析] (1)由已知可得y=a (x+1)2,又∵过点A (-2,-12),∴a=-12, ∴y=-12(x+1)2.(2)当x=2时,y=-12×(2+1)2=-92≠-2, ∴点B (2,-2)不在这个函数图象上.(3)能,因为左、右平移只改变m 的值,∴-2=-12(2+m )2,∴2+m=±2,∴m 1=0,m 2=-4,∴y=-12x 2或y=-12(x-4)2∴方案一:把y=-12(x+1)2向右平移1个单位;方案二:把y=-12(x+1)2向右平移5个单位.探究点2 函数y=a (x+h )2的图象特征典例2 在同一坐标系中画出二次函数y=2x 2,y=2x 2+1和y=2(x+1)2的图象,并回答下列问题:(1)它们的形状相同吗?(2)分别说出它们的开口方向、顶点坐标和对称轴.[解析] 画出函数的图象如图:(1)它们的形状相同;(2)函数y=2x 2的图象开口向上,顶点坐标为(0,0),对称轴是y 轴;函数y=2x 2+1的图象开口向上,顶点坐标为(0,1),对称轴是y 轴;函数y=2(x+1)2的图象开口向上,顶点坐标为(-1,0),对称轴是直线x=-1.探究点3 函数y=a (x+h )2的增减性典例3 若二次函数y=-(x-m )2,当x>1时,y 随x 的增大而减小,则m 的取值范围是 .[解析] ∵y=-(x-m )2,∴二次函数对称轴为x=m ,开口向下,∴当x>m 时,y 随x 的增大而减小,∵当x>1时,y 随x 的增大而减小,∴m ≤1.≤1对于二次函数y=9(x-1)2,下列结论正确的是()A.y随x的增大而增大B.当x>0时,y随x的增大而增大C.当x=-1时,y有最小值0D.当x>1时,y随x的增大而增大[答案] D三、板书设计二次函数y=a(x+h)2的图象和性质◇教学反思◇通过本节学习使学生认识到y=a(x+h)2的图象是由y=ax2的图象左右平移得到的,初步认识到a,h对y=a(x+h)2位置的影响,a的符号决定抛物线方向,|a|决定抛物线开口的大小,h决定向左、向右平移,从中领会数形结合的数学思想.。
数学沪科版九年级(上册)21.2二次函数的图象和性质课件(共17张PPT)
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17
14
小
结 回味无穷
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax²的关系
1.相同点:
(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,
在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大.
a<0时,开口向下,
y=ax2+bx+c(a>0)
顶点坐标 对称轴 开口方向
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
向上
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
向下
增减性 最值
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在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时,最小值为 4ac b2
2(x2 4x 4) 7 8
a x
b
2
c
b2
2a
4a
a x
b
2
4ac
b2
.
2(x 2)2 1
2a
4a
一半的平 方
整理:前三项 化为平方形 式
化简
9
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函数y=ax²+bx+c的对称轴、顶点
坐标是什么？
例1.y写出a下x2列函b数x 的c开的口对方向称、轴对是称轴:x、顶点b坐标：
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达标测评
1、若二次函数y =ax2-4x-6的图象的顶点横坐标 是 2__、-_2抛_，_物_则平线a移=_y______12__x_2_个_3_单x_位25是，由再抛向物_线__y平移- 12_x_2 先_个向 单位得到的。 3、已知抛物线y=x2-4x+h的顶点在直线y =4x-1 上，求抛物线的顶点坐标。
沪科版-数学-九年级上册-21.2二次函数的图象和性质3
项目内容课题21.2二次函数的图象和性质----------y=ax2+bx+c的图象和性质修改与创新教学目标1．知识与技能使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。
并能掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
2．过程与方法经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。
3．情感态度与价值观体会二次函数解析式不同形式的含义，体会数学模型解决实际问题的意义。
.教学重、难点重点：用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。
难点：难点：理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－b2a、(－b2a，4ac－b24a)是教学的难点。
教学准备小黑板或PPT教学过程一、提出问题1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？(函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口向下，对称轴为直线x ＝2，顶点坐标是(2，1)。
2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系?(函数y＝－4(x－2)2＋1的图象可以看成是将函数y＝－4x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的)3．函数y ＝－4(x －2)2＋1具有哪些性质?(当x ＜2时，函数值y 随x 的增大而增大，当x ＞2时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ＝2时，函数取得最大值，最大值y ＝1)4．不画出图象，你能直接说出函数y ＝－12x 2＋x －52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?5．你能画出函数y ＝－12x 2＋x －52的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗?二、解决问题由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数y ＝－12x 2＋x －52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数y ＝－12x 2＋x －52的图象，进而观察得到这个函数的性质。
数学沪科版九年级(上册)21.2.2二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(3)
s
则另一边长为
60 2
l
m ，场地的
面积为： S＝l ( 30－l )
200
即 S＝－l 2 +30l ( 0 < l < 30 ) 100
可以看出，这个函数的图象是一条抛物 线的一部分，这条抛物线的顶点是函数的图 O 象的最高点，也就是说，当l取顶点的横坐标 时，这个函数有最大值．由公式可求出顶点 的横坐标．
5 10 15 20 25 30 l
二、新课讲解
S＝－l 2 +30l ( 0 < l < 30 )
因此，当
l
b 2a
30
2 1
15
时，
4ac b2 302
S有最大值 4a 4 1 225 ，
也就是说， 当l是15m时，场地的面积S最大 （S＝225m2）.
二、新课讲解 归纳：
一般地，因为抛物线 y ax2 bx c
a
2a
2a
a
a（ [ x
b ）2 2a
4ac b2 4a 2
]
a（x b ）2 4ac b2
2a
4a
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图象及性质.
四、强化训练
1.二次函数y=（x-2）2+7的顶点坐标是（ B ）
A.（-2，7） B.（2，7） C.（-2，-7） D.（2，-7）
的顶点是最低（高）点，所以当 x b 2a
时，二次函数有最小（大）值 4ac b2 . 4a
二、新课讲解
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)
沪科版九上数学第3课时 二次函数的图象和性质
最值 当 x = -h 时，y最小值=k
a＜0 向下
直线 x = -h （-h，k） 当 x = -h 时，y最大值
=k
增减性
当 x＜-h 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＞-h 时，y 随 x
当 x＞-h 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＜-h 时，y 随 x
顶点式 y a x+h2 k a 0
点
(1，3)
是这段抛物线的顶点，
3 A
因此可设这段抛物线表达式为 2
B(1，3)
y = a(x－1)2＋3 (0≤x≤3).
∵ 这段抛物线经过点 (3，0)， 1
∴
0
=
a(3－1)2＋3.
解得
a
=－
3 4
.
O
C(3，0)
1 2 3x
பைடு நூலகம்
∴
抛物线的解析式为
y
=
－
3 4
(x－1)2＋3
(0≤x≤3).
当 x = 0 时，y = 2.25.
向左平移 1 个单位
y 1 (x 1)2 1 2
y 1 (x 1)2 1 2
怎样移动抛物线 y 1 x2 可以得到抛物线 y 1 (x 1)2 1？
2
2
平移方法2
y
y 1 x2 2
向左平移 1 个单位
y 1 (x 1)2 2
向1 下个
平单 移位
-4 -2 O 2 4 x -2
方法总结：已知函数图象上的点，则这点的坐标
必满足函数的表达式，代入即可求得相关的参数值.
例3 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水 管.在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形 水柱在与池中心的水平距离为 1 m 处达到最高，高度为 3 m，水柱落地处离池中心 3 m， 水管应多长?
沪科版-数学-九年级上册-22.3二次函数的图象和性质 根据图象平移确定二次函数关系式
根据图象平移确定二次函数关系式二次函数图象的平移变换就是将二次函数的图象向某个方向平行移动.根据平移变换确定函数关系式问题是一种重要的题型，在中考试题中时常出现，解决此类问题的关键先把二次函数的关系式化为顶点式y=a(x-h)2+k 的形式，然后根据平移的特征确定a 、h 、k 的变与不变。
平移抛物线y=a(x-h)2+k ，不变的是决定抛物线的形状和开口的a ，变化的是决定抛物线位置的顶点坐标（h,k ）.1．上下平移当抛物线y=a(x-h)2+k 向上平移m （m>0）个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a(x-h)2+k+m,;当抛物线y=a(x-h)2+k 向下平移m(m>0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a(x-h)2+k-m.2.左右平移当抛物线y=a(x-h)2+k 向左平移n(n>0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a(x-h+n)2+k;当抛物线y=a(x-h)2+k 向右平移n(n>0)个单位后,所得抛物线的关系式为y=a(x-h-n)2+k..在具体的题目中可能包含两种平移,需要灵活分析平移的特点,根据平移的方式分步确定函数关系式. 例1(泸州)二次函数y=x 2的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是( )(A)32+=x y (B)32-=x y (C)2)3(+=x y (D)2)3(-=x y 分析:y=x 2是特殊的二次函数,和y=a(x-h)2+k 相比,其中a=1,h=0,,k=0,根据上面图象的平移变换规律,很容易确定平移后的函数图象的关系式.解:因为y=x 2向右平移3个单位,所以平移后的函数关系式为y=1×(x-0-3)2=(x-3)2.故选D.例2(梅州）将抛物2(1)y x =--向左平移1个单位后，得到的抛物线的关系式是 ．分析: 所给的抛物线的关系式已经是顶点式的形式,所以只要根据平移的平移规律代入计算即可.解: 因为抛物线y=-(x-1)2向作平移1个单位,根据上面的平移规律可得平移后所得函数的关系式为y=-(x-1+1)2,即y=x 2.例 3 (宿迁)将抛物线y=x 2向左平移4个单位后，再向下平移2个单位，则此时抛物线的关系式是 ．分析: 本题的平移包括两次平移,可以根据平移的先后顺序以及平移的变化规律,逐步确定平移后的函数关系式.解:抛物线y=x 2向左平移4个单位后得到的抛物线的关系式为y=(x+4)2;将抛物线y=(x+4)2向下平移2个单位后,所得抛物线的关系式为y=(x+4)2-2.也可以写成y=x 2+8x+14.例4(兰州)已知22y x =的图象是抛物线，若抛物线不动，把x 轴，y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的关系式是（ ）．Ａ．22(2)2y x =-+Ｂ．22(2)2y x =+-Ｃ．22(2)2y x =-- Ｄ．22(2)2y x =++ 分析: 本题是一道逆向思维问题,把x 轴，y 轴分别向上、向右平移2个单位,可以理解为把抛物线先向左平移2个单位,然后再向下平移2个单位.由此比较容易确定平移后的抛物线的关系式.解: 抛物线y=2x 2向左平移2个单位后所得的抛物线的关系式为y=2(x+2)2,把y=2(x+2)2向下平移2个单位后的关系式为y=2(x+2)2-2.故选B.例5 将抛物线y=-21x 2+x+23先向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度,所得抛物线关系式为_______.分析: 本题所告诉的函数关系式不是顶点式的形式,所以应先将函数关系式化为顶点式的形式,然后再根据平移规律确定平移后所得的函数关系式.解: 因为y=-21x 2+x+23=-21(x-1)2+2,所以向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度后的所得的函数关系式应为y=-21(x-1+2)2+2+5,即y=-21(x+1)2+7,也就是y=-21x 2+x+213.。