2024-2025学年冀教版初中数学九年级(上)教案第27章反比例函数

第二十七章反比例函数
27.1 反比例函数
教学目标
1.理解反比例函数的概念.
2.能根据反比例函数的概念判断一个函数是否为反比例函数.
3.会求反比例函数的表达式，并确定自变量的取值范围.
教学重难点
重点：掌握反比例函数的定义及形式.
难点：能根据已知条件确定反比例函数表达式.
教学过程
复习巩固
教师带领学生回顾过去所学的与函数有关的问题：
1.函数的定义：一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y ，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
2.一次函数与正比例函数：一般地，形如y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数.
3.二次函数：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.
师生活动：教师提出以上三个问题，学生先独立思考，再在小组内交流，学生代表展示后，师生共同将答案补充完整.
导入新课
同一条铁路线上，因为不同车次列车的运行时间有长有短，所以它们的平均速度有快有慢.
速度v,时间t与路程s之间满足的关系是什么？
（1）如果速度v一定，那么路程s与时间t是什么函数
关系?
（2）如果时间t一定,那么路程s与速度v之间又是什
么函数关系?
（3）如果路程s一定，那么速度v和时间t又是什么关系呢?
师生活动：教师展示上面的问题，学生独立思考后进行解答：
（1）s＝vt，正比例函数关系；（2）s＝vt，正比例函数关系；
（3）
s
v
t
，是函数关系
学生思考：这个函数是不是我们前边学过的函数？
探究新知
合作探究
【问题情境】回答下列问题：
1.要制作容积为15 700 cm3的圆柱形水桶,水桶的底面积为S cm2,高为h cm,则
Sh=,用h表示S的函数表达式为 .
2.自行车运动员在长为10 000 m的路段上进行骑车训练,行驶全程所用时间
教学反思
为t s,行驶的平均速度为v m/s,则vt= ,用t 表示v 的函数表达式为 .
3.若y 与x 的乘积为-2,则用x 表示y 的函数表达式为 .
答案：1.
15 700；15700S h = 2.
10 000；10000
v t
=
3.2y x -=
师生活动：
教师：提出以下问题，学生独立思考后，小组内讨论交流： 1.由上面的问题我们得到怎样的函数表达式？ 2.每个实例中的两个变量是什么?
3.当一个量变化时,另一个量随之怎样变化?
4.上面的函数表达式形式上有什么共同点? 学生：
1.由上面的问题我们得到这样的三个函数表达式：
15700S h =；10000v t =；2
y x
-=. 2. s 和h ；v 和t ；x 和y .
3.当一个量增大时，另一个量减小；当一个量减小时，另一个量增大.
4.上面的函数表达式都是k
y x
=的形式，其中k 是非零常数.
【归纳总结】
反比例函数的概念：一般地，如果变量y 和变量x 之间的函数关系可以表示
成k
y x
=（k 为常数，且k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数，k 称为比例系数.
教师追问1：在反比例函数k y x =中,k,x,y 可以取任意实数吗?
学生回答：k 为常数，且k ≠0，x 和y 都是不等于0的一切实数. 教师追问2：反比例函数k
y x
=中,自变量x 的指数是1吗?如果不是，请写出正确的指数.
学生回答：不是，指数是-1
教师追问3：12y x -=和4xy =中，y 是不是x 的反比例函数？
学生回答：1
2y x -=可以转化为2y x =的形式，4xy =可以转化为4y x
=的形式，这两个函数都是反比例函数.
教师追问4：反比例函数除了这种分式的形式外,还有其他表示方法吗? 【归纳总结】1
y kx -=（k 为常数，k ≠0），xy k =（k 为常数，k ≠0）也是反比例函数的不同形式. 新知应用 练一练：下列函数中哪些是反比例函数？哪些是一次函数？哪些是二次函数？
（1）y ＝8x -1；（2）2
2x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（3）45y x =；（4）32y x =；
（5）1y x =-；（6）24y x =+；（7）5y x =；（8）2
x
y =；
（9）2xy =-；（10）27xy -=；（11）61y x =-+； 教学反思
教学反思
（12）0.4
y x
=
；（13）24y x =+. 师生活动：教师展示上面的问题和函数表达式，引导学生从函数定义的角度辨析函数类型，特别注意反比例函数表达式存在不同的形式.
解：一次函数：（1）y ＝8x -1；（4）32y x =；（8）2
x
y =；（11）61y x =-+；
（13）24y x =+.
二次函数：（2）2
2x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
；（6）2
4y x =+. 反比例函数：（3）45y x =；（5）1y x =-；（7）5
y x
=；（9）2xy =-；（10）27xy -=；（12）0.4
y x
=. 【归纳总结】判断函数类型主要以函数的定义为依据，在判断之前先把函数化为最简形式或一般形式，注意一次函数的一次项系数不能为0，二次函数的二次项系数不能为0，还要注意反比例函数表达式有3种不同的形式. 例1 写出下列问题中y 与x 之间的函数表达式,指出其中的正比例函数和反比例函数,并写出它们的比例系数k.
（1）y 与x 互为相反数.
（2）y 与x 互为负倒数.
（3）y 与2x 的积等于a （a 为常数,且a ≠0）.
解:（1）因为y + x =0,即y = - x ,
所以y 是x 的正比例函数,比例系数k =-1. （2）因为xy =-1,即1y x -=, 所以y 是x 的反比例函数,比例系数k = -1.
（3）因为2xy =a ，即2a
y x
=, 所以y 是x 的反比例函数，比例系数1
2
k a =. 确定反比例函数的表达式
例2 已知y 是x 的反比例函数，且当x ＝4时，y ＝6. （1）写出这个反比例函数的表达式； （2）当x =-2时，求y 的值. 师生活动：教师出示问题，学生独立思考后，小组内进行交流，小组代表汇
报展示，教师做出点评.在学生解答有困难的时候，老师可提出如下问题：
教师追问1：学习一次函数和二次函数时，我们如何确定函数表达式？
学生回答：用待定系数法.
教师追问2：用待定系数法求函数表达式的一般步骤是什么？
学生回答：1.设出表达式；2.代入对应的x 与y 的值，转化为关于待定系数的方程或方程组；3.求出待定系数；4.将求出的系数代回原表达式，得到要求的函数表达式. 解：（1）设k y x
=.因为当x ＝4时，y ＝6，所以64k
=，解得k ＝24，
因此这个反比例函数的表达式为24y x
=.
教学反思
（2）把x ＝-2代入24y x =
，得y ＝242-＝-12. 变式：已知y 是x 2
的反比例函数，且当x ＝2时，y ＝4.
（1）写出y 关于x 的函数表达式；（2）求当x ＝1
2
时，y 的值.
师生活动：教师出示问题，学生独立思考后，小组内进行交流，小组代表汇报展示，教师做出点评.
教师追问1：在这个题目中，与y 成反比例函数关系的是谁？ 学生回答：是x 2.
教师追问2：你该如何设这个函数表达式呢？
学生回答：应设为2k
y x =.
解：（1）设2k y x =.因为当x ＝2时，y ＝4，所以242
k
=，解得k ＝16，
因此216
y x
=.
（2）把x ＝12代入216
y x =，得y ＝2
1612⎛⎫
⎪⎝⎭
＝64. 【归纳总结】用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤：1.设出表达式；2.代入对应的x 与y 的值，转化为关于待定系数k 的方程；3.求出待定系数k ；4.将求出的k 代回原表达式，得到要求的反比例函数表达式.
实际问题中的反比例函数
例3 用函数表达式表示下列问题中变量间的对应关系：
（1）平行四边形的面积是35，它的一边长l 随这边上的高h 的变化而变化； （2）某小区绿地总面积是400 m 2，该小区的人均绿地面积数y 随人口数x 的变化而变化.
师生活动：教师出示问题，学生独立思考后，小组内进行交流，小组代表汇报展示，教师做出点评.
教师追问1：问题（1）中，平行四边形的面积如何表示？问题（2）中，如何求人均绿地面积？
学生回答：问题（1）中，平行四边形的面积35＝lh ；问题（2）中，人均绿
地面积＝绿地总面积
人口数
.
教师追问2：在这两个问题中，自变量分别是什么？自变量的取值范围是什么？
学生回答：问题（1）中自变量是h ，问题（2）中自变量是x ，这两个实际问题中自变量的取值范围都要大于0.
解：（1）35
(0)l h h =>；
（2）400
(0)y x x
=>.
【归纳总结】从实际问题中抽象出函数表达式，一定要关注函数自变量的取值范围.
课堂练习
1.若函数2
(1)m y x x -=+是反比例函数，则m 的值为（ ） A.-1 B.1 C.2或-2 D.-1或1
教学反思
2.若反比例函数k
y x
=
的图像经过点（-3，2），则k 的值为（ ） A.-6 B.6 C.-5 D.5
3.下列各点中，在函数6
y x
=-的图像上的是（ ）
A.（-2，-4）
B.（2，3）
C.（-6，1）
D.132⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
4.已知点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）都在12
y x
=的图像上，若x 1x 2＝-3，求y 1y 2
的值. 参考答案
1.B
2.A
3.C
4.解：12y y ＝112x ·212x ＝12144x x ＝144
3
-＝-48.
课堂小结
先让学生独立思考，进行总结，教师补充概括.
布置作业
完成教材第130页习题A 组第1，2，3题.
板书设计
27.1 反比例函数
一、定义：一般地，形如k
y x
=
（k 为常数，k ≠0）的函数，叫做反比例函数. 二、反比例函数的几种形式： 1.k
y x
=
（k 为常数，k≠0）； 2.1y kx -=（k 为常数，k≠0）； 3.xy k =（k 为常数，k ≠0）.
三、用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤： 1.设出表达式；
2.代入对应的x 与y 的值，转化为关于待定系数k 的方程；
3.求出待定系数k ；
4.将求出的k 代回原表达式，得到要求的反比例函数表达式.
第二十七章反比例函数
27.2 反比例函数的图像和性质
第1课时反比例函数的图像
教学目标
1.会用描点法作反比例函数的图像，能结合函数图像进行探索.
2.能确定一个点是否在反比例函数的图像上，能由反比例函数的图像确定相应的反比例函数表达式.
教学重难点
重点：能描点画出反比例函数的图像.
难点：能由反比例函数的图像确定相应的反比例函数表达式.
教学过程
导入新课
教师提问：
1.反比例函数的概念是什么？
2.你还记得作函数图像的一般步骤吗?
师生活动：教师出示问题，学生独立思考后，小组内进行交流，小组代表汇报展示，教师做出点评.
学生回答：
1.一般地，如果两个变量x,y之间的关系可以表示成
k
y
x
＝（k为常数，k≠0）
的形式,那么称y是x的反比例函数.
2.用图像法表示函数关系时，首先在自变量的取值范围内取一些值，列表，描点，连线（按自变量从小到大的顺序，用一条平滑的曲线连接起来）.
探究新知
合作探究
【探究1】尝试用描点法画出反比例函数
6
y
x
=和反比例函数
6
y
x
=-的图像.
师生活动：教师出示问题，学生独立完成后，小组内讨论交流.
问题：（1）描点法画反比例函数图像的步骤是什么？
（2）该函数中自变量x的取值范围是什么?函数值y的取值范围是什么?
（3）画函数图像列表时,取哪些x的值使函数图像完整、准确?
（4）如何用平滑的曲线连接各点?
（5）从左到右连线时,图像与x轴、y轴有没有交点?为什么?
先回答前四个问题，第五个问题等作出图像再回答.
教师在学生作图的过程中进行巡视，并对学生进行指导.
学生活动：
1.列表：在自变量取值范围内均匀地取一些值，并计算出对应的y值，填入下
表中.
注意：
（1）列表时自变量取值要均匀对称；
（2）x≠0；
教学反思
直角坐标系内进行描点.
3.连线：按照从左到右的顺序，用一条平滑的曲线将所描的点连接起来，如图1所示.
图1
师生活动：
教师追问1：这两个函数的图像有什么共同点？
学生回答：图像都是由两部分曲线组成的，分别位于两个不同的象限（第一、第三象限或第二、第四象限），且关于原点对称.
教师总结：反比例函数的图像是由两支双曲线组成的.因此称反比例函数的图像为双曲线.
【探究2】如图2，观察几何画板中老师展示的反比例函数图像.
图2
教师追问1：改变k 的取值，k
y x =
（k >0）的图像是不是轴对称图形？对称轴是什么？是不是中心对称图形？k
y x
=-（k >0）的图像是不是轴对称图形？对
称轴是什么？是不是中心对称图形？
学生回答：k y x
=（k >0）和k
y x =-（k >0）的图像都是轴对称图形，对称轴
是直线y ＝x 和直线y ＝-x ，也是中心对称图形，对称中心是原点.
教学反思
教学反思
教师追问2：
k
y
x
=（k>0）和
k
y
x
=-（k>0）的图像之间有什么关系？
学生回答：
k
y
x
=（k>0）和
k
y
x
=-（k>0）的图像之间成轴对称，对称轴是
直线y＝x和直线y＝-x，也成中心对称，对称中心是原点.
【探究3】思考：
1.函数图像上点的坐标与函数表达式之间的关系是什么?
2.待定系数法求反比例函数表达式时,需要将几个点的坐标代入?
3.如何判断点是否在反比例函数图像上?
学生活动：学生独立完成后，小组内讨论交流，
答案：
1.函数图像上的点的坐标满足函数表达式,反之,满足函数表达式的点在该函数的图像上.
2.反比例函数表达式中有一个待定系数,所以将函数图像上一个点的坐标代入即可.
3.将点的坐标代入函数表达式,若满足函数表达式,则该点在函数图像上,反之,则不在函数图像上.
新知应用
例1已知点P（-6,8）在反比例函数
k
y
x
=的图像上.
（1）求这个反比例函数的表达式.
（2）判断点M（4,-12）和N（2,24）是否在这个反比例函数的图像上.
师生活动：学生独立思考后，选两名学生口述解答过程，然后师生一起进行评价.
解：（1）把点P（-6,8）的坐标代入
k
y
x
=,得8
6
k
=
-
.
解得k=-48.
所以这个反比例函数的表达式为
48 y
x
-=.
（2）当x=4时,
48
12,
4
y
-
==-当x=2时,
48
2424
2
y
-
==-≠，
所以,点M（4,-12）在这个反比例函数的图像上,点N（2,24）不在这个反比例函数的图像上.
师生活动：教师组织小组同学交流解此类问题应注意的事项，然后总结归纳，教师做出点评.
【归纳总结】
解题思路：
1.用待定系数法求得函数表达式；
2.判断点是否在函数图像上，要把点的坐标代入函数表达式，看表达式能否成立.若成立，则点在函数图像上，否则不在函数图像上.
【归纳总结】
1.反比例函数的图像是双曲线,它有两支,它的两个分支是断开的，分别位于第
一、第三象限或第二、第四象限.
2.反比例函数
k
y
x
=（k≠0）的图像的两个分支关于原点对称.
3.反比例函数的图像与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐
标轴,但永远不与坐标轴相交,这是因为x ≠0, y≠0.教学反思
课堂练习
1.如图所示,反比例函数k
y x
=
（x<0）的图像经过点P ,则k 的值为 （ ） A.-6 B.-5
D.5 2.已知点A （-1,m ）与B （2,m -3）是反比例函数k
y x
=图像上的两个点,则m 的值为 .
3.在平面直角坐标系中画出函数12y x
=
和12
y x =-的图像,并分别指出两个函
数的图像所在的象限.
参考答案
1.A 解析：∵函数图像经过点P （-3,2）,∴k= xy=-3×2=-6.故选A.
2.2 解析:把（-1,m ）,（2,m -3）代入函数表达式,得m= - k , m -3=2
k
,解得m=2.
图3
函数12
y x =
的图像在第一、三象限， 函数12
y x =-的图像在第二、四象限.
课堂小结
1.反比例函数的图像是双曲线,它有两支,它的两个分支是断开的，分别位于第一、第三象限或第二、第四象限.
2.反比例函数k
y x
=（k ≠0）的图像的两个分支关于原点对称.
3.由反比例函数的图像确定相应的反比例函数表达式.
教学反思
布置作业
完成教材第133页习题A组第1，2题.
板书设计
27.2反比例函数的图像和性质
第1课时反比例函数的图像
1.反比例函数的图像是双曲线,它有两支,它的两个分支是断开的，分别位于第
一、第三象限或第二、第四象限.
2.反比例函数
k
y
x
（k≠0）的图像的两个分支关于原点对称.
3.由反比例函数的图像确定相应的反比例函数表达式.
第二十七章 反比例函数
27.2 反比例函数的图像和性质
第2课时 反比例函数的性质
教学目标
1.通过对反比例函数图像进行比较和归纳，得到反比例函数的性质,并能灵活运用函数的图象和性质解决问题.
2.理解反比例函数的比例系数k 的几何意义，并会应用其解决问题.
教学重难点
重点：反比例函数的性质和比例系数k 的几何意义.
难点：运用反比例函数的图像和性质解决问题，应用反比例函数的比例系数k 的几何意义解决问题.
教学过程
探究新知
一、反比例函数的性质
老师给出反比例函数的图像（图4）：观察上节课我们画出的反比例函数6
y x
=与6
y x
-=
的图像及表达式，探究下列问题：
学生自己思考回答问题，教师总结 答案：一、三 减小 二、四 增大 师生活动
老师指导学生画出反比例函数2y x
=和2
y x -=的图像.
学生根据列表、描点、连线画出图像.
教学反思
图5
教师提出问题：指出反比例函数2y x
=和2y x -=的图像所在的象限,并说明y
（1）反比例函数图像的形状是什么?
（2）反比例函数图像无限延伸后与x 轴、y 轴有公共点吗?反比例函数图像关于原点O 对称吗?
（3）函数图像在哪个象限内?函数表达式中谁决定函数图像的位置?
（4）观察函数图像,在每个象限内随着x 的增大, y 如何变化?函数表达式中谁决定函数图像的增减性?
学生回答: （1）双曲线.
（2）反比例函数图像无限延伸后与x 轴、 y 轴没有交点,关于原点O 对称. （3）当k>0时,双曲线的两支分别位于第一、三象限;
当k<0时,双曲线的两支分别位于第二、四象限. 函数表达式中k 的取值决定函数图像的位置
（4）当k >0时,在每个象限内,y 随x 的增大而减小;
当k <0时,在每个象限内,y 随x 的增大而增大.函数表达式中k 的取值决定函数图像的增减性.
归纳总结
一般地,反比例函数k
y x
=（k ≠0）的图像是双曲线,它具有以下性质:
1.当k>0时,它的图像位于第一、三象限,在每个象限内,y 的值随x 的值增大而减小;
2.当k ＜0时，它的图像位于第二、四象限，在每个象限内，y 的值随x 的值增大而增大；
3.双曲线的两支向两边无限延伸,与坐标轴没有交点;
4.双曲线的两支关于坐标原点成中心对称. 新知应用
例1 反比例函数k
y x
=的图像如图6所示.
（1）判断k 为正数还是负数.
教学反思
教学反思
（2）如果A（-3,y1）和B（-1,y2
大小关系是怎样的?
图6
解:（1）∵反比例函数
k
y
x
=的图像在第一、三象限,∴k>0.
（2）由k>0可知,在每个象限内, y的值随x的值增大而减小.
二、反比例函数中比例系数k的几何意义
师生活动：
在困难，让学生带着问题进入新知探究.
如图7所示,点A在反比例函数
3
y
x
=（x >0）的图像上，AB
轴于点B，AC⊥y轴于点C,你能求出矩形OBAC的面积吗?
提出问题:
（1）矩形的两条邻边长与点A的坐标之间有什么关系?
（2）点A在反比例函数图像上,
之间是否有等量关系?
（3）你能求出矩形OBAC的面积吗?
（4）求出的矩形面积与比例系数之间有什么关系?
师生解决上面问题后，可求出矩形的面积.
解:设点A的坐标为（x,y）,则xy=3.∴S矩形OBAC= xy=3.
师生活动：
分别求得围成的矩形的面积.
【归纳总结】在反比例函数
k
y
x
=（k＞0
作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积为S，则S＝k.
拓展思考:
师生活动
进行汇报.
（1）若点A在反比例函数
3
y
x
=（x<0）的图像上,矩形的
面积是多少?它与比例系数之间有什么关系?
（2）如图8所示,若点A是反比例函数
k
y
x
=（k≠0）图像上
任意一点呢?
（3）若连接OA,则△AOB与△AOC的面积又有怎样的关系结论
反比例函数
k
y
x
=（k≠0）中比例系数k的几何意义：
教学反思
1
||||||,||2
ABO ACO OBAC S x y k S S k △△矩形＝＝＝＝.
例2 如图9，矩形AOBC 的面积为4，反比例函数k
y x
=的图像的一支经过矩形对角线的交点P ，则该反比例函数的表达式是（ ）
A.4y x =
B.2y x =
C.1y
= D.12y x =
图9师生活动：教师出示例题，学生独立完成，请一位同学上讲台上进行讲解后师生进一步共同解析，得到问题的正确答案.
解析：过点P 作PD ⊥OB （图略），由矩形的性质可知S △OPD ＝1
8
S 矩形AOBC ＝
11482⨯=，由反比例函数的几何意义可知S △OPD ＝1
2
＝2k ，解得k ＝±1.又因为反
比例函数图象在第一象限，所以k ＞0，所以k ＝1，所以1
y x
=.故选C.
答案：C 【归纳总结】运用k 的几何意义解决问题，一般要通过双曲线上的点向x 轴或y 轴作垂线，构造矩形，矩形面积等于k ，或连接双曲线上的点和原点，再通过双曲线上的点向x 轴或y
轴作垂线，构造直角三角形，三角形面积等于2
k
，利用面积最终得到函数表达式.
课堂练习
1.已知反比例函数1
y x
=，下列结论不正确的是（ ） A.图像经过点（1，1） B.图像在第一、三象限
C.当x ＜0时，y ＜0
D.当x ＜0时，y 随着x 的增大而增大 2.如图10，A 是反比例函数k
y x
=
的图像上的一点，AB ⊥x 轴于点B ，且△ABO 的面积是3，则k 的值是（ ）
A.3
B.-3
C.6
D.-6
图10
教学反思
3.函数y1＝x（x≥0），
24
y
x
=（x＞0）的图像如图11所示，下列结论：（1）两函数图像的交点坐标为A（2，2）；（2）当x＞2时，y2＞y1；（3）直线x＝1分别与两函数图像交于B，C两点，则线段BC的长为3；（4）当x逐渐增大时，y1的值随着x的增大而增大，y2的值随着x的增大而减小.则其中正确的是（）
A.只有（1）（2）
B.只有（1）（3）
C.只有（2）（4）
D.只有（1）（3）（4）
图11
4.已知反比例函数的图像经过点A（2，6）.
（1）求此反比例函数的表达式.
（2）这个函数的图像位于第几象限？y随x的增大如何变化？
（3）点B（3，4），C
14
24
25
⎛⎫
--
⎪
⎝⎭
，，D（2，5）是否在这个函数的图像上？
参考答案
1.D
2.C
3.D
4.解：（1）设
k
y
x
=.因为点A（2，6）在函数图象上，所以6
2
k
=，
解得k＝12，因此
12 y
x =.
（2）因为k＞0，所以函数图像位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小.
（3）将B，C，D三点的坐标分别代入
12
y
x
=，得B，C两点的坐标满足表达
式，D点坐标不满足表达式，所以B，C两点在函数图像上，D点不在函数图像上.课堂小结
反比例函数的性质
一般地,反比例函数
k
y
x
=（k≠0）的图像是双曲线,它具有以下性质:
1.当k>0时,它的图像位于第一、三象限,在每个象限内,y的值随x的值增大而减小;
2.当k＜0时，它的图像位于第二、四象限，在每个象限内，y的值随x的值增大而增大；
3.双曲线的两支向两边无限延伸,与坐标轴没有交点;
4.双曲线的两支关于坐标原点成中心对称.
反比例函数
k
y
x
=（k≠0）中比例系数k的几何意义：
教学反思
1
||||||,||
ABO ACO OBAC S x y k S S k △△矩形＝＝＝＝.
布置作业
完成教材第136页习题A 组第1，2，3题.
板书设计
27.2 反比例函数的图像和性质 第2课时 反比例函数的性质
反比例函数的性质
当k>0时,它的图像位于第一、三象限,在每个象限内,y 的值随x 的值增大而减小;
当k ＜0时，它的图像位于第二、四象限，在每个象限内，y 的值随x 的值增大而增大.
反比例函数k
y x
（k ≠0）中比例系数
k 的几何意义：
1
||||||,||ABO ACO OBAC S x y k S S k △△矩形＝＝＝＝.
第二十七章反比例函数
27.3 反比例函数的应用
教学目标
1.经历“问题情境—建立反比例函数模型—运用反比例函数模型解决实际问题”的过程，体会数学的价值，增强学好数学的信心.
2.能从实际问题中寻找变量之间的关系，建立反比例函数模型，解决实际问题.
教学重难点
重点：能从实际问题中找到两个变量之间的关系，建立反比例函数模型.
难点：运用反比例函数的知识解决一些实际问题.
教学过程
导入新课
在一段长为45 km的高速公路上，规定汽车行驶的速度最低为60 km/h，最高为110 km/h.
回答下列问题：
1.在这段高速公路上,设汽车行驶的速度为v（km/h）,时间为t（h）,写出v与t之间的函数关系式.
2.某司机开车用了25 min匀速通过了这段高速公路,请你判断这辆汽车是否超速,并说明理由.
3.某天，由于天气原因，汽车通过这段高速公路时，要求行驶速度不得超过75 km/h.此时，汽车通过该路段最少要用多长时间？
师生活动：学生利用前面所学知识独立完成，在练习本上写出解答过程，教师点评，师生共同完善，得出最终正确的答案.
探究新知
反比例函数在实际问题中的应用
针对导入新课回答下列问题：
（1）在上述问题中有哪些量?哪些量是常量?哪些量是自变量和因变量?
（2）在行程问题中,路程、速度和时间三者之间的等量关系是什么?
（3）自变量和因变量的乘积是不是常数?两者之间是不是存在着反比例函数关系?
（4）你能否写出v与t之间的函数关系式?
（5）你能根据实际问题求出自变量的取值范围吗?
（6）已知自变量t的值,怎样求因变量v的值?
（7）已知因变量v的值,如何求自变量t的值?
（8）在该反比例函数关系中,已知自变量的取值范围,怎样求因变量的取值范围?
师生活动：教师出示问题，学生思考后先独立解决，在解决问题的过程中若有困难，可小组内交流讨论.讨论结束，请某位同学展示解答过程，师生共同分析，最终得到正确解答.
导入解答过程：
4593
().
224
1v t
t
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
≤≤
教学反思
（2）当25
60
t ＝
时，v ＝108，∵ 108<110，∴ 没有超速. （3）当v ＝75时，45
75t
＝，解得t ＝0.6，0.6 h ＝36 min ，
∴ 通过该路段最少要用36 min.
【归纳总结】解决问题的关键是掌握路程、速度和时间的关系. 【例题展示】
例 气体的密度是指单位体积（m 3）内所含气体的质量（kg ）.现有某种气体7 kg.
（1）某储气罐的容积为V （m 3）,将这7 kg 的气体注入该容器后,该气体的密度为ρ（kg/m 3）,写出用V 表示ρ的函数表达式.
（2）当把这些气体装入容积为4 m 3的储气罐中时,它的密度为多大?
（3）要使气体的密度ρ=2 kg/m 3,需把这些气体装入容积是多少立方米的容器中?
（4）在如图1所示的直角坐标系中,画出这个
函数的图像,并根据图像回答:
①当这些气体的体积增大时,它的密度将怎样变化?
②把这些气体装入容积不超过2 m 3的容器中,气体的密度ρ在什么范围内? 师生活动：学生独立思考后，选两名学生口述解答过程，然后师生一起进行评价.
解:（1）用V 表示ρ的函数表达式为: 7
V
ρ=.
（2）当V ＝4 m 3时，377
1.75(kg/m )4
V ρ＝＝＝.
（3）当ρ＝2 kg/m 3时，7
2V ＝，解得V ＝3.5（m 3）.
（4）函数7
V
ρ＝的图像如图2所示.
①由反比例函数的图像可以看出,当这些气体体积增大时,它的密度减小.
②把这些气体装入容积不超过2 m 3的容器中,气体的密度ρ≥3.5 kg/m 3.
做一做
厨师将一定质量的面团做成粗细一致的拉面时,面条的总长度y （m ）是面条横截面面积S （mm 2）的反比例函数,其图像经过A （4,32）,B （m ,80）两点（如图3所示）.
（1）写出y 与S 的函数关系式.
（2）求出m 的值,并解释m 的实际意义. （3）如果厨师做出的面条最细时的横截面面积
教学反思
图2
图1 图3。