龙岩市第一中学届高三高考模拟数学试题及答案(理)

龙岩一中2014届高考模拟试卷
数学（理科）
（考试时间：120分钟 满分：150分 ）
注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；
2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．
参考公式：
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．） 1．复数
5
34i
+的共轭复数为( ) Ａ．34i - Ｂ．34i + Ｃ．
3455i - D ．3455
i + 2．已知命题2:,12p x R x x ∃∈+<；命题:q 不等式2
10x mx -->恒成立，那么( ) A ．“p ⌝”是假命题 B ．q 是真命题 C ．“p 或q ”为假命题 D ．“p 且q ”为真命题
3．右图是2014年在某市举行的演讲比赛，七位评委为第一位演讲者打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数与方差分别为( )
A ．84，4.84
B ．84，1.6
C ．85，1.6
D ．85，4
4．若2
23x y x y ≤⎧⎪≤⎨
⎪+≥⎩
，则目标函数2x y
z x
+=
的取值范围是( ) A ．[2，5] B ．[1，5]
C ．[
1
2
，2] D ．[2，6] 5．阅读如右图所示的程序框图，则该算法的功能是( )
A ．计算数列1{2}n -前5项的和
B ．计算数列{21}n -前5项的和
C ．计算数列1{2}n -前6项的
D ．计算数列{21}n -前6项的和
，
，(n x x ++-
6．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．直线l 满足l ⊥m ， l ⊥n ，
l α⊄，l β⊄，则( )
A ．α与β相交，且交线平行于l
B ．α与β相交，且交线垂直于l
C ．α∥β，且l ∥a
D ．α⊥β，且l ⊥β
7.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，236n n S S +-=，则n =( ) A.5
B.6
C.7
D.8
8．抛物线24y x =上一点P 到直线1x =-的距离与到点(2,2)Q 的距离之差的最大值为( )
A
．3 D ．5
9．在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点(2,0)A ,将向量OA 绕点O 按逆时针方向旋转3
π
后得向量OB ,若向量a 满足1a OA OB --=，则a 的最大值是( )
A
．1 B
． C ．3 D
10．已知{(,)|,}U x y x R y R =∈∈，A U ∈，B U ∈，映射:f A B →.对于直线l 上任意一点A ，()B f A =，若B l ∈，我们就称f 为直线l 的“友好映射”，l 称为映射f 的“友好直线”.又知(,)(3,2)f x y y x =，则映射f 的“友好直线”有多少条( ) A ．无数 B ．3 C ．2 D ．1
第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 11．已知函数()π()sin (0,0,)2
f x A x A ωϕωϕ=+>><
的 部分图象如图所示，则ϕ=
12．过双曲线22
221x y a b
-=的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在
线段(OF O 为坐标原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率
为 . 13．如图,正四棱锥S ABCD -中，2AB =， E 是边BC 的中点，动点P 在 四
棱锥的表面上运动，且总保持0PE AC ⋅=，点P 的轨迹所围成的图形的面积为2,若以BC 的方向为主视方向，则四棱锥S ABCD -的主视图的面积
是 .
14．若x a x x a 21sin ≤≤对任意的]2
,
0[π
∈x 都成立，则12a a -的最小值
为 ．
15. 将含有3n 个正整数的集合M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A 、B 、
C ，其中12{,,...,}n A a a a =，12{,,...,}n B b b b =，12{,,...,}n C c c c =，若A 、B 、C 中的
元素满足条件：12...n c c c <<<，k k k a b c +=，k =1,2，…，n ，则称M 为“完并集合”.
对于“完并集合”{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}M =，则集合C 的个数是 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． (本小题满分13分)
如下图，在ABC ∆中，45B ︒∠=
，AC =
cos 5
C ∠=，点
D 是AB 的中点, 求: （1）边AB 的长；（2）cos A 的值和中线CD 的长.
D
C
B
A
17．(本小题满分13分)
某校政教处为检查各班落实学校“学生素养五十条”的规定情况，从各班抽取了一批学生进行测试，全部学生参加了“理论部分”和“模拟现场”两项测试，成绩均分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级. 某考场考生两项测试成绩的数据统计如下图所示，其中“理论部分”科目测试成绩为B 的考生有20人.
（1）求该考场考生中“模拟现场”科目中成绩为A 的人数；
（2）若等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分.
（i ）求该考场考生 “理论部分”科目的平均分； （ii ）若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从
这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望
.
18．(本小题满分13分)
如图，C 是以AB 为直径的圆O 上异于,A B 的点，平面PAC ⊥平面ABC ，2===AC PC PA ，4BC =，,E F 分别是,PC PB 的中点，记平面AEF 与平面ABC 的交线为直线l ． （Ⅰ）求证：直线l ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）直线l 上是否存在点Q ，使直线PQ 分别与平面AEF 、直 线
EF 所成的角互余？若存在，求出||AQ 的值；若不存在，请说明理由．
19．(本小题满分13分)
设椭圆1Γ的中心和抛物线2Γ的顶点均为原点O ，1Γ、2Γ的焦点均在x 轴上，过2Γ的焦点F 作直线l ，与2Γ交于A 、B 两点，在1Γ、2Γ上各取两个点，将其坐标记录于下表中： （1）求1Γ，2Γ的标准方程；
（2）若l 与1Γ交于C 、D 两点，0F 为1Γ的左焦点，求00F AB F CD
S S △△的最小值。

第19题图
20．(本小题满分14分) 已知函数()ln f x x =。

（Ⅰ）若函数2
1()()2
h x f x x ax =+-在点(1,(1))h 处的切线与直线410x y -+=平行，求实数a 的值
（Ⅱ）对任意的[)1,0a ∈-，若不等式2
1()22
f x ax x b <++在
(]0,1x ∈上恒成立，求实数b 的取值范围
（Ⅲ）若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线y x =对
称，设(,()),(()),A a g a B b g b ，
(,())22
a b a b
N g ++()a b <，试根据如图所示的曲边梯形ABCD 的面积与两个直角梯形
ADMN 和NMCB 的面积的大小关系，写出一个关于a 和b 的不等式，并加以证明。

21．(本小题满分14分)
本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中. （1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换
设矩阵11a M b ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
． （Ⅰ）若23a b ==，，求矩阵M 的逆矩阵1M -；
（Ⅱ）若曲线C ：22421x xy y ++=在矩阵M 的作用下变换成曲线C '：2221x y -=，
求a b +的值．
（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕ
ϕ
sin cos b y a x (0>>b a ，ϕ为参数）．已
知曲线C 上的点M (1及对应的参数ϕ＝3π．
（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若点1(,)A ρθ，2(,)2
B π
ρθ+
在曲线C 上，求
2
2
2
1
1
1
ρρ+
的值．
（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲
在平面直角坐标系中，定义点11(,)P x y 、22(,)Q x y 之间的直角距离为
1212(,)||||L P Q x x y y =-+-，
点(,1)A x ，(1,2)B ，(5,2)C
y
A
B
N
（Ⅰ）若(,)(,)L A B L A C >，求x 的取值范围；
（Ⅱ）当x R ∈时，不等式(,)(,)L A B t L A C ≤+恒成立，求t 的最小值.
龙岩一中2014届高考模拟试卷
理科数学参考答案
1~5．DCCAC 6~10：ADBBC 11. π3
π
2
1- 15. 3 10提示：设直线l 的方程为y kx b =+，由(,)(3,2)f x y y x =，代入可得23x k y b =⨯+，
即233b y x k k
=
-，可得233k k
b b k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
解得：0b k =⎧⎪⎨=⎪
⎩， 故有2条直线
15题提示： 解：因为1234...1278+++++=而12...n c c c <<<，k k k a b c +=，k =1,2，…，
n ，所以123439c c c c +++=，且412c =，1c 的最小值为 6所以{6,10,11,12}C =或{8,9,10,12}
C =或{7,9,11,12}C =
16.
解：由cos 0C ∠=
>可知C ∠
是锐角，所以sin C ∠. ……………………3分 由正弦定理 sin sin AC AB B C
=∠∠
sin 2sin AC AB C B =⋅∠==∠ ………6分
(2)
cos cos(18045)cos(135)A C C ︒︒︒=--=
-(cos sin )2
C C =
-+=- ……9分 由余弦理:CD =
==…13分
17．解：（1）因为“理论部分”科目中成绩等级为B 的考生有20人，
所以该考场有8025.020=÷人，所以该考场考生中“模拟现场”科目中成绩等级为A
的人数为 6075.080025.0-15.0-375.0-375.0-180=⨯=⨯
）（………4分 (2)（i ） 求该考场考生“理论部分”科目的平均分为
()9
.280
075.080525.0804375.08031.08022.0801=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯（））（）（）（…6分
法二：10.220.130.37540.25+50.075 2.9⨯+⨯+⨯+⨯⨯=
（ii ）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20
2621015(16)45C P C ξ===， 116221012
(17)45
C C P C ξ===
11262222101013(18)45C C C P C C ξ==+=， 11222104(19)45C C P C ξ=== 222
101
(20)45
C P C ξ=== 所以ξ的分布列为
所以1512134186
161718192045454545455
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯= 所以ξ的数学期望为86
5
………13分
18. （1）证明：F E ,分别为PC PB ,中点，EF BC //∴，又
EFA ,面面⊄⊂BC EFA EF
EFA BC 面//∴ ……2分 又l ABC EFA ABC BC =⋂⊂面，面面，l BC //∴…4分 又,ABC PAC AC ABC PAC AC BC 面，面面，面⊥=⋂⊥ PAC BC 面⊥∴ PAC l 面⊥∴……6分
（2）解：以C 为坐标原点，→CA 所在的直线为x 轴，→
CB 所在的直线为y 轴，过C 垂直面ABC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系……7分 则
)
2
3
,2,21()23,0,21()3,0,1()0,4,0()0,0,2(F E P B A ，，，，,
)0,2,0()23,0,23(=-=→
→
EF AE ， 设)0,,2(y Q ，面AEF 的法向量为),,(z y x m =→
则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→00m EP m AE 即⎪⎩
⎪⎨⎧==+-0202323y z x 令3=z 得到面AEF 的一个法向量为
)3,0,1(=→
m ……9分
)3,,1(-=→
y PQ ， →
→→
→→
→
→→→→→
→
⋅⋅=><⋅⋅=><|
||||||,cos ||||||
||,cos |m PQ m PQ m PQ EF PQ EF PQ EF PQ ，………11分 依题意得→
→
→
→
→
→
→
→⋅⋅=
⋅⋅|
||||||
||||||m PQ m PQ EF PQ EF PQ 1±=∴y
.1=∴AQ EF AEF l Q l 所成的角互余，、直线分别与平面，使直线上存在点在 ……
…13分
19. 解：（1）()-2,02⎭
，
在椭圆上，(()34-4，，在抛物线上，………2分 22
11,43
x y ∴Γ+
=： 2Γ：24.y x = …………………6分 （2）0F l 设到直线的距离为d, 00F AB F CD S S △△=1
212
d AB AB
CD d CD
⋅=
.…………7分 F(1,0)是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点，①当直线l 的斜率存在时， 设l ：(1)y k x =-,1122A(x ,(x ,y B y 设），），3344(x ,(x ,y y C ），D ）
联立方程24(1)
y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得2222(24)0k x k x k -++=，0k ≠时0∆>恒成立.
()2
2
41k
AB
k
+
===………………（9分）
联立方程
22
1
43
(1)
x y
y k x
⎧
+=
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，得2222
(3+4)84120
k x k x k
-+-=，0
∆>恒成立.
()2
2
121
34
k
CD
k
+
==
+
,
∴0
F AB
F CD
S
S
△
△
=
()
()
2
2
2
22
2
2
41
34144
333
121
34
k
k
k
k k
k
k
+
+
==+>
+
+
. …………11分
②当直线l的斜率不存在时，l：1
x=，此时，4
AB=，3
CD=，0
F AB
F CD
S
S
△
△
=
4
3
.
…12分
所以，0
F AB
F CD
S
S
△
△
的最小值为
4
3
. ………………………13分
20、解（Ⅰ）
2
11
()(0)
x ax
h x x a x
x x
+-
'=+-=>，依题意得：(1)4
h'=即
242
a a
-=⇒=-，故a的值为2-…………………4分
（Ⅱ）由不等式2
1
ln2
2
b x ax x
>--对任意的[)
1,0
a∈-恒成立，则
2
max
1
(ln2)
2
b x ax x
>--，由函数2
1
()2ln
2
a x a x x
ϕ=--+在[)
1,0
a∈-上为单调递减，
∴2
max
1
()(1)2ln
2
a x x x
ϕϕ
=-=-+
∴问题转化为不等式2
1
2ln
2
b x x x
>-+在(]
0,1
x∈上恒成立，………7分令2
1
()2ln
2
G x x x x
=-+，则
2
1(1)
()20
x
G x x
x x
-
'=-+=≥。

∴
m a x
3
()(1)
2
Gx G==-
∴b的取值范围为
3
2
b>-………9分（Ⅲ）由题意得曲边梯形ABCD的面积小于与两个直角梯形ADMN和NMCB的面积的和，
用不等式表示
11
()[()()]()[()()]
4242
b x
a
a b a b
e dx b a g a g b a g b g
++
<-++-+
⎰
………10分即2
1
()(2)
4
a b
b a b a
e e b a e e e
+
-<-++………………11分证明：2
1
()(2)
4
a b
b a b a
e e b a e e e
+
-<-++等价于
2222
1
()(2)
4
b a a b a b b a
e e b a e e
----
-<-++
令
02b a x -=>，则设()(2)2
x x x x x
F x e e e e --=--++ 由1()()()122x x x x x F x e e e e --'=+---得()()2
x x
x F x e e -''=-+
∵0x > ∴()0F x ''< ∴()(0)0F x F ''<=即()(0)0F x F <=
∴(2)02x x
x x x e e e e ----++<即22221
()(2)4
b a a b a b b a
e e b a e e -----<-++
∴ 21()(2)4a b
b a b a
e e b a e e e +-<-++
………………14分
另证：设,ln ln a n b m ==
，则2
(0)a b
e
n m +=<<，
不等式21()(2)4
a b
b
a
b a
e e b a e e e +-<-++等价于 …………………11分
即11ln 42m n <⇒<
令(1)t t =>，则只要证2(1)ln 1t t t -<+即2(1)ln 01t t t --<+又令2(1)()ln 1t m t t t -=-+，则2
2
(1)
()0(1)t m t t t --'=<+即()(1)0m t m <=
∴ 21()(2)4a b
b
a
b a
e e b a e e e +-<-++
………………14分
21（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换
解析：（I ）当2,3a b ==时，M 的行列式det(M)=-5，故所求的逆矩阵11255315
5M -⎛⎫
- ⎪
= ⎪ ⎪- ⎪
⎝⎭. …3分
（II ）设曲线C 上任意一点(,)P x y ，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点
(,)P x y '''，则11a b ⎛⎫
⎪⎝⎭''x x y y ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即x ay x bx y y '+=⎧⎨'+=⎩
，， 又点()P x y '''，在曲线'C 上，所以2221x y ''-=，则22()2()1x ay bx y +-+=， 即2222(12)(24)(2)1b x a b xy a y -+-+-=为曲线C 的方程， 又已知曲线C 的方程为22421x xy y ++=，
比较系数可得22
121
24422
b a b a ⎧-=⎪-=⎨⎪-=⎩，解得02b a ==，
，∴2a b +=. …………7分
（2）解析：（I ）将)23,1(M 及对应的参数
3πϕ=，代入⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
==3sin 2
33cos 1π
πb a ，
即⎩⎨⎧==1
2b a ，
所以曲线C 的方程为14
22
=+y x .…………3分 （Ⅱ）因为点1(,)A ρθ，2(,)2
B πρθ+在曲线
C 上，
所以
2222
11
cos sin 14
ρθ
ρθ+=，
222
222sin cos 14
ρθ
ρθ+=，
所以222
2221211cos sin 5(sin )(cos )444
θθθθρρ+=+++=.…………7分
（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲
解析：（I ）由定义得1151x x -+>-+，即15x x ->-，两边平方得824x >，
解得3x >； …………3分
（Ⅱ）当x R ∈时，不等式15x x t -≤-+恒成立，也就是15t x x ≥---恒成立， 函数 令()41
1526
1545
x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<≤⎨⎪>⎩
，所以()max 4f x =， 要使原不等式恒成立只要4t ≥即可，故min 4t =.…………7分。