天津市武清区2025届高考冲刺押题(最后一卷)数学试卷含解析

天津市武清区2025届高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}2|3100M x x x =--<，{}29N x y x ==-，且M 、N 都是全集R （R 为实数集）的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A ．{}35x x <≤
B ．{3x x <-或}5x >
C ．{}32x x -≤≤-
D ．{}
35x x -≤≤ 2．如图，正三棱柱111ABC A B C -各条棱的长度均相等，D 为1AA 的中点，,M N 分别是线段1BB 和线段1CC 的动点（含端点），且满足1BM C N =，当,M N 运动时，下列结论中不正确．．．
的是
A ．在DMN ∆内总存在与平面ABC 平行的线段
B ．平面DMN ⊥平面11BC
C B
C ．三棱锥1A DMN -的体积为定值
D ．DMN ∆可能为直角三角形
3．如图所示，为了测量A 、B 两座岛屿间的距离，小船从初始位置C 出发，已知A 在C 的北偏西45︒的方向上，B 在C 的北偏东15︒的方向上，现在船往东开2百海里到达E 处，此时测得B 在E 的北偏西30的方向上，再开回C 处，由C 向西开26D 处，测得A 在D 的北偏东22.5︒的方向上，则A 、B 两座岛屿间的距离为（ ）
A ．3
B ．32
C ．4
D ．42
4．已知全集U =R ，集合{}{}237,7100A x x B x x x =≤<=-+<，则()U A B ⋂=（ ） A ．()
(),35,-∞+∞ B ．(](),35,-∞+∞ C ．(][),35,-∞+∞
D ．()[),35,-∞+∞ 5．已知抛物线2:4C y x =和点(2,0)D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于
另一点E ．给出以下判断：
①以BE 为直径的圆与抛物线准线相离；
②直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-；
③设过点A ，B ，E 的圆的圆心坐标为(,)a b ，半径为r ，则224a r -=．
其中，所有正确判断的序号是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③ 6．若不等式32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围是( )
A ．932,2ln 2ln 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．932,2ln 2ln 5⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．932,2ln 2ln 5⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．9,2ln 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 7．为得到的图象，只需要将的图象（ ）
A ．向左平移个单位
B ．向左平移个单位
C ．向右平移个单位
D ．向右平移个单位
8．设a=log 73，
13b log 7=，c=30.7，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．b c a << D ．b a c <<
9．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（ ）
A ．月收入的极差为60
B ．7月份的利润最大
C ．这12个月利润的中位数与众数均为30
D ．这一年的总利润超过400万元
10．函数sin y x x =+在[]2,2x ππ∈-上的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．已知实数,x y 满足约束条件11220220
x y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎪⎨-+≥⎪⎪--≤⎩，则23x y -的最小值是 A ．2- B ．72- C ．1 D ．4
12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）
A ．1112
B ．6
C ．112
D ．223
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知关于空间两条不同直线m 、n ，两个不同平面α、β，有下列四个命题：①若//m α且//n α，则//m n ；②若m β⊥且m n ⊥，则βn//；③若m α⊥且//m β，则αβ⊥；④若n ⊂α，且m α⊥，则m n ⊥.其中正确命题的序号为______.
14．若奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，()g x 为R 上的单调函数，对任意实数x ∈R 都有()g 221x
g x ⎡⎤-+=⎣⎦，当[]0,1x ∈时，()()f x g x =，则()2log 12f =________.
15．1232e 2(){log (1)2
x x f x x x ，，-<=-≥，则f （f （2））的值为____________． 16．某部门全部员工参加一项社会公益活动，按年龄分为A B C ，，三组，其人数之比为5:3:2，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是
111，则该部门员工总人数为__________. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的参数方程
为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=；
（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；
(2）若直线l 与曲线C 交点分别为A ，B ，点()1,0P ，求11||||
PA PB +的值． 18．（12分）（某工厂生产零件A ，工人甲生产一件零件A ，是一等品、二等品、三等品的概率分别为
111,,424，工人乙生产一件零件A ，是一等品、二等品、三等品的概率分别为111,,
333
．己知生产一件一等品、二等品、三等品零件A 给工厂带来的效益分别为10元、5元、2元.
（1）试根据生产一件零件A 给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏； （2）为鼓励工人提高技术，工厂进行技术大赛，最后甲乙两人进入了决赛．决赛规则是：每一轮比赛，甲乙各生产一件零件A ，如果一方生产的零件A 品级优干另一方生产的零件，则该方得分1分，另一方得分-1分，如果两人生产的零件A 品级一样，则两方都不得分，当一方总分为4分时，比赛结束，该方获胜．P i +4（i =-4，-3，-2，…，4）表示甲总分为i 时，最终甲获胜的概率．
①写出P 0，P 8的值；
②求决赛甲获胜的概率．
19．（12分）2018年9月，台风“山竹”在我国多个省市登陆，造成直接经济损失达52亿元.某青年志愿者组织调查了
某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的数据分成五组：[0,2000]，(2000,4000]，(4000,6000]，(6000,8000]，(8000,10000]（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图.
（1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户并且损失超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000元的农户数为X ，求X 的分布列和数学期望.
20．（12分）已知函数()123f x x x =--+.
（1）求不等式()1f x <的解集；
（2）若存在实数x ，使得不等式()230m m f x --<成立，求实数m 的取值范围.
21．（12分）记函数1()212f x x x =+
+-的最小值为m . （1）求m 的值；
（2）若正数a ，b ，c 满足abc m =，证明：9ab bc ca a b c
++≥++. 22．（10分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，1AB BB ⊥，1AC BC BB ==，D 为AB 的中点，
且1CD DA ⊥.
（1）求证：1BB ⊥平面ABC ；
（2）求锐二面角11C DA C --的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C
【解析】
根据韦恩图可确定所表示集合为()R N M ，根据一元二次不等式解法和定义域的求法可求得集合,M N ，根据补集和交集定义可求得结果.
【详解】
由韦恩图可知：阴影部分表示()R N M ， ()(){}{}52025M x x x x x =-+<=-<<，{}
{}29033N x x x x =-≥=-≤≤，
(){}32R N M x x ∴⋂=-≤≤-.
故选：C .
【点睛】
本题考查集合运算中的补集和交集运算，涉及到一元二次不等式和函数定义域的求解；关键是能够根据韦恩图确定所求集合.
2、D
【解析】
A 项用平行于平面ABC 的平面与平面MDN 相交，则交线与平面ABC 平行；
B 项利用线面垂直的判定定理；
C 项三棱锥1A DMN -的体积与三棱锥1N A DM -体积相等，三棱锥1N A DM -的底面积是定值，高也是定值，则体积是定值;
D 项用反证法说明三角形DMN 不可能是直角三角形.
【详解】
A 项，用平行于平面ABC 的平面截平面MND ，则交线平行于平面ABC ，故正确；
B 项，如图：
当M 、
N 分别在BB 1、CC 1上运动时,若满足BM=CN,则线段MN 必过正方形BCC 1B 1的中心O,由DO 垂直于平面BCC 1B 1可得平面DMN ⊥平面11BCC B ，故正确；
C 项,当M 、N 分别在BB 1、CC 1上运动时,△A 1DM 的面积不变,N 到平面A 1DM 的距离不变,所以棱锥N-A 1DM 的体积不变,即三棱锥A 1-DMN 的体积为定值,故正确；
D 项,若△DMN 为直角三角形,则必是以∠MDN 为直角的直角三角形,但MN 的最大值为BC 1,而此时DM,DN 的长大于BB 1,所以△DMN 不可能为直角三角形,故错误.
故选D
【点睛】
本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力，意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性质的应用，是中档题.
3、B
【解析】
先根据角度分析出,,CBE ACB DAC ∠∠∠的大小，然后根据角度关系得到AC 的长度，再根据正弦定理计算出BC 的长度，最后利用余弦定理求解出AB 的长度即可.
【详解】
由题意可知：60,67.5,45,75,60ACB ADC ACD BCE BEC ∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒，
所以180756045CBE ∠=︒-︒-︒=︒，18067.54567.5DAC ∠=︒-︒-︒=︒，
所以DAC ADC ∠=∠，所以26CA CD == 又因为sin sin BC CE BEC CBE =∠∠，所以32262
BC == 所以2212cos 2462266322
AB AC BC AC BC ACB =
+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=故选：B.
【点睛】
本题考查解三角形中的角度问题，难度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答问题的关键.
4、D
【解析】
先计算集合B ，再计算A B ，最后计算()U A B ⋂． 【详解】 解：{}
27100B x x x =-+< {|25}B x x ∴=<<，
{}37A x x =≤<
{|35}A B x x ∴=<，
()[)U ,35(,)A B -∞+∞∴=．
故选：D ．
【点睛】 本题主要考查了集合的交，补混合运算，注意分清集合间的关系，属于基础题． 5、D
【解析】
对于①，利用抛物线的定义，利用12||||||222
d d BF EF BE d R ++==>=可判断； 对于②，设直线DE 的方程为2x my =+，与抛物线联立，用坐标表示直线OB 与直线OE 的斜率乘积，即可判断； 对于③，将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-，利用韦达定理可得
242||164832BE m m =++，再由222
||||2BE r MN ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可用m 表示2r ，线段BE 的中垂线与x 轴的交点（即圆心N ）横坐标为224m +，可得a ，即可判断.
【详解】
如图，设F 为抛物线C 的焦点，以线段BE 为直径的圆为M ，则圆心M 为线段BE 的中点．
设B ，E 到准线的距离分别为1d ，2d ，M 的半径为R ，点M 到准线的距离为d ， 显然B ，E ，F 三点不共线， 则12||||||222
d d BF EF BE d R ++==>=．所以①正确． 由题意可设直线DE 的方程为2x my =+，
代入抛物线C 的方程，有2
480y my --=．
设点B ，E 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，
则124y y m +=，128y y =-．
所以()()()21212121222244x x my my m y y m y y =++=+++=． 则直线OB 与直线OE 的斜率乘积为1212
2y y x x =-．所以②正确． 将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-．根据抛物线的对称性可知， A ，E 两点关于x 轴对称，所以过点A ，B ，E 的圆的圆心N 在x 轴上．
由上，有124y y m +=，21244x x m +=+，
则()()22
24212121212||44164832BE x x x x y y y y m m =+-++-=++．
所以，线段BE 的中垂线与x 轴的交点（即圆心N ）横坐标为224m +，所以224a m =+． 于是，222
22
2421212||||244128222BE x x y y r MN m m m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 代入21244x x m +=+，124y y m +=，得24241612r m m =++， 所以()()22224224416124a r m m m -=+-++=．
所以③正确．
故选：D
【点睛】
本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题. 6、C
【解析】
由题可知，设函数()ln(1)f x a x =+，32()2g x x x =-，根据导数求出()g x 的极值点，得出单调性，根据
32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，转化为()()f x g x >在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数a 的取值范围.
【详解】
设函数()ln(1)f x a x =+，32()2g x x x =-，
因为2
()34g x x x '=-，
所以()0g x '=， 0x ∴=或43x =
， 因为403x << 时，()0g x '<， 43
x >或0x <时，()0g x '>，(0)(2)0g g ==，其图象如下：
当0a 时，()()f x g x >至多一个整数根；
当0a >时，()()f x g x >在(0,)+∞内的解集中仅有三个整数，只需(3)(3)(4)(4)f g f g >⎧⎨⎩，
3232
ln 4323ln 5424a a ⎧>-⨯∴⎨-⨯⎩
， 所以
932
2ln 2ln 5
a <. 故选：C. 【点睛】
本题考查不等式的解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考查数形结合思想和解题能力. 7、D 【解析】
试题分析：因为，所以为得到的图象，只需要将的图象向右平
移个单位；故选D ． 考点：三角函数的图像变换． 8、D 【解析】
71log 30a >=>，13
log 70b =<，0.731c =>得解．
【详解】
71log 30a >=>，13
log 70b =<，0.731c =>，所以b a c <<，故选D
【点睛】
比较不同数的大小，找中间量作比较是一种常见的方法． 9、D 【解析】
直接根据折线图依次判断每个选项得到答案. 【详解】
由图可知月收入的极差为903060-=，故选项A 正确；
1至12月份的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，7月份的利润最高，故选项B 正确； 易求得总利润为380万元，众数为30，中位数为30，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：D . 【点睛】
本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力和应用能力. 10、D
讨论x 的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断. 【详解】
当0x ≥时，sin y x x =+，则cos 10y x '=+≥， 所以函数在[]0,2π上单调递增， 令()cos 1g x x =+，则()sin g x x '=-， 根据三角函数的性质，
当[]0,x π∈时，()sin 0g x x '=-<，故切线的斜率变小， 当[],2x ππ∈
时，()sin 0g x x '=->，故切线的斜率变大，可排除A 、B ；
当0x <时，sin y x x =-+，则cos 10y x '=-+≥， 所以函数在[]2,0π-上单调递增， 令 ()cos 1h x x =-+，()sin h x x '=，
当[]2,x ππ∈--时，()sin 0h x x '=>，故切线的斜率变大， 当[],0x π∈-时，()sin 0h x x '=<，故切线的斜率变小，可排除C ， 故选：D 【点睛】
本题考查了识别函数的图像，考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义，属于中档题. 11、B 【解析】
作出该不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示， 设23z x y =-，则2133y x z =
-，易知当直线21
33
y x z =-经过点D 时，z 取得最小值， 由1220x x y =-⎧⎨-+=⎩，解得1
12
x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以1(1,)2D -，所以min 172(1)322z =⨯--⨯=-，故选B ．
【解析】
用列举法，通过循环过程直接得出S 与n 的值，得到8n ＝时退出循环,即可求得. 【详解】
执行程序框图，可得0S =，2n =，满足条件，1
2
S =
，4n ＝，满足条件，113244S =+=，6n =，满足条件，
1111124612S =
++=，8n ＝，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S 的值为1122
8123
⨯=. 故选D ． 【点睛】
本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的S 与n 的值是解题的关键,难度较易.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、③④ 【解析】
由直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，面面垂直的判定定理和线面垂直的定义判断． 【详解】
①若//m α且//n α，,m n 的位置关系是平行、相交或异面，①错； ②若m β⊥且m n ⊥，则βn//或者n β⊂，②错；
③若//m β，设过m 的平面与β交于直线n ，则//m n ，又m α⊥，则n α⊥，∴αβ⊥，③正确； ④若n ⊂α，且m α⊥，由线面垂直的定义知m n ⊥，④正确． 故答案为：③④． 【点睛】
本题考查直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，面面垂直的判定定理和线面垂直的定义，考查空间线面间的位置关系，掌握空间线线、线面、面面位置关系是解题基础． 14、13
- 【解析】
根据()()2f x f x +=-可得,函数()f x 是以4为周期的函数，令()g 22x
x k -+=，可求()21x
g x =-，从而可得
()()21x f x g x ==-，()()22log 122log 3f f =--代入解析式即可求解.
【详解】
令()g 22x
x k -+=，则()g 22x
x k =+-，
由()g 221x
g x ⎡⎤-+=⎣⎦，则()1g k =，
所以()g 221k
k k =+-=，解得1k =，
所以()21x
g x =-，
由[]0,1x ∈时，()()f x g x =， 所以[]0,1x ∈时，()21x
f x =-；
由()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=， 所以函数()f x 是以4为周期的函数，
()()()()22222log 12log 3log 4log 32log 32f f f f =+=+=-，
又函数()f x 为奇函数，
所以()()22log 3
221
log 122log 3213
f f -⎡⎤=--=--=-⎣⎦. 故答案为：1
3
- 【点睛】
本题主要考查了换元法求函数解析式、函数的奇偶性、周期性的应用，属于中档题. 15、1 【解析】
先求f （1），再根据f （1）值所在区间求f （f （1））. 【详解】
由题意，f （1）=log 3（11–1）=1，故f （f （1））=f （1）=1×e 1–1=1，故答案为：1． 【点睛】
本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力. 16、60 【解析】
根据样本容量及各组人数比，可求得C 组中的人数；由C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是1
11
可求得C 组的总人数，即可由各组人数比求得总人数. 【详解】
A B C ，，三组人数之比为5:3:2，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，
则A B C ，，三组抽取人数分别10,6,4.
设C 组有n 人，则C 组中甲、乙二人均被抽到的概率()22
4121
111
n C C n n ==-，
∴解得12n =. ∴该部门员工总共有()12
532602
⨯++=人. 故答案为：60. 【点睛】
本题考查了分层抽样的定义与简单应用，古典概型概率的简单应用，由各层人数求总人数的应用，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（Ⅰ）:10l x y +-=,曲线2
2
:40C x y x +-=
【解析】
试题分析：（1）消去参数t 可得直线l 的直角坐标系方程，由2
2
2
cos x y x ρρθ+==，可得曲线C 的直角坐标方程； （2
）将122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）代入曲线C
的方程得：230t -=，1212121111t t PA PB t t t t -+=+=，利用
韦达定理求解即可. 试题解析：
（1）:10l x y +-=，曲线2
2
:40C x y x +-=，
（2
）将12
2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）代入曲线C
的方程得：230t -=.
所以12123t t t t +==-.
所以
12121211113
t t PA PB t t t t -+=+===. 18、（1）乙的技术更好，见解析（2）①00P =，81P =；②1
2
【解析】
（1）列出分布列，求出期望，比较大小即可；
（2）①直接根据概率的意义可得P 0，P 8；②设每轮比赛甲得分为X ，求出每轮比赛甲得1分的概率，甲得0分的概率，甲得1-分的概率，可的11,11
33413n n n n P i P n P P -++=++=，可推出{}n P 是等差数列，根据0842
P P P +=可得答案. 【详解】
（1）记甲乙各生产一件零件给工厂带来的效益分别为X 元、Y 元， 随机变量X ，Y 的分布列分别为
所以1111110524242EX =
⨯+⨯+⨯=，1111710523333
EY =⨯+⨯+⨯=， 所以EX EY <，即乙的技术更好
（2）①0P 表示的是甲得4-分时，甲最终获胜的概率，所以00P =， 8P 表示的是甲得4分时，甲最终获胜的概率，所以81P =；
②设每轮比赛甲得分为X ，则 每轮比赛甲得1分的概率111111
(1)433233
P X ⎛⎫==
⨯++⨯= ⎪⎝⎭， 甲得0分的概率1111111(0)4323433P X ==
⨯+⨯+⨯=， 甲得1-分的概率111111(1)234333
P X ⎛⎫=-=
⨯+⨯+= ⎪⎝⎭， 所以甲得(3,2,3)i i =--⋅⋅⋅时，最终获胜有以下三种情况：
（1）下一轮得1分并最终获胜，概率为411
3
i P ++；
（2）下一轮得0分并最终获胜，概率为
41
3
i P +；
（3）下一轮得1-分并最终获胜，概率为411
3
i P +-；
所以1111111
2,(2,3,4,5,6,7)333
n n n n n n n P P P P P P P n -+-+=
++⇒=+=， 所以{}n P 是等差数列， 则0841
22
P P P +=
=， 即决赛甲获胜的概率是1
2
. 【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查数列递推关系的应用，是一道难度较大的题目. 19、（1）3360元；（2）见解析 【解析】
（1）根据频率分布直方图计算每个农户的平均损失；
（2）根据频率分布直方图计算随机变量X 的可能取值，再求X 的分布列和数学期望值． 【详解】
（1）记每个农户的平均损失为元，则
10000.330000.4x =⨯+⨯+ 50000.1870000.0690000.063360⨯+⨯+⨯=；
（2）由频率分布直方图，可得损失超过1000元的农户共有（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50＝15（户），损失超过8000元的农户共有0.00003×2000×50＝3（户）， 随机抽取2户，则X 的可能取值为0，1，2； 计算P （X ＝0）＝
＝
，
P （X ＝1）＝＝，
P （X ＝2）＝＝，
所以X 的分布列为； X 0 1 2 P
数学期望为E （X ）＝0×+1×+2×＝．
【点睛】
本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，属于中档题． 20、（1）()(),62,-∞--+∞；
（2）()1,4-. 【解析】
（1）将函数()y f x =的解析式表示为分段函数，然后分3x ≤-、31x -<<、1x ≥三段求解不等式()1f x <，综合
可得出不等式
()1f x <的解集；
（2）求出函数()y f x =的最大值()max f x ，由题意得出()2
max 3m m f x -<，解此不等式即可得出实数m 的取值范围. 【详解】
()7,3
12335,317,1x x f x x x x x x x +≤-⎧⎪
=--+=---<<⎨⎪--≥⎩
.
（1）当3x ≤-时，由()71f x x =+<，解得6x <-，此时6x <-； 当31x -<<时，由()351f x x =--<，解得2x >-，此时21x -<<； 当1x ≥时，由()71f x x =--<，解得8x >-，此时1x ≥. 综上所述，不等式
()1f x <的解集()(),62,-∞--+∞；
（2）当3x ≤-时，函数()7f x x =+单调递增，则()()34f x f ≤-=；
当31x -<<时，函数()35f x x =--单调递减，则()()()13f f x f <<-，即()84f x -<<； 当1x ≥时，函数()7f x x =--单调递减，则()()18f x f ≤-=-. 综上所述，函数()y f x =的最大值为()()max 34f x f =-=， 由题知，()2
max 34m m f x -<=，解得14-<<m .
因此，实数m 的取值范围是()1,4-. 【点睛】
本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了绝对值不等式中的参数问题，考查分类讨论思想的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
21、（1）1m =（2）证明见解析 【解析】
（1）将函数()f x 转化为分段函数或利用绝对值三角不等式进行求解； （2）利用基本不等式或柯西不等式证明即可. 【详解】
解法一：（1）113,22311(),222113,22x x f x x x x x ⎧
-+≤-⎪⎪
⎪
=-+-<≤⎨⎪
⎪->⎪⎩
当12x ≤-
时，1()22f x f ⎛⎫
≥-= ⎪⎝⎭
， 当1122x -
<≤，1()12f x f ⎛⎫
≥= ⎪⎝⎭
， 当12x >
时，1()12f x f ⎛⎫
>= ⎪⎝⎭
， 所以min ()1m f x ==
解法二：（1）113,22311(),222113,22x x f x x x x x ⎧
-+≤-⎪⎪
⎪
=-+-<≤⎨⎪
⎪->⎪⎩
如图
当1
2
x =
时，min ()1m f x ==
解法三：（1）111()222f x x x x =+
+-+-111
222
x x x ⎛⎫⎛⎫≥+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1
112
x =+-
≥ 当且仅当1102210
2x x x ⎧⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪-=⎪⎩
即12x =时，等号成立.
当1
2
x =
时min ()1m f x == 解法一：（2）由题意可知，111
ab bc ca c a b
++=
++， 因为0a >，0b >，0c >，所以要证明不等式9
ab bc ca a b c
++≥
++，
只需证明111()9a b c c a b ⎛⎫
++++≥
⎪⎝
⎭，
因为111()9a b c c a b ⎛⎫
++++≥=
⎪⎝⎭
成立， 所以原不等式成立.
解法二：（2）因为0a >，0b >，0c >
，所以0ab bc ca ++≥>，
0a b c ++≥>，
又因为1abc =，
所以()()9a b c ab bc ac ++++≥=，
()()9ab bc ac a b c ++++≥
所以9
ab bc ca a b c
++≥
++，原不等式得证.
补充：解法三：（2）由题意可知，111ab bc ca c a b
++=
++， 因为0a >，0b >，0c >，所以要证明不等式9
ab bc ca a b c
++≥
++，
只需证明111()9a b c a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝
⎭，
由柯西不等式得：2111()9a b c a b c ⎛⎫++++≥= ⎪⎝⎭成立， 所以原不等式成立.
【点睛】
本题主要考查了绝对值函数的最值求解，不等式的证明，绝对值三角不等式，基本不等式及柯西不等式的应用，考查了学生的逻辑推理和运算求解能力.
22、（1）证明见解析；（2
. 【解析】
（1）证明CD AB ⊥后可得CD ⊥平面11BB A A ，从而得1CD BB ⊥，结合已知得线面垂直；
（2）以C 为坐标原点，以CB 为x 轴，1CC 为y 轴，CA 为z 建立空间直角坐标系，设12CC =，写出各点坐标，求出二面角的面的法向量，由法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值．
【详解】
（1）证明：因为AC BC =，D 为BC 中点，
所以CD AB ⊥，又1CD DA ⊥，1AB A D D =，
所以CD ⊥平面11AA B B ，又1BB ⊂平面11AA B B ，
所以1CD B B ⊥，又1B B AB ⊥，AB
CD D =，
所以1B B ⊥平面ABC .
（2）由已知及（1）可知CB ，1CC ，CA 两两垂直，所以以C 为坐标原点，以CB 为x 轴，1CC 为y 轴，CA 为z 建立空间直角坐标系，设12CC =，则 ()0,0,0C ，()2,0,0B ，()0,0,2A ，()10,2,0C ，()10,2,2A ，()1,0,1D .
设平面1DCA 的法向量()1111,,n x y z =，则
11100
n CD n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11110220x z y z +=⎧⎨+=⎩，令11z =-，则()11,1,1n =-； 设平面11DC A 的法向量()2222,,n x y z =，则
21211
00n C D n C A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22222020x y z z -+=⎧⎨=⎩，令21y =，则()22,1,0n =，
所以121212s ,3c o
n n n n n n ==⋅=. 故锐二面角11C DA C --的余弦值为
5. 【点睛】
本题考查证明线面垂直，解题时注意 线面垂直与线线垂直的相互转化．考查求二面角，求空间角一般是建立空间直角坐标系，用向量法易得结论．。