高中数学 第1章 立体几何初步章末检测 北师大版必修2(2021年整理)

2016-2017学年高中数学第1章立体几何初步章末检测北师大版必修2 编辑整理：
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2016-2017学年高中数学第1章立体几何初步章末检测北师大版必修2
一、选择题(本大题10个小题，每小题5分，共50分）
1．若a、b为异面直线，直线c∥a，c与b的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．异面或相交
答案:D
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（）
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
答案:A
解析：因为A1B∥D1C，D1C∩EF＝E,又E,F，A1,B四点都在平行四边形A1BCD1上，所以E，F，A
，B四点共面，所以EF与A1B相交，故选A.
1
3．如图为一零件的三视图，根据图中所给数据(单位:cm)可知这个零件的体积为( ）
A．（64－π）cm3 B．(64－4π）cm3
C．(48－π）cm3 D．(48－4π)cm3
答案:B
解析：由三视图，可知这个零件是一个棱长为4的正方体,中间挖去了一个底面半径为1、高为4的圆柱所形成的几何体，其体积为43－π×12×4＝(64－4π）cm3。

4．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为( ) A．1：2:3 B．2：3:4
C．3：2：4 D．3:1：2
答案:D
5．已知正方体的棱长为2，则外接球的表面积和体积分别为( ）
A．48π，32 3π B．48π，4 错误!π
C．12π，4 3π D．12π， 32 错误!π
答案：C
6．正方体ABCD－A1B1C1D1中,P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点．那么正方体的过P、Q、R的截面图形是（)
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
答案：D
7．已知α，β为两个不同的平面,m，n为两条不同的直线，下列结论正确的是( ）A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
B．若m∥α，n∥α,则m∥n
C．若mβ，且α⊥β,则m⊥α
D．若m⊥β,且α∥β，则m⊥α
答案：D
解析：A中可能nα；B中m，n还可能相交或异面；C中m，α还可能平行或斜交；一条直线垂直于两平行平面中的一个,也垂直于另一个，所以D正确．
8．四面体S－ABC中，各个面都是边长为2的正三角形，E，F分别是SC和AB的中点，则异面直线EF与SA所成角等于( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
答案:C
9．设m、n是两条不同的直线，α,β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ
③若m∥α，n∥α，则m∥n
④若α⊥γ,β⊥γ，则α∥β
其中正确命题的序号是（)
A．①和② B．②和③
C．③和④ D．①和④
答案：A
10．直线m⊥平面α,垂足是O，正四面体ABCD的棱长为4，点C在平面α上运动，点B 在直线m上运动，则点O到直线AD的距离的取值范围是( ）
A．［错误!，错误!］
B．[2 错误!－2，2 错误!＋2]
C．［错误!，错误!］
D．［3 错误!－2,3 错误!＋2]
答案：B
解析:
由题意，直线BC与动点O的空间关系：
点O是以BC为直径的球面上的点，
所以O到AD的距离为四面体上以BC为直径的球面上的点到AD的距离，
最大距离为AD到球心的距离（即BC与AD的公垂线)＋半径＝2 错误!＋2。

最小距离为AD到球心的距离（即BC与AD的公垂线)－半径＝2 错误!－2.
∴点O到直线AD的距离的取值范围是:[2 错误!－2，2 错误!＋2］．
二、填空题（本大题5个小题，每小题5分，共25分)
11．已知圆锥的表面积为6π,且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为________．
答案:错误!
12．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中,E，F分别是棱AB，BC中点，则三棱锥B－B1EF 的体积为________．
答案：错误!
13．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为BB1和CD的中点,则直线AM和D1N所成的角为________。

答案：90°
14．如图，梯形A′B′C′D′是水平放置的四边形ABCD的用斜二测画法画出的直观图．若A′D′∥y′轴，A′B′∥C′D′，A′B′＝错误!C′D′＝2，A′D′＝O′D′＝1，则四边形ABCD的面积为________．
答案:5
解析:如图，建立直角坐标系xOy,在x轴上截取OD＝O′D′＝1，OC＝O′C′＝2.
过点D作y轴的平行线，并在平行线上截取DA＝2D′A′＝2。

过点A作x轴的平行线,并在平行线上截取AB＝A′B′＝2.连接BC，即得到了四边形ABCD.
可知四边形ABCD是直角梯形,上、下底边分别为AB＝2，CD＝3,高AD＝2，所以四边形ABCD 的面积S＝错误!×2＝5。

15．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，给出以下四个结论：
①直线D1C∥平面A1ABB1;
②直线A1D1与平面BCD1相交；
③直线AD⊥平面D1DB；
④平面BCD1⊥平面A1ABB1.
其中正确结论的序号为________．
答案：①④
解析：因为平面A1ABB1∥平面D1DCC1,D1C平面D1DCC1，所以D1C∥平面A1ABB1,①正确；直线A1D1在平面BCD1内，②不正确；显然AD不垂直于BD，所以AD不垂直于平面D1DB，③不正确；因为BC⊥平面A1ABB1，BC平面BCD1,所以平面BCD1⊥平面A1ABB1,④正确．
三、解答证明题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤．）
16．(12分)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．
解:圆台的轴截面如右图所示,设圆台上下底面半径分别为x cm，3x cm.
延长AA1交OO1的延长线于S，
在Rt△SOA中，∠ASO＝45°,则∠SAO＝45°，
∴SO＝AO＝3x，∴OO1＝2x,
又S轴截面＝错误!（6x＋2x)·2x＝392，∴x＝7.
故圆台的高OO1＝14 cm，母线长l＝错误!O1O＝14 错误! cm，两底面半径分别为7 cm，21 cm。

17．(12分)如图，在圆锥SO中,AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，SO＝OB＝2,P 为SB的中点．
(1）求证:SA∥平面PCD；
(2)求圆锥SO的表面积．
解:（1）连接PO,
∵P，O分别为SB，AB的中点，∴PO∥SA.
又PO平面PCD，S A⃘平面PCD,∴SA∥平面PCD.
（2)设母线长为l，底面圆半径为r，则r＝2，l＝SB＝2错误!，
∴S底＝πr2＝4π，S侧＝πrl＝42π，
∴S表＝S底＋S侧＝4(2＋1)π。

18．（12分)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分PC，且分别交AC，PC于D，E两点，PB＝BC，PA＝AB.
（1)求证：PC⊥平面BDE；
（2）试确定线段PA上点Q的位置，使得PC∥平面BDQ.
解：(1）∵PB＝BC,E为PC的中点,∴PC⊥BE。

∵DE垂直平分PC，∴PC⊥DE。

2016-2017学年高中数学第1章立体几何初步章末检测北师大版必修2 又BE平面BDE，DE平面BDE,且BE∩DE＝E，
∴PC⊥平面BDE.
（2)不妨令PA＝AB＝1，则有PB＝BC＝2，计算得AD＝错误!＝错误!AC.
∴点Q在线段PA上靠近点A的三等分点处,即AQ＝错误!AP时，PC∥QD，从而PC∥平面BDQ.
19．（13分）如图，在直三棱柱ADF－BCE中，AB＝AD＝DF＝a，AD⊥DF，M，G分别是AB,DF 的中点．
（1)求该直三棱柱的体积与表面积；
(2）在棱AD上确定一点P，使得GP∥平面FMC，并给出证明．
解：(1)由题意，可知该直三棱柱的体积为1
2
×a×a×a＝错误!a3，
表面积为错误!a2×2＋错误!a2＋a2＋a2＝(3＋错误!)a2。

(2）当点P与点A重合时,GP∥平面FMC.
取FC的中点H，连接GH，GA，MH。

∵G是DF的中点，∴GH綊错误!CD.
又M是AB的中点，AB綊CD，
∴AM綊错误!CD。

∴GH∥AM且GH＝AM，
∴四边形GHMA是平行四边形，
∴GA∥MH。

∵MH平面FMC，G A⃘平面FMC，
∴GA∥平面FMC,
即当点P与点A重合时，GP∥平面FMC。

20．（13分)如图①，有一个等腰直角三角板ABC垂直于平面α，BCα，AB＝BC＝5，有一条长为7的细线，其两端分别位于B，C处，现用铅笔拉紧细线，在平面α上移动．
（1）图②中的PC（PC<PB）的长为多少时,CP⊥平面ABP?并说明理由．
(2)在（1)的情形下,求三棱锥B－APC的高．
解：(1)当CP＝3时，CP⊥平面ABP。

证明如下：若CP＝3，则BP＝4,而BC＝5，
所以三角形BPC为直角三角形，且CP⊥PB。

又平面ABC⊥平面α,AB⊥BC，
所以AB⊥平面α,于是CP⊥AB。

2016-2017学年高中数学第1章立体几何初步章末检测北师大版必修2 又PB平面ABP，AB平面ABP,PB∩AB＝B,
所以CP⊥平面ABP.
（2）解法一:如图，过点B作BD⊥AP于点D，
由(1），知CP⊥平面ABP，则CP⊥BD。

又AP平面APC,CP平面APC，AP∩CP＝P,
所以BD⊥平面APC，即BD为三棱锥B－APC的高．
由于PB＝4，AB＝5，AB⊥平面α，
所以AP＝AB2＋PB2＝25＋16＝错误!，
由AP·BD＝AB·PB，得BD＝错误!＝错误!。

即三棱锥B－APC的高为错误!.
解法二：由（1)，知CP⊥平面ABP，所以CP⊥AP。

又CP＝3,BP＝4,AB＝5，AB⊥BP，
所以AP＝错误!＝错误!＝错误!,
所以S△APC＝错误!·CP·AP＝错误!。

设三棱锥B－APC的高为h，则V B－APC＝错误!·S△APC·h＝错误!h。

又V A－PBC＝1
3
·S△PBC·AB＝错误!×错误!×CP×BP×AB＝10，
而V B－APC＝V A－PBC，得错误!h＝10，所以h＝错误!。

即三棱锥B－APC的高为错误!。

21．（13分)已知正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，M为AC上一点，N为BF上一点，且AM＝FN＝x,设AB＝a
(1)求证：MN∥平面CBE；
(2)求证: MN⊥AB;
（3)当x为何值时，MN取最小值？并求出这个最小值．
证明：（1）在平面ABC中，作MG∥AB，在平面BFE中,作NH∥EF,
连接GH,∵AM＝FN，∴MC＝NB，∵错误!＝错误!＝错误!∴MG∥NH,
∴MNHG为平行四边形，∴MN∥GH
又∵GH⊆面BEC，MN面BEC，∴MN∥面BEC
(2)∵AB⊥BC，AB⊥BE，∴AB⊥面BEC,
∵GH⊆面GEC，∴AB⊥GH，∵MN∥GH，∴MN⊥AB
（3)∵面ABCD⊥面ABEF，∴BE⊥面ABCD，∴BE⊥BC
∵BG＝错误!，BH＝错误!
∴MN＝GH＝BG2＋BH2
＝错误!
＝错误!（0〈a<错误!a）
＝错误!≤错误!a
当且仅当x＝错误!a时，等号成立;
∴当x＝错误!a时，MN取最小值错误!a。

2016-2017学年高中数学第1章立体几何初步章末检测北师大版必修2。