高考数学一轮复习 第二章 基本初等函数、导数的应用 第6讲 指数与指数函数分层演练直击高考 文

第6讲 指数与指数函数
1．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )＝________．
解析：由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3，两边平方得22a ＋2
－2a ＋2＝9，即22a ＋2－2a ＝7，故f (2a )＝7.
答案：7
2．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则a ，b ，c 的大小关系为________．
解析：由0.2<0.6，0.4<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6，即b >c ；因为a ＝20.2>1，b ＝0.40.2<1，所以a >b .综上，a >b >c .
答案：a >b >c
3．若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a ＝________． 解析：当a >1时，f (x )＝a x －1在[0，2]上为增函数，
则a 2－1＝2，所以a ＝±3，又因为a >1，所以a ＝ 3.
当0<a <1时，f (x )＝a x －1在[0，2]上为减函数，
又因为f (0)＝0≠2，所以0<a <1不成立．
综上可知，a ＝ 3. 答案： 3
4.⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－760＋814×42－ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________． 解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭
⎪⎫2313＝2. 答案：2
5．已知函数f (x )＝e x －e －x e x ＋e －x ，若f (a )＝－12
，则f (－a )＝________． 解析：因为f (x )＝e x －e －x e x ＋e －x ，f (a )＝－12
， 所以e a －e －a
e a ＋e －a ＝－12
. 所以f (－a )＝e －a －e a e －a ＋e a ＝－e a －e －a e a ＋e －a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12. 答案：12
6．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)且f (1)＝9，则f (x )的单调递减区间是________．
解析：由f (1)＝9得a 2＝9，所以a ＝3.因此f (x )＝3|2x －4|，
又因为g (x )＝|2x －4|的递减区间为(－∞，2]，所以f (x )的单调递减区间是(－∞，2]． 答案：(－∞，2]
7．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ＋1在x ∈[－3，2]上的值域是________． 解析：因为x ∈[－3，2]，若令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤14，8. 则y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122
＋34. 当t ＝12时，y min ＝34
；当t ＝8时，y max ＝57. 所以所求函数值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤34，57. 答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤34，57 8．已知函数f (x )＝e
|x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取
值范围是________．
解析：因为y ＝e u 是R 上的增函数，所以f (x )在[1，＋∞)上单调递增，只需u ＝|x －a |在[1，＋∞)上单调递增，由函数图象可知a ≤1.
答案：(－∞，1]
9．(2018·安徽江淮十校第一次联考)已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．
解析：由于f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}＝⎩⎪⎨⎪⎧e x
，x ≥1，e 2－x ，x <1. 当x ≥1时，f (x )≥e ，且当x ＝1时，取得最小值e ；
当x <1时，f (x )>e.
故f (x )的最小值为f (1)＝e.
答案：e
10．若函数f (x )＝a x
－x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：令a x －x －a ＝0即a x ＝x ＋a ，若0<a <1，显然y ＝a x 与y ＝x ＋a
的图象只有一个公共点；若a >1，y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象如图所示有两个公
共点．
答案：(1，＋∞)
11．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1，6)，B (3，
24)．
(1)试确定f (x )；
(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1b x
－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)因为f (x )＝b ·a x 的图象过点A (1，6)，B (3，24)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6，①b ·a 3＝24，② ②÷①得a 2＝4，又a >0且a ≠1，所以a ＝2，b ＝3，
所以f (x )＝3·2x .
(2)由(1)知⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立化为m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x
在(－∞，1]上恒成立． 令g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x
， 则g (x )在(－∞，1]上单调递减，
所以m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝56
， 故所求实数m 的取值范围是⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，56. 12．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；
(2)若f (x )有最大值3，求a 的值；
(3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．
解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13－x 2－4x ＋3， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，
由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减， 而y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13t
在R 上单调递减， 所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，
即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，
单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g （x ），
由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，
因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a
＝－1， 解得a ＝1，
即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.
(3)由指数函数的性质知，
要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g （x ）的值域为(0，＋∞)．
应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，
因此只能a ＝0.
(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )
故a 的值为0.
1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >0，e x ，x ≤0，
若F (x )＝f (x )＋x ，x ∈R ，则F (x )的值域为________．
解析：当x >0时，F (x )＝1x
＋x ≥2； 当x ≤0时，F (x )＝e x
＋x ，根据指数函数与一次函数的单调性，F (x )是单调递增函数，F (x )≤F (0)＝1，所以F (x )的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．
答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)
2．若关于x 的方程|a x
－1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是________．
解析：方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不同实数根转化为函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 有两个交点．
①当0<a <1时，如图(1)，所以0<2a <1，即0<a <12
. ②当a >1时，如图(2)，而y ＝2a >1不符合要求．
综上，0<a <12
. 答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12
3．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，且满足以下条件①f (x )＝a x
·g (x )(a >0，a ≠1)；②g (x )≠0；若f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝52
，则a 等于________． 解析：由f (x )＝a x ·g (x )得f （x ）g （x ）＝a x ，所以f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝52⇒a ＋a －1＝52，解得a ＝2或12.
答案：2或12
4．已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是________．
①a <0，b <0，c <0；②a <0，b ≥0，c >0；
③2－a <2c ；④2a ＋2c <2.
解析：画出函数f (x )＝|2x －1|的图象(如图)，
由图象可知，a <0，b 的符号不确定，c >0.
故①②错；
因为f (a )＝|2a －1|，f (c )＝|2c －1|，
所以|2a －1|>|2c －1|，即1－2a >2c －1，
故2a ＋2c <2，④成立；
又2a ＋2c >22a ＋c ，所以2a ＋c <1，
所以a ＋c <0，所以－a >c ，所以2－a >2c
，③不成立．
答案：④
5．(2018·苏锡常镇四市调研)已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1.
(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈[－3，0]上的值域；
(2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围．
解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1
＝2(2x )2－2x －1， 令t ＝2x ，x ∈[－3，0]，则t ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤18，1. 故y ＝2t 2－t －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142
－98，
t ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤18，1， 故值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－98，0. (2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解，
设2x ＝m >0，
等价于方程2am 2－m －1＝0在(0，＋∞)上有解，
记g (m )＝2am 2－m －1，
当a ＝0时，解为m ＝－1<0，不成立．
当a <0时，开口向下，对称轴m ＝14a
<0， 过点(0，－1)，不成立．
当a >0时，开口向上，对称轴m ＝14a
>0，过点(0，－1)，必有一个根为正，所以a >0. 6．设函数f (x )＝ka x －a －x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数．
(1)若f (1)>0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)>0的解集；
(2)若f (1)＝32
，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值． 解：因为f (x )是定义域为R 的奇函数，
所以f (0)＝0，所以k －1＝0，即k ＝1.
(1)因为f (1)>0，所以a －1a
>0， 又a >0且a ≠1，所以a >1，f (x )＝a x －a －x ，
因为f ′(x )＝a x ln a ＋a －x ln a ＝(a x ＋a －x )ln a >0，
所以f (x )在R 上为增函数．
原不等式可化为f (x 2＋2x )>f (4－x )，
所以x 2＋2x >4－x ，即x 2＋3x －4>0，
所以x >1或x <－4，
所以不等式的解集为{x |x >1或x <－4}．
(2)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝32
，即2a 2－3a －2＝0， 所以a ＝2或a ＝－12
(舍去)， 所以g (x )＝22x ＋2
－2x －4(2x －2－x ) ＝(2x －2－x )2－4(2x
－2－x )＋2.
令t (x )＝2x －2－x (x ≥1)，则t (x )在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，即t (x )≥t (1)＝
3
，
2
所以原函数变为w(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2，
所以当t＝2时，w(t)min＝－2，此时x＝log2(1＋2)．即g(x)在x＝log2(1＋2)时取得最小值－2.。