2013年高考真题解析分类汇编(理科数学)6：不等式

2013高考试题解析分类汇编（理数）6：不等式
一、选择题
1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设正实数
,,x y z 满足
22340x xy y z -+-=,则当xy z 取得最大值时,212x y z +-
的最大值为
（ ）
9
B 由
23x xy -,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
,2x y +则的最大值是 （ ）
2
C ．
53
D ．
52
C
本题考查线性规划的应用。

设2y ，则122
z
y x =-
+。

作出可行域如图。

平移直线122z y x =-
+，由图象可知当直线122
z
y x =-+经过点B
时，直线122z y x =-+的截距最大，此时z 最大。

由21y x x y =⎧⎨+=⎩，得13
2
3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，即12(,)33B ，
代入2z x y =+得125
2333
z =
+⨯=,选C. 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知函数
()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤
-⊆⎢⎥⎣⎦
,
则实数a 的取值范围是 （ ）
A
．⎫⎪⎪⎝⎭
B
．
⎝C
．⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭
A
4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知
0a >,,x y 满足约束条件1
3(3)x x y y a x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
,若2z x y =+的最小值为1,则a =
（ ）
A ．
14
B ．
12
C ．1
D ．2
B
先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y ，将最大值转化为y 轴上的截距， 当直线z=2x+y 经过点B 时，z
最小，由
得：
，代入直线y=a （x ﹣3）得，
a=。

故选B
．
5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设变量x , y 满足约
束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪
⎨⎪⎩
则目标函数z = y -2x 的最小值为
（ ）
A ．-7
B ．-4
C ．1
D ．2
A
由2z y x =-得2y x z =+。

作出可行域如图，平移直线2y x z =+，
由图象可知当直线2y x z =+经过点
z 最小，由2030x y y --=-=⎧⎨
⎩，得5
3x y ==⎧⎨⎩
，即(5,3)D ，选A.
6 ．（2013）已知一元二次不
等式()<0f x 的解集为{|<-1x x 或（ ）
A ．{}|<-1>lg2x x x 或
B ．{}|-1<<lg2x x
C ．{}|>-lg2x x
D ．{}|<-lg2
x x
D
由题知，一元二次不等式2ln 2
1
1-),21(-1,的解集为0)(-<⇒<<>x e x x 即 所以选D 。

7．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））在平面直角坐标系xoy
中,M 为不等式组220,
210,380,x y x y x y --≥⎧⎪
+-≥⎨⎪+-≤⎩
所表示的区域上一动点,则直线OM 斜率的最小值
为
（ ）
A ．2
B ．1
C ．13-
D ．12-
C
作出可行域如图，由图象可知当M 位于点D 处时，OM
的斜率最小。

由210380x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得31
x y =⎧⎨=-⎩，即(3,1)D -,此时OM
1
3-，选C.
8．（2013年高考北京卷（理））设关于
在点P (x 0,y 0),满足x 0-2
y 0=2,求得（ ）
A ．4,3
⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
5,3⎫-∞-⎪⎭
C
先根据约束条件画出可行域，
要使可行域存在，必有m ＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y=x ﹣1上的点，只要边界点（﹣m ，1﹣2m ）
在直线y=x ﹣1的上方，且（﹣m ，m ）在直线y=x ﹣1的下方，
故得不等式组，
解之得：m ＜﹣． 故选C ．
9．（ 2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））
抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部与边界).若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是__________.
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
-21,2 易知切线方程为：21y x =-
所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为()()()0,00.5,00,1A B C - 易知过C 点时有最小值2-，过B 点时有最大值0.5
WORD 版含答案（已校对））记不等式
D ,若直线()1y a x =+与D 公共点,则a 的取值
范围是______.
1
[,4]2
因为y=a （x+1）过定点（﹣1，0）．
所以当y=a （x+1）过点B （0，4）时，得到a=4， 当y=a （x+1）过点A （1，1）时，对应a=． 又因为直线y=a （x+1）与平面区域D 有公共点． 所以≤a ≤4． 故答案为：[，4]
11．（2013年高考陕西卷（理））若点(x , y )位于曲线|1|y x =-与y =2所围成的封闭区域,
则2x -y 的最小值为___-4_____.
- 4
【KS5U 解析】封闭区域为三角形。

令| x – 1 | = 2 , 解得 3,121=-=x x ，所以三角形三个顶点坐标分别为（1,0,），（-1,2），（3,2），故2x －y 在点（-1,2）取最小值 - 4
12．（2013年高考四川卷（理））已知()f x 是定义域为R 的偶函数,当
x ≥0
时,2()4f x x x =-,那么,不等式(2)5f x +<的解集是____________.
(7,3)-
因为f （x ）为偶函数，所以f （|x+2|）=f （x+2），
则f （x+2）＜5可化为f （|x+2|）＜5，即|x+2|2
﹣4|x+2|＜5，（|x+2|+1）（|x+2|﹣5）＜0， 所以|x+2|＜5，解得﹣7＜x ＜3，
所以不等式f （x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．
13．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））给定区域
D :44
40x y x y x +≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈,是z x y =+在D 上取
得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定______条不同的直线.
6
画出可行域如图所示,其中z x y =+取得最小值时的整点为()0,1,取得最大值时的整点为
()0,4,()1,3,()2,2,()3,1及()4,0共5个整点.故可确定516+=条不同的直线.
14．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设y kx z +=,其
中实数y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥+-≥-+04204202y x y x y x ,若z 的最大值为12,则实数=k ________.
2 可行域如图： 由
得：A （4，4），
同样地，得B （0，2），
①当k ＞﹣时，目标函数z=kx+y 在x=4，y=4时取最大值，即直线z=kx+y 在y 轴上的截距z 最大，
此时，12=4k+4， 故k=2． ②当k
时，目标函数z=kx+y 在x=0，y=2时取最大值，即直线z=kx+y 在y 轴上的截
距z 最大，
此时，12=0×k+2， 故k 不存在． 综上，k=2． 故答案为：2．
15．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设a + b = 2, b >0, 则
当a = ______时, 1||
2||a a b
+取得最小值. 2-
因为2a b +=，所以
1||2||a a b
+||||14||4||4||4||a b a a b a a
a b a a b a +=+=++≥+。

显然当0
a <
时，且2b a =时，上式取等号，此时2b a =-，联立2a b +=，解得2a =-，此时
23114||424a a +
=-=⨯。

所以当2a =-时，1||
2||a a b +的最小值为34。

16．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））不等式2
20
x x +-<的解集为___________.
()2,1-
()2,1-；易得不等式220x x +-<的解集为()2,1-.
17．（2013年高考湖南卷（理））已知,,,236,a b c a b c ∈++=则2
2
2
49a b c ++的最小值
______.
12
本题考查柯西不等式的应用。

由柯西不等式可知，
2222222(49)(111)(23)a b c a b c ++++≥++，即22223(49)636a b c ++≥=，所以
2224912a b c ++≥，即22249a b c ++的最小值为12.
三、解答题
18．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）如图,某校有一块形如直角三角形ABC 的空
, BC 长50米,现欲在此空地上建造一间健身房,其
,求该健身房的最大占地面积. [解]如图,设矩形为EBFP 长为x 米,其中040x <<,
健身房占地面积为y 平方米.因为CFP ∆∽CBA ∆, 以
FP CF BA CB =,504050x BF -=,求得5
504
BF x =-,
从而255(50)5044y BF FP x x x x =⋅=-
=-+25
(20)5005004
x =--+≤, 当且仅当20x =时,等号成立.
答:该健身房的最大占地面积为500平方米. 19．（2013年高考上海卷（理））(6分+8分)甲厂以x
千克/小时的速度运输生产某种产品
(生产条件要求110x ≤≤),每小时可获得利润是3100(51)x x
+-元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x 的取值范围;
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.
(1)根据题意,33
200(51)30005140x x x x
+-≥⇒--≥
又110x ≤≤,可解得310x ≤≤
(2)设利润为y 元,则4900311100(51)910[3()6y x x x x =⋅+-=⨯--故6x =时,max 457500y =元.。