高中数学 每日一题(3月6日-3月12日)新人教A版必修3-新人教A版高一必修3数学试题

事件类型的判断
高考频度：★☆☆☆☆难易程度：★★☆☆☆
给出下列五个事件：
①某地明年3月6日下雨；
②函数y＝a x（a>0且a≠1）在定义域上是增函数；
③实数的绝对值小于0；
④a，b∈R，则ab＝ba；
⑤某人射击8次恰有4次中靶．
其中必然事件是________，不可能事件是________，随机事件是________．
【参考答案】④③①②⑤
【试题解析】①是随机事件，某地明年3月6日可能下雨，也可能不下雨；②是随机事件，函数y＝a x（a>1且a≠0）在a>1时为增函数，在0<a<1时为减函数，未给出a值之前很难确定给的a值是大于1还是小于1；③是不可能事件，任意实数a，总有|a|≥0，故|a|<0不可能发生；④是必然事件，当a，b∈R时，ab ＝ba恒成立；⑤是随机事件，某人射击8次恰有4次中靶可能发生，也可能不发生．
【解题必备】要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
1．下列事件中，为随机事件的是
A．长度为3，4，5的三条线段可以构成一个三角形
B．长度为2，3，4的三条线段可以构成一个直角三角形
C．方程x2＋2x＋3=0有两个不相等的实根
D．函数y＝log a x（a>0且a≠1）在定义域上为增函数
2．下列事件中，不可能事件为
A．三角形内角和为180°
B．三角形中大边对大角，大角对大边
C．锐角三角形中两个内角和小于90°
D．三角形中任意两边的和大于第三边
3．从1，2，3，…，10这10个数中，任取3个数，那么“这3个数的和大于6”这一事件是A．必然事件B．不可能事件
C．随机事件D．以上选项均不正确
1．D 【解析】A为必然事件，B、C为不可能事件.
2．C 【解析】若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故不是锐角三角形，所以C为不可能事件，而A、B、D均为必然事件．
3．C 【解析】从所给的10个数中，任取3个数，其和最小为6.故事件“这3个数的和大于6”为随机事件．
随机试验结果的判断
高考频度：★☆☆☆☆难易程度：★★☆☆☆
指出下列试验的条件和结果：
（1）某人射击一次，命中的环数；
（2）从装有大小相同但颜色不同的a，b，c，d四个球的袋子中，任取1个球；
（3）从装有大小相同但颜色不同的a，b，c，d四个球的袋子中，任取2个球．
【参考答案】详见试题解析
【试题解析】（1）条件为射击一次；结果为命中的环数：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，共11种可能结果．
（2）条件为从袋中任取1个球；结果为a，b，c，d，共4种可能结果．
（3）条件为从袋中任取2个球；若记（a，b）表示一次试验中取出的球是a和b，则试验的全部结果为（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共6种可能结果．
【解题必备】准确理解随机试验的条件、结果等有关定义，并能使用它们判断一些事件，指出试验结果，这是求概率的基础．在写试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确事件发生的条件．根据日常生活经验，按一定次序列举，才能保证所列结果没有重复，也没有遗漏．
1．先后抛掷1元、5角的硬币各一枚，观察落地后硬币向上的面的情况，则下列事件包含三个基本事件的是
A．“至少一枚硬币正面向上”
B．“只有一枚硬币正面向上”
C．“两枚硬币都是正面向上”
D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”
2．写出下列试验的结果：
（1）从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球；
（2）从1，3，6，10四个数中任取两个数（不重复）作差．
1．A【解析】“至少一枚硬币正面向上”包括“1元正面向上，5角正面向下”“1元正面向下，5角正面向上”“1元、5角都正面向上”三个基本事件．
2．【解析】（1）结果：红球，白球；红球，黑球；白球，黑球．
（2）分别作差：
1－3＝－2，3－1＝2；
1－6＝－5，6－1＝5；
1－10＝－9，10－1＝9；
3－6＝－3，6－3＝3；
3－10＝－7，10－3＝7；
6－10＝－4，10－6＝4.
即试验的结果为－2，2，－5，5，－9，9，－3，3，－7，7，－4，4.
概率含义的正确理解
高考频度：★★☆☆☆难易程度：★★☆☆☆
有以下一些说法：
①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的；
②“彩票中奖的概率是1%”表示买100X彩票一定有1X会中奖；
③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为3
10
；
④某厂产品的次品率为2%，则该厂的50件产品中可能有2件次品．
其中说法错误的序号是________．
【参考答案】①②③
【试题解析】①中降水概率为95%，仍有不降水的可能，故①错；
②中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时，有1%的机会中奖，但不一定买100X彩票一定有1X会中奖，故错误；
③中正面朝上的频率为3
10，概率仍为
1
2
，故③错误；
④中次品率为2%，但50件产品中可能没有次品，也可能有1件或2件或3件……次品，故④的说法正确．【解题必备】利用概率的意义解题的三个关键点
1．概率是随机事件A发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值 .
2．由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．
3．正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
1．从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查，其中有1台是次品，若用C表示抽到次品这一事件，则对C的说法正确的是
A．概率为1
10B．频率为
1
10
C．概率接近1
10
D．每抽10台电视机，必有1台次品
2．天气预报中预报某地降水概率为10%，则下列解释正确的是A．有10%的区域降水
B．10%太小，不可能降水
C．降水的可能性为10%
D．是否降水不确定，10%没有意义
1．B 【解析】事件C发生的频率为1
10，由于只做了一次试验，故不能得出概率接近
1
10
的结论．
2．C 【解析】A、B、D三个选项错误地理解了概率的意义，只有C项正确．
游戏公平性的判断
高考频度：★☆☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆
袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球的三种游戏规则如下表所示．
游戏1
游戏2
游戏3
3个黑球和1个白球 1个黑球和1个白球 2个黑球和2个白球
取1个球，再取1个球 取1个球 取1个球，再取1个球
取出的两个球同色→甲胜 取出的球是黑球→甲胜 取出的两个球同色→甲胜
取出的两个球不同色→乙胜 取出的球是白球→乙胜 取出的两个球不同色→乙胜
若从袋中无放回地取球，则其中不公平的游戏是 A ．游戏1 B ．游戏1和游戏3 C ．游戏2
D ．游戏3
【参考答案】D
【试题解析】游戏1中，取两球的所有可能情况是（黑1，黑2）（黑1，黑3）（黑2，黑3）（黑1，白）（黑2，白）（黑3，白），∴甲胜的概率为12，游戏是公平的．
游戏2中，显然甲胜的概率为1
2
，游戏是公平的．
游戏3中，取两球的所有可能情况是（黑1，黑2）（黑1，白1）（黑2，白1）（黑1，白2）（黑2，白2）（白1，白2），∴甲胜的概率为1
3，游戏是不公平的．
【解题必备】判断游戏是否公平的思路
无论是什么游戏，游戏的公平性都是看参与游戏的每个个体获胜的概率是否相同，相同则公平，不相同则不公平.
1．甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是
A ．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数则甲获胜，向上的点数为偶数则乙获胜
B ．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲获胜，两枚都正面向上则乙获胜
C ．从一副不含大小王的扑克牌中抽一X ，扑克牌是红色的则甲获胜，扑克牌是黑色的则乙获胜
D ．甲、乙两人各写一个数字1或2，如果两人写的数字相同则甲获胜，否则乙获胜
2．玲玲和倩倩下象棋，为了确定谁先走第一步，玲玲对倩倩说：“拿一个飞镖射向如图所示的靶中，若射中区域所标的数字大于3，则我先走第一步，否则你先走第一步”.你认为这个游戏规则公平吗？
3．某校高二年级（1）（2）班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．（1）班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘（如图所示），设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜．
该方案对双方是否公平？为什么？
1．B 【解析】B 中，同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上的概率为12，两枚都正面向上的概率为1
4，所以
对乙不公平.
2．【解析】如题图所示，所标的数字大于3的区域有5个，而小于或等于3的区域则只有3个，所以玲
玲先走的概率是58，倩倩先走的概率是3
8.所以不公平.
3．【解析】该方案是公平的，理由如下：
两次转动转盘所得的数字相加的和的各种情况如下表所示．
转盘数字
4 5 6 7 1 5 6 7 8 2 6 7 8 9 3
7
8
9
10
由上表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以（1）班代表获胜的概率P 1＝612＝12，（2）班代表获胜的概率P 2＝612＝1
2，即P 1＝P 2，机会是均等的，
所以该方案对双方是公平的．
概率的应用
高考频度：★★☆☆☆难易程度：★★☆☆☆
商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双,商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况,以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本,分为5组,已知第3组的频率为0.25,第1,2,4组的频数分别为6,7,9,若第5组表示的是尺码为40~42的皮鞋,则售出的这300双皮鞋中尺码为40~42的皮鞋约为双.
【参考答案】60
【试题解析】∵第1,2,4组的频数分别为6,7,9,∴第1,2,4组的频率分别为=0.15,=0.175,=0.225.
∵第3组的频率为0.25,∴第5组的频率是10.250.150.1750.2250.2
----=,∴售出的这300双皮鞋
中尺码为40~42的皮鞋约为0.2×300=60（双）.
【解题必备】此类题主要考查概率与频率的关系及由样本数据估计总体的能力.解题的关键是假定每个个体被抽取的可能性是相等的,可用样本的频率近似估计总体的概率,或由此列出方程,求出较难得到的数据.
1．如果袋中装有数量差别很大的白球和红球（只是颜色不同）,从中无放回地任取1个球,取了100次,得到80个白球,估计袋中数量较多的是 .
2．为了估计水库中鱼的尾数,可以使用以下的方法:先从水库中捕出一定数量的鱼,例如2000尾,给每尾鱼做上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库中的其他鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,例如500尾,查看其中有记号的鱼,设有40尾.试根据上述数据,估计水库中鱼的尾数.
3．随机抽取一个年份,对某某市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴
日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨（1）在4月份任取一天,估计某某市在该天不下雨的概率;
（2）某某市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.
1．白球【解析】取了100次,得到80个白球,则取出白球的频率是=0.8,估计其概率是0.8,那么取出红球的概率约是0.2,取出白球的概率大于取出红球的概率,所以估计袋中数量较多的是白球.
2．【解析】设水库中鱼的尾数是n（n∈N*）.
现在要估计n的值,假定每尾鱼被捕的可能性是相等的,从水库中任捕1尾鱼,设事件A={捕到带记号的鱼},则P（A）=.
第二次从水库中捕出500尾鱼,其中带记号的有40尾,即事件A发生的频数为40,
由概率的统计定义知P（A）≈,
即≈,解得n≈25000,
所以估计水库中的鱼有25000尾.
3．【解析】（1）在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,以频率估计概率,4月份任选一天,某某市不下雨的概率为.
（2）称相邻的两个日期为“互邻日期对”（如,1日与2日,2日与3日等）.这样,在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天的次日不下雨的频率为.
以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为.
【名师点睛】本题主要考查随机事件的概率,考查用频率估计概率的概念及数据处理能力.
3月11日 周六培优特训
高考频度：★☆☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆
1．下列5个事件中,随机事件的个数是 ①如果a b >,则0a b ->;
②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线,这三条射线交于一点; ③某次考试的及格率是95%;
④从100个灯泡中取出5个,这5个灯泡都是次品（这100个灯泡中有95个正品,5个次品）; ⑤实数,a b 不都为0,但220a b +=. A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2．以下结论错误的有
①如果一事件发生的概率只有十万分之一,那么它就不可能发生; ②如果一事件发生的概率达到99.999%,那么它就必然发生; ③如果一事件不是不可能发生的,那么它就必然发生; ④如果一事件不是必然发生的,那么它就不可能发生. A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．从存放分别为1,2，…，10的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一X 卡片，并记下，统计结果如下：
卡片 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数
13
8
5
7
6
13
18
10
11
9
则取到为奇数的频率是 A ．0.53
B ．0.5
C ．0.47
D ．0.37
4．已知随机事件A 发生的频率是0.02，事件A 出现了10次，那么共进行了________次试验．
5．（1）从甲、乙、丙、丁四名同学中选2名代表学校参加一项活动，可能的选法有哪些？
（2）试写出从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素构成的集合．
6．某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了50位市民.根据这50位市民对这两个部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）,绘制茎叶图如图:
甲部门乙部门
3 5 9
4 4 0 4 4 8
9 7 5 1 2 2 4 5 6 6 7 7 7 8 9
9 7 6 6 5 3 3 2 1 1 0 6 0 1 1 2 3 4 6 8 8
9 8 8 7 7 7 6 6 5 5 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 1 0 0 7 0 0 1 1 3 4 4 9
6 6 5 5 2 0 0 8 1 2 3 3 4 5
6 3 2 2 2 0 9 0 1 1 4 5 6
10 0 0 0
分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率.
7．已知5X票中有1X为奖票，5个人按照顺序从中各抽1X以决定谁得到其中的奖票，那么，先抽还是后抽（后抽的人不知道先抽的人抽出的结果），对每个人来说公平吗？
1．D 【解析】①是必然事件;②③④是随机事件,⑤是不可能事件.
2．D 【解析】事件发生的概率只有十万分之一,说明事件发生的概率很小,但是也有可能发生,所以①错误;事件发生的概率达到99.999%,说明事件发生的概率很大,但是也有可能不发生,所以②错误;如果一事件不是不可能发生的,那么该事件是随机事件或必然事件,所以③错误;如果一事件不是必然发生的,那么该事件是随机事件或不可能事件,所以④错误.故选D.
3．A 【解析】由图知，取到为奇数的卡片共有13＋5＋6＋18＋11=53（次），所以取到为奇数的频率为
= 0.53.
4．500 【解析】设进行了n 次试验，则有10
n
=0.02，得n =500，故进行了500次试验．
5．【解析】（1）可能的选法为：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁）．
（2）可能的集合为{a ，b ，c }，{a ，b ，d }，{a ，c ，d }，{b ，c ，d }． 6．【解析】市民对甲、乙两部门的评分各有50个, 对甲部门评分高于90的分数有5个, 对乙部门评分高于90的分数有8个, 故对甲部门评分高于90的频率为=0.1, 对乙部门评分高于90的频率为
=0.16.
从而,估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率分别为0.1,0.16.
7．【解析】公平，即每个人抽到奖票的概率相等.说明如下：不妨把问题转化为排序问题，即把5X 票随机地排列在位置1，2，3，4，5上，对于这X 奖票来说，由于是随机排列，因此它的位置有5种可能，故它排在任一位置上的概率都是1
5.5个人按排定的顺序去抽，比如甲排在第三位上，那么他抽得奖票
的概率，即奖票恰好排在第三个位置上的概率为1
5，因此，不管排在第几个位置上去抽，在不知前面的
人抽出的结果的前提下，得到奖票的概率都是1
5
.
培优特训
高考频度：★☆☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆
1．下列说法正确的是
A ．任何事件的概率总是在（0，1]之间
B ．频率是客观存在的，与试验次数无关
C ．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率
D ．概率是随机的，在试验前不能确定 2．下列关于概率的理解中正确的命题的个数是
①掷10次硬币出现4次正面，所以掷硬币出现正面的概率是0．4； ②某种体育彩票的中奖概率为
1000
1
，则买1000X 这种彩票一定能中奖； ③某市气象台预报明天该市降雨的概率为70%是指明天该市有70%的区域下雨，30%的区域不下雨． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．下列事件：
①在空间内取三个点，可以确定一个平面； ②13个人中，至少有2个人的生日在同一个月份； ③某电影院某天的上座率会超过50%；
④函数y=log a x（0<a<1）在定义域内为增函数；
⑤从一个装有100只红球和1只白球的袋中摸球，摸到白球．
其中，________是随机事件，________是必然事件，________是不可能事件．（填写序号）
4．某人做试验，从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为y，这样构成有序实数对（x，y）．
（1）写出这个试验的所有结果；
（2）写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件的所有结果．
5．为了确定某类种子的发芽率，从一大批种子中抽出若干粒进行发芽试验，其结果如下表：
种子粒数n25 70 130 700 2015 3000 4000
发芽粒数m24 60 116 639 1819 2713 3612 （1）计算各批种子的发芽频率；（保留三位小数）
（2）怎样合理地估计这类种子的发芽率？（保留两位小数）
6．有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下三种方案中选一种：
A．猜“是奇数”或“是偶数”．
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”．
C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”．
请回答下列问题：
（1）如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案，并且怎样猜？为什么？
（2）为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？为什么？
（3）请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性．
1．C 【解析】由概率与频率的有关概念知，C 正确．
2．A 【解析】掷10次硬币出现4次正面，所以掷硬币出现正面的频率是0.4，故①错；某种体育彩票的中奖概率为
1000
1
，则买1000X 这种彩票相当于做了1000次试验，每X 彩票可能中奖也可能不中奖，因此1000X 彩票可能没有1X 中奖，也可能多X 中奖，②错；某市气象台预报明天该市降雨的概率为70%是指该市明天有70%的可能下雨，③错，故答案为A ．
3．①③⑤；②；④ 【解析】①空间中不共线的三点可确定一个平面，故①是随机事件；②一年中有12个月份，故13个人中，一定有至少2个人的生日在同一个月份，为必然事件；
③是随机事件；④当0<a<1时，函数y ＝log a x 在定义域内为减函数，故④为不可能事件；⑤是随机事件．
4．【解析】（1）当x ＝1时，y ＝2,3,4；当x ＝2时，y ＝1,3,4；当x ＝3时，y ＝1,2,4； 当x ＝4时，y ＝1,2,3.因此，这个试验的所有结果是（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3）．
（2）记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A ，则A ＝{（2,1），（2,3），（2,4）}． 5．【解析】（1）各批种子的发芽频率分别为0.960，0.857，0.892，0.913，0.903，0.904，0.903. （2）在这7组种子发芽试验中，前两组试验次数较少，其频率的稳定性比较弱，不适合作为估计种子的发芽率的依据，而后五组试验次数较多，且其种子的发芽频率趋向0.90，即近似地认为这类种子的发芽率为0.90.
6．【解析】（1）可以选择B ，猜“不是4的整数倍数”．或选择C ，猜“是大于4的数”．“不是4的整数倍数”的概率为810＝0.8，“是大于4的数”的概率为6
10＝0.6，它们都超过了0.5，故乙获胜希望较
大．
（2）为了保证游戏的公平性，应当选择方案A.因为方案A 猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏是公平的．
（3）可以设计为猜“是大于5的数”或“小于6的数”，也可以保证游戏的公平性．。