人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元 易错题难题自检题检测试题

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元 易错题难题自检题检测试题
一、解答题
1．在四边形ABCD 中，90A B C D ∠∠∠∠====，10AB CD ==，
8BC AD ==．
()1P 为边BC 上一点，将
ABP 沿直线AP 翻折至AEP 的位置(点B 落在点E 处)
①如图1，当点E 落在CD 边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形(不写
作法，保留作图痕迹，用2B 铅笔加粗加黑).并直接写出此时DE =______；
②如图2，若点P 为BC 边的中点，连接CE ，则CE 与AP 有何位置关系？请说明理由；
()2点Q 为射线DC 上的一个动点，将
ADQ 沿AQ 翻折，点D 恰好落在直线BQ 上的点
'D 处，则DQ =______；
2．如图， 平行四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=， G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ． （1） 求证：四边形CEDF 是平行四边形；
（2） ①当AE 的长为多少时， 四边形CEDF 是矩形；
②当AE = cm 时， 四边形CEDF 是菱形， （直接写出答案， 不需要说明理由）．
3．如下图1，在平面直角坐标系中xoy 中，将一个含30的直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，若点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒．
（1）旋转操作：如下图2，将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30时，则点B 的坐标为 ．
（2）问题探究：在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60︒，如图3，在AB 边上的上方以AB 为边作等边ABC ，问：是否存在这样的点D ，使得以点A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形构成为菱形，若存在，请直接写出点D 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）动点分析：在图3的基础上，过点O 作OP AB ⊥于点P ，如图4，若点F 是边OB 的中点，点M 是射线PF 上的一个动点，当OMB △为直角三角形时，求OM 的长．
4．在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在边AD （含端点）上，落点记为E ，这时折痕与边BC 或者边CD （含端点）交于点F （如图1和图2），然后展开铺平，连接BE ，EF ． （1）操作发现：
①在矩形ABCD 中，任意折叠所得的△BEF 是一个 三角形； ②当折痕经过点A 时，BE 与AE 的数量关系为 ． （2）深入探究：
在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝23． ①当△BEF 是等边三角形时，求出BF 的长；
②△BEF 的面积是否存在最大值，若存在，求出此时EF 的长；若不存在，请说明理由．
5．如图平行四边形ABCD ，E ，F 分别是AD ，BC 上的点，且AE ＝CF ，EF 与AC 交于点O ． （1）如图①．求证：OE ＝OF ；
（2）如图②，将平行四边形ABCD （纸片沿直线EF 折叠，点A 落在A 1处，点B 落在点B 1处，设FB 交CD 于点G ．A 1B 分别交CD ，DE 于点H ，P ．请在折叠后的图形中找一条线段，使它与EP 相等，并加以证明；
（3）如图③，若△ABO 是等边三角形，AB ＝4，点F 在BC 边上，且BF ＝4．则CF
OF
＝ （直接填结果）．
6．感知：如图①，在正方形ABCD 中，E 是AB 一点，F 是AD 延长线上一点，且
DF BE ＝，求证：CE CF ＝；
拓展：在图①中，若G 在AD ，且45GCE ∠︒＝，则GE BE GD +＝成立吗？为什么？
运用：如图②在四边形ABCD 中，()//AD BC BC AD ＞，90A B ∠∠︒＝＝，
16AB BC ＝＝，E 是AB 上一点，且45DCE ∠︒＝，4BE ＝，求DE 的长．
7．如图，四边形ABCD 是边长为3的正方形，点E 在边AD 所在的直线上，连接CE ，以CE 为边，作正方形CEFG （点C 、E 、F 、G 按逆时针排列），连接BF.
（1）如图1,当点E 与点D 重合时，BF 的长为 ；
（2）如图2，当点E 在线段AD 上时，若AE=1，求BF 的长；（提示：过点F 作BC 的垂线，交BC 的延长线于点M ，交AD 的延长线于点N.） （3）当点E 在直线AD 上时，若AE=4，请直接写出BF 的长. 8．在正方形
中，连接
，为射线
上的一个动点（与点不重合），连接，
的垂直平分线交线段于点，连接
，
.
提出问题：当点运动时，的度数是否发生改变？
探究问题：
（1）首先考察点的两个特殊位置：
①当点与点重合时，如图1所示，____________
②当
时，如图2所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：
__________；（填“变化”或“不变化”）
（2）然后考察点的一般位置：依题意补全图3，图4，通过观察、测量，发现：（1）中
①的结论在一般情况下_________；（填“成立”或“不成立”）
（3）证明猜想：若（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图3和图4中任选一个进行证明；若不成立，请说明理由.
9．如图，在平行四边形 ABCD中，AD=30 ，CD=10，F是BC 的中点，P 以每秒1 个单位长
→→→路径以每秒3个度的速度从 A向 D运动，到D点后停止运动；Q沿着A B C D
单位长度的速度运动，到D点后停止运动．已知动点 P，Q 同时出发，当其中一点停止后，另一点也停止运动．设运动时间为 t秒，问：
（1）经过几秒，以 A，Q ，F ，P 为顶点的四边形是平行四边形
（2）经过几秒，以A ，Q ，F ， P为顶点的四边形的面积是平行四边形 ABCD面积的一半？
10．如图，矩形ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD于点E，F．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若四边形DEBF是菱形，则需要增加一个条件是_________________，试说明理由；（3）在（2）的条件下，若AB=8，AD=6，求EF的长．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
EC A；（2）为4和16．
1．（1）①6；②结论：//P
【分析】
()1①如图1中，以A 为圆心AB 为半径画弧交CD 于E ，作EAB ∠的平分线交BC 于点
P ，点P 即为所求.理由勾股定理可得DE ．
②如图2中，结论：EC//PA.只要证明PA BE ⊥，EC BE ⊥即可解决问题．
()2分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】
解：()1①如图1中，以A 为圆心AB 为半径画弧交CD 于E ，作EAB ∠的平分线交BC 于点P ，点P 即为所求．
在Rt ADE 中，90D ∠=，10AE AB ==，8AD =，
22221086DE AE AD ∴=-=-=，
故答案为6．
②如图2中，结论：//P EC A ．
理由：由翻折不变性可知：AE AB =，PE PB =，
PA ∴垂直平分线段BE ， 即PA BE ⊥，
PB PC PE ==， 90BEC ∠∴=，
EC BE ∴⊥， //EC PA ∴．
()2①如图31-中，当点Q 在线段CD 上时，设DQ QD'x ==．
在Rt AD'B 中，AD'AD 8==，AB 10=，AD'B 90∠=，
22BD'AB AD'6∴=-=，
在Rt BQC 中，
222CQ BC BQ +=，
222(10x)8(x 6)∴-+=+，
x 4∴=， DQ 4∴=．
②如图32-中，当点Q 在线段DC 的延长线上时，
DQ //AB ， DQA QAB ∠∠∴=，
DQA AQB ∠∠=，
QAB AQB ∠∠∴=， AB BQ 10∴==，
在Rt BCQ 中，
CQ BQ 6==，
DQ DC CQ 16∴=+=，
综上所述，满足条件的DQ 的值为4或16． 故答案为4和16． 【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 2．（1）证明见解析；（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF 是矩形；②2
【分析】
（1）证明△FCG ≌△EDG （ASA ），得到FG=EG 即可得到结论；
（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF 是矩形.过A 作AM ⊥BC 于M ，求出BM=1.5，根据平行四边形的性质得到∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，求出DE=1.5=BM ，证明△MBA ≌△EDC(SAS)，得到∠CED=∠AMB=90°，推出四边形CEDF 是矩形；
②根据四边形CEDFCEDF 是菱形，得到CD ⊥EF ，DG=CG=1212CD=1.5，求出∠DEG=30°，得到DE=2DG=3，即可求出AE=AD-DE=5-3=2. 【详解】
（1）证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ CF ∥ED ， ∴ ∠FCG ＝∠EDG ， ∵ G 是CD 的中点， ∴ CG ＝DG ，
在△FCG 和△EDG 中，FCG EDG CG DG CGF DGE ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴ △FCG ≌△EDG （ASA ）， ∴ FG ＝EG ， ∵ CG ＝DG ，
∴ 四边形CEDF 是平行四边形；
（2）解：①当AE=3.5时，平行四边形CEDF 是矩形， 理由是：过A 作AM ⊥BC 于M ， ∵∠B=60°， ∴∠BAM=30°， ∵AB=3， ∴BM=1.5，
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5， ∵AE=3.5， ∴DE=1.5=BM ， 在△MBA 和△EDC 中，
BM DE B CDE AB CD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△MBA ≌△EDC(SAS)， ∴∠CED=∠AMB=90°， ∵四边形CEDF 是平行四边形， ∴四边形CEDF 是矩形；
②∵四边形CEDFCEDF 是菱形， ∴CD ⊥EF ，DG=CG=1212CD=1.5， ∵∠CDE=∠B=60∘∠B=60∘， ∴∠DEG=30°， ∴DE=2DG=3， ∴AE=AD-DE=5-3=2， 故答案为：2.
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定定理，菱形的性质定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，三角形全等的判定及性质定理，熟练掌握各定理并运用解答问题是解题的关键. 3．（1）（
3，3
2）；（2）存在，点D 的坐标为（0，3）或（23，1）或（0，-1）；（3）OM=32或21 【分析】
（1）过点B 作BD ⊥y 轴于D ，利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出OB ，再利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出BD 和OD 即可得出结论； （2）根据题意和等边三角形的性质分别求出点A 、B 、C 的坐标，然后根据菱形的顶点顺序分类讨论，分别画出对应的图形，根据菱形的对角线互相平分即可分别求出结论； （3）利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出OP 和BP ，然后根据直角三角形的直角顶点分类讨论，分别画出对应的图形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行四边形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质求解即可． 【详解】
解：（1）如图2，过点B 作BD ⊥y 轴于D
由图1中，点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒，∠AOB=90° ∴OA=1，AB=2OA=2
由勾股定理可得OB=223
AB OA
-=
∵将此直角三角板绕点O顺时针旋转
30
∴∠BOD=30°
∴BD=13 2
OB=
∴OD=223 2
OB BD
-=
∴点B的坐标为（3
，
3
2
）
故答案为：（
3
2
，
3
2
）；
（2）在图2的基础上继续将直角三角板绕点O顺时针60︒，此时点A落在y轴上，点B 落在x轴上
∴点A的坐标为（0,1），点B的坐标为（3，0）
∵△ABC为等边三角形
∴∠ABC=60°，AB=BC=AC=2
∴∠OBC=90°
∴点C的坐标为（3，2）
设点D的坐标为（a，b）
如图所示，若四边形ABCD为菱形，连接BD，与AC交于点O
∴点O既是AC的中点，也是BD的中点
∴
033
120
22
a
b
++
=
⎨
++
⎪=
⎪⎩
解得：
3 a
b
=⎧
⎨
=⎩
∴此时点D的坐标为（0，3）；
当四边形ABDC为菱形时，连接AD，与BC交于点O
∴点O既是AD的中点，也是BC的中点
∴033 2
120
22
a
b
⎧++
=
⎪⎪
⎨
++
⎪=
⎪⎩
解得：
23
1
a
b
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
∴此时点D的坐标为（23，1）；
当四边形ADBC为菱形时，连接CD，与AB交于点O
∴点O既是AB的中点，也是CD的中点
∴
033
22
102
22
a
b
⎧++
=
⎪⎪
⎨
++
⎪=
⎪⎩
解得：
1
a
b
=
⎧
⎨
=-
⎩
∴此时点D的坐标为（0，-1）；
综上：点D的坐标为（0，3）或（231）或（0，-1）；（3）∵3，∠ABO=30°
∴OP=
1
2
3
∴22
3
2
OB OP
-=
当∠OMB=90°时，如下图所示，连接BM
∵F为OB的中点
∴PF=1
2
OB，MF=
1
2
OB，OF=BF
∴PF=MF
∴四边形OPBM为平行四边形
∴OM=BP=3
2
；
当∠OBM=90°时，如下图所示，连接OM，
∴∠PBM=∠PBO＋∠OBM=120°
∵点F为OB的中点
∴FP=FB
∴∠FPB=∠FBP=30°
∴∠BMP=180°－∠PBM－∠FPB=30°
∴∠BMP=∠BPM
∴BM=BP=3 2
在Rt△OBM中，2221
OB BM
+=；
综上：OM=3
2
或
21
2
．
【点睛】
此题考查的是直角三角形的性质、菱形的性质、平行四边形的判定及性质、等边三角形的性质，掌握30°所对的直角边是斜边的一半、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的性质、平行四边形的判定及性质、等边三角形的性质是解决此题的关键．
4．（1）①等腰；②BE ；（2）①2；②存在，
【分析】
（1）①由折叠的性质得EF＝BF，即可得出结论；
②当折痕经过点A时，由折叠的性质得AF垂直平分BE，由线段垂直平分线的性质得AE＝
BE，证出ABE是等腰直角三角形，即可得出BE AE；
（2）①由等边三角形的性质得BF＝BE，∠EBF＝60°，则∠ABE＝30°，由直角三角形的性
质得BE＝2AE，AB，则AE＝1，BE＝2，得BF＝2即可；
②当点F在边BC上时，得S△BEF≤1
2
S矩形ABCD，即当点F与点C重合时S△BEF最大，由折叠的
性质得CE＝CB＝EF＝
当点F在边CD上时，过点F作FH∥BC交AB于点H，交BE于点K，则S△EKF＝
1 2KF•AH≤
1
2
HF•AH＝
1
2
S矩形AHFD，S△BKF＝
1
2
KF•BH≤
1
2
HF•BH＝
1
2
S矩形BCFH，得S△BEF≤
1
2
S
矩形ABCD ＝3，即当点F为CD的中点时，BEF的面积最大，此时，DF＝
1
2
CD＝
2
，点E
与点A重合，由勾股定理求出EF即可．
【详解】
解：（1）①由折叠的性质得：EF＝BF，
∴BEF是等腰三角形；
故答案为：等腰；
②当折痕经过点A时，
由折叠的性质得：AF垂直平分BE，
∴AE＝BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠A＝90°，
∴ABE是等腰直角三角形，
∴BE；
故答案为：BE；
（2）①当BEF是等边三角形时，BF＝BE，∠EBF＝60°，∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°，
∵∠A＝90°，
∴BE＝2AE，AB
∴AE＝1，BE＝2，
∴BF＝2；
②存在，理由如下：
∵矩形ABCD中，CD＝AB BC＝
∴矩形ABCD的面积＝AB×BC＝3×23＝6，第一种情况：当点F在边BC上时，如图1所示：
此时可得：S△BEF≤1
2
S矩形ABCD，
即当点F与点C重合时S△BEF最大，此时S△BEF＝3，
由折叠的性质得：CE＝CB＝23，
即EF＝23；
第二种情况：当点F在边CD上时，
过点F作FH∥BC交AB于点H，交BE于点K，如图2所示：
∵S△EKF＝1
2
KF•AH≤
1
2
HF•AH＝
1
2
S矩形AHFD，S△BKF＝
1
2
KF•BH≤
1
2
HF•BH＝
1
2
S矩形BCFH，
∴S△BEF＝S△EKF+S△BKF≤1
2
S矩形ABCD＝3，
即当点F为CD的中点时，BEF的面积最大，
此时，DF＝1
2
CD
3
E与点A重合，BEF的面积为3，
∴EF22
AD DF
51
综上所述，BEF的面积存在最大值，此时EF的长为351
．
【点睛】
此题考查的是矩形与折叠问题，此题难度较大，掌握矩形的性质、折叠的性质、等边三角形的性质和勾股定理是解决此题的关键．
5．（1）见解析；（2）FG=EP，理由见解析；（32
【分析】
（1）证△ODE≌△OFB（ASA），即可得出OE=OF；
（2）连AC ，由（1）可知OE=OF ，OB=OD ，证△AOE ≌△COF （SAS ），得AE=CF ，由折叠性质得AE=A 1E=CF ，∠A 1=∠BAD=∠BCD ，∠B=∠B 1，则∠D=∠B 1，证△A 1PE ≌△CGF （AAS ），即可得出FG=EP ；
（3）作OH ⊥BC 于H ，证四边形ABCD 是矩形，则∠ABC=90°，得∠OBC=30°，求出AC=8，由勾股定理得
BC=
CF=，由等腰三角形的性质得BH=CH=
12
BC=
HF=4-，OH=
12
OB=2，由勾股定理得
OF=，进而得出答案． 【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AD=BC ，
∴∠ODE=∠OBF ，∠OED=∠OFB ，
∵AE=CF ，
∴AD-AE=BC-CF ，即DE=BF ，
在△ODE 和△OFB 中， ODE OBF DE BF
OED OFB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ODE ≌△OFB （ASA ），
∴OE=OF ；
（2）FG=EP ，理由如下：
连AC ，如图②所示：
由（1）可知：OE=OF ，OB=OD ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AC 过点O ，OA=OC ，∠BAD=∠BCD ，∠D=∠B ，
在△AOE 和△COF 中，
OA OC AOE COF OE OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AOE ≌△COF （SAS ），
∴AE=CF ，
由折叠性质得：AE=A 1E=CF ，∠A 1=∠BAD=∠BCD ，∠B=∠B 1，
∴∠D=∠B 1，
∵∠A 1PE=∠DPH ，∠PHD=∠B 1HG ，
∴∠DPH=∠B 1GH ，
∵∠B 1GH=∠CGF ，
∴∠A 1PE=∠CGF ，
在△A 1PE 和△CGF 中，
111
A PE CGF A FCG A E CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
∴△A 1PE ≌△CGF （AAS ），
∴FG=EP ；
（3）作OH ⊥BC 于H ，如图③所示：
∵△AOB 是等边三角形，
∴∠ABO=∠AOB=∠BAO=60°，OA=OB=AB=4，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC ，OB=OD ，
∴AC=BD ，
∴四边形ABCD 是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∵AB=OB=BF=4，
∴AC=BD=2OB=8，
由勾股定理得：2222=84AC AB --3 ∴CF=43，
∵OB=OC ，OH ⊥BC ，
∴BH=CH=12BC=23 ∴HF=4-23OH=
12OB=2， 在Rt △OHF 中，由勾股定理得： 22OH HF +()222423+-2622， ∴434226222
CF OF -===- 2
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．
6．（1）见解析；（2）GE=BE+GD 成立，理由见解析；（3）
685
【分析】
（1）利用已知条件，可证出△BCE ≌△DCF (SAS )，即可得到CE=CF ；
（2）借助（1）的结论得出∠BCE =∠DCF ，再通过角的计算得出∠GCF =∠GCE ，由SAS 可得△ECG ≌△FCG ，则EG=GF ，从而得出GE=DF+GD=BE+GD ；
（3）过C 作CG ⊥AD ，交AD 延长线于G ，先证四边形ABCG 是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)，再设DE =x ，利用（1）、（2）的结论，在Rt △AED 中利用勾股定理构造方程即可求出DE ．
【详解】
（1）证明：如图①，在正方形ABCD 中，BC=CD ，∠B =∠ADC =90°，
∴∠CDF=90°，即∠B =∠CDF =90°，
在△BCE 和△DCF 中， BC DC B CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BCE ≌△DCF (SAS )，
∴CE=CF ；
（2）解：如图①，GE=BE+GD 成立，理由如下：
由（1）得△BCE ≌△DCF ，
∴∠BCE=∠DCF ，
∴∠ECD +∠ECB=∠ECD +∠FCD ，
即∠ECF =∠BCD =90°，
又∵∠GCE =45°，
∴∠GCF =∠ECF −∠ECG =45°，则∠GCF=∠GCE ，
在△GEC 和△GFC 中，
CE CF GCE GCF GC GC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△GEC ≌△GFC (SAS )，
∴EG=GF ，
∴GE=DF+GD=BE+GD ；
（3）解：如图②，过C 作CG ⊥AD 于G ，
∴∠CGA=90°，
在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =∠B =90°，
∴四边形ABCG 为矩形，
又∵AB=BC ，
∴四边形ABCG 为正方形，
∴AG =BC=AB =16，
∵∠DCE =45°，由（1）和（2）的结论可得：ED=BE+DG ，
设DE=x ，
∵4BE ＝，
∴AE =12，DG=x −4，
∴AD =AG −DG =20−x
在Rt △AED 中，
由勾股定理得：DE 2=AD 2+AE 2，
即x 2=(20−x )2+122 解得：685=
x ， 即685
=DE ． 【点睛】
本题是一道几何综合题，内容主要涉及全等三角形的判定与性质和勾股定理的应用，重点考查学生的数学学习能力，是一道好题．
7．（1）35；（241；（353101或【分析】
（1）利用勾股定理即可求出.
（2）过点F 作FH ⊥AD 交AD 于的延长线于点H ，作FM ⊥AB 于点M ，证出
ECD FEH ∆∆≌，进而求得MF ，BM 的长，再利用勾股定理，即可求得.
（3）分两种情况讨论，同（2）证得三角形全等，再利用勾股定理即可求得.
【详解】
（1）由勾股定理得：22223635BF AB AF =+=+=
（2）过点F 作FH ⊥AD 交AD 于的延长线于点H ，作FM ⊥AB 于点M ，如图2所示：
则FM=AH ，AM=FH
∵四边形CEFG 是正方形 ∴EC=EF,∠FEC=90° ∴∠DEC+∠FEH=90°，
又∵四边形ABCD 是正方形 ∴∠ADC=90° ∴∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ECD=∠FEH 又∵∠EDC=∠FHE=90°，∴ECD FEH ∆∆≌ ∴FH=ED EH=CD=3
∵AD=3,AE=1,ED=AD-AE=3-1=2,∴FH=ED=2
∴MF=AH=1+3=4，MB=FH+CD=2+3=5
在Rt △BFM 中，BF=22225441BM MF +=+=
（3）分两种情况：
①当点E 在边AD 的左侧时，过点F 作FM ⊥BC 交BC 的反向延长线于点M ，交DE 于点N.如图3所示：
同（2）得：ENF DEC ∆≅∆
∴EN=CD=3，FN=ED=7
∵AE=4∴AN=AE-EN=4-3=1
∴MB=AN=1 FM=FN+NM=7+3=10
在Rt FMB ∆中
由勾股定理得：2222
FB FM MB
=+=+=
101101
②当点E在边AD的右侧时，过点F作FN⊥AD交AD的延长线于点N，交BC延长线于M，如图4所示：
∆≅∆
同理得：CDE EFN
∴NF=DE=1，EN=CD=3
∴FM=3-1=2，CM=DN=DE+EN=1+3=4
∴BM=CB+CM=3+4=7
∆中
在Rt FMB
由勾股定理得：2222
=+=+=
FB FM MB
2753
或
故BF的长为53101
【点睛】
本题为考查三角形全等和勾股定理的综合题，难点在于根据E点位置的变化，画出图形，注意（3）分情况讨论，难度较大，属压轴题，熟练掌握三角形全等的性质和判定以及勾股定理的运用是解题关键.
8．（1）①45；②不变化；（2）成立；（3）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）①②根据正方形的性质、线段的垂直平分线的性质即可判断；
（2）画出图形即可判断，结论仍然成立；
（3）如图2-1中或2-2中，作作EF⊥BC，EG⊥AB，证得
∠AEG=∠PEF.由∠ABC=∠EFB=∠EGB=90°知∠GEF=∠GEP+∠PEF=90°.继而得
∠AEP=∠AEG+∠GEP=∠PEF+∠GEP=90°.从而得出∠APE=∠EAP=45°.
【详解】
解（1）①当点P与点B重合时，如图1-1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠APE=45°
②当BP=BC时，如图1-2所示，①中的结论不发生变化；故答案为：45°，不变化.
(2)（2）如图2-1，如图2-2中，结论仍然成立；
故答案为：成立；
(3)证明一：如图所示.
过点作于点，于点.
∵点在的垂直平分线上，
∴.
∵四边形为正方形，
∴平分.
∴.
∴.
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
证明二：如图所示.
过点作于点，延长交于点，连接.
∵点在的垂直平分线上，
∴.
∵四边形为正方形，
∴，
∴.
∴，.
∴.
又∵，
∴.
又∵，
∴.
∴.
【点睛】
本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、中垂线的性质等知识点
9．（1）25
4
秒或
25
2
秒；（2）15秒
【分析】
(1)Q点必须在BC上时，A，Q ，F ，P 为顶点的四边形才能是平行四边形，分Q点在BF和Q点在CF上时分类讨论，利用平行四边形对边相等的性质即可求解；
(2)分Q点在AB、BC、CD之间时逐个讨论即可求解．
【详解】
解：(1)∵以A、Q、F、P为顶点的四边形是平行四边形，且AP在AD上，
∴Q点必须在BC上才能满足以A、Q、F、P为顶点的四边形是平行四边形
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=30，AB=CD=10，
∵点F是BC的中点，∴BF=CF=1
2
BC=15，AB+BF=25，
情况一：当Q点在BF上时，AP=FQ，且AP=t，FQ=35-3t，
故t=25-3t，解得
25
4
t ；
情况二：当Q点在CF上时，AP=FQ，且AP=t，FQ=3t-35，
故t=3t-25，解得t=25 2
；
故经过254或252
秒，以A 、Q 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形； (2)情况一：当Q 点在AB 上时，0<t<
103
，此时P 点还未运动到AD 的中点位置， 故四边形AQFP 面积小于平行四边形ABCD 面积的一半， 情况二：当Q 点在BC 上且位于BF 之间时，
102533t ， 此时AP+FQ=t+35-3t=35-2t ，
∵102533
t ，∴35-2t ＜30， 四边形AQFP 面积小于平行四边形ABCD 面积的一半， 情况三：当Q 点在BC 上且位于FC 之间时，
254033t 此时AP+FQ=t+3t-35=4t-35
∵254033
t ，∴4t-35＜30， 四边形AQFP 面积小于平行四边形ABCD 面积的一半，
情况四：当Q 点在CD 上时，
405033
t << 当AP=BF=15时，t=15，112
2APF ABFP PFQ DCFP S S S S 且 ∴1+2APF PFQ AFPQ ABCD S S S S ， ∴当t=15秒时，以A 、Q 、F 、P 为顶点的四边形面积是平行四边形ABCD 面积的一半，
故答案为：15秒．
【点睛】 本题考查了平行四边形的判定和性质，根据动点的位置不同需要分多种情况分类讨论，熟练掌握平行四边形的性质是解决本题的关键．
10．（1）证明见解析；（2）DE BE =或EF BD ⊥，理由见解析；（3）
152 【分析】
（1）根据矩形的性质和点O 是对角线BD 的中点，通过证明OFD OEB △≌△得DF BE =，从而完成四边形DEBF 是平行四边形的证明；
（2）根据菱形的判定定理分析，即可得到答案；
（3）设BE=DE=x ，结合AB=8，AD=6，通过直角三角形勾股定理计算得BE ，再通过BDE 面积建立等式并求解，即可得到答案．
【详解】
（1）∵矩形ABCD
∴//AB CD
∴FDB EBD ∠=∠，DFE BEF ∠=∠
∵点O 是对角线BD 的中点
∴OD OB =
∴()OFD OEB AAS △≌△
∴DF BE =
∵//DF BE
∴四边形DEBF 是平行四边形
（2）∵四边形DEBF 是平行四边形
∴DF BE =,DE FB =
若DE=BE
∴=DF BE DE FB ==
∴四边形DEBF 是菱形
又∵四边形DEBF 是平行四边形，
若EF BD ⊥
∴四边形DEBF 是菱形
∴增加DE=BE 或EF BD ⊥，即可判定四边形DEBF 是菱形；
（3）设BE=DE=x
∵AB=8
∴AE=8-x
∵直角三角形ADE
2226(8)x x +-= 解得：254
x = 25BE 4
= ∵直角三角形ABD ∴22228610BD AB AD
∵111222BDE S BD EF BE AD =
⨯=⨯△ ∴111251062224
EF ⨯⨯=⨯⨯ ∴152
EF =
． 【点睛】 本题考查了矩形、平行四边形、全等三角形、菱形、直角三角形勾股定理、一元一次方程方程、三角形面积等知识；解题的关键是熟练掌握矩形、平行四边形、全等三角形、菱形、直角三角形勾股定理的性质，从而完成求解．。