轴向拉压变形模板PPT课件

B 1
3D
A1 A
C
下图，3号杆的尺寸误差为
2
求各杆的装配内力。
第36页/共51页
拉压杆超静定问题
B
3D
C
1 2
FN3
FN1 FN2
A1
A
A1 解：① 平衡方程
L3 A1
② 变形方程
L1
L2
A
第37页/共51页
FN3
FN1 FN2
（3） 本构方程
A1
L3 A1
（4）联立求解
L1
L2
A
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1 2
A
L2 L3
L1
A1
FN3
拉压杆超静定问题
解：① 平衡方程
Fx FN1 sin FN2 sin 0
Fy FN1 cos FN2 cos FN3 0
② 变形方程
③ 本构方程
FN1 FN2
A
第40页/共51页
由变形和本构方程消除位移未知量。
拉压杆超静定问题
B
D
C
3
E1 A1
FN3
1
2
F E1 A1
cos3
E3 A3
F
联解(1)，(2)，⑸式：
令 E3 A3 m
E1 A1
轴向 刚度比
FN1 FN2
(FN1 FN2 ) cos FN3 F 0 FN1l1 FN3l3 cos
E1A1 E3l3
FN1
FN2
F cos2 m 2 cos3
F
FN3 1 2 cos3
Foam structures with a negative Poisson's ratio, Science, 235 1038-1040 (1987).
第8页/共51页
三、小变形的节点位移
A
1、怎样画小变形节点位移图？
拉压杆变形
l1
切线代圆弧
C
目的 ——求静定桁架节点位移。 ① 求各杆的变形量△Li ； ② 严格画法 —— 弧线； ③ 小变形画法 —— 切线。
sin tan
C
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拉压杆变形
③ 杆件变形用内力等表示（物理或本构）
A
L1
B L1
uB
Li
FNi Li EAi
(i
1,2)
L2 E vB
最后，记
L2
D
B' L2 L
C
L1 L cos
F (cos )2 L
FL
F (cos )3 L
uB EA2 sin , vB EA2 sin EA1(sin )2
目录
拉压杆的变形与位移 拉压杆的超静定问题
第1页/共51页
拉压杆变形
拉压杆变形
前面从应力方面实现了安全功能， 即解决了强度问题（不破坏），
安全功能是否完全保证？ 有时候虽然没有破坏，可是变形大，也不行—— 还要保证 不过度变形, 即解决 刚度问题。
于是提出变形计算问题。 如何计算？因线应变是单位长度的线变形。 思路：线应变 —— 线变形 变形不超过限度 —— 安全功能的第二个保证。
横向变形 横向线应变
a a1 a
a
a
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拉压杆变形
现在有了横向应变（Lateral strain）的概念，它与
纵向应变（Axial strain）是什么关系？ 如何找出？
<施以加、减、乘、除或其他运算后，得到常数>
为了得到常数，可以试一试，很幸运，实验表明：
对于某种材料，当应力不超过比例极限时，
a
拉压杆超静定问题
例 阶梯钢杆上下两段在T1=5℃被固定,上下
第12页/共51页
拉压杆变形
例 截面积为 76.36mm²的钢索绕过无摩擦的定滑轮 F = 20kN，求钢索的应力和 C点的垂直位移。
（钢索的 E =177GPa，设横梁ABCD为刚性梁）
解 ① 求钢索内力（ABCD为对象）
A
B 60° 60° D
C F
800 400 400
② 钢索的应力和伸长
XA A YA
拉压杆超静定问题
解：若杆一端不固定，则温度升高后，杆将自由地
伸长（图b）;现有刚性支承B，使杆不能伸长，相
当于在杆的两端加了压力;一个平衡方程含两个端 压力未知量。
由此知， 两端压力相等， 但是大小却不知道因此， 问题是一次超静定的， 必须补充一个方程，因为刚性 支承，故杆总长不变，即
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TT
B
D
C F
第13页/共51页
拉压杆变形
A 800
B 60° 60° D
C F
400 400
③ C点的垂直位移
A
B 60°C 60° D
1
B'
C
2
第14页/D共'51页
判断图示结构变形后节点A的位置A‘哪一个正确 ？
第15页/共51页
判断图示结构变形后节点A的位置A‘哪一个正确 ？
第16页/共51页
P
Q
拉压杆变形
Q
L1 L ΔL
任意 x 点处的纵向线应变 Δ(dx)
dx
另一方面，由本构关系 FN (x)
E EA
于是 x 点处的微小变形为 Δ(dx) FN (x)dx
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EA
拉压杆变形
拉压杆的纵向线变形 ΔL L FN (x)dx 0 EA
1、等内力等截面 FN (x) F
l2 l3
A
l1 变形图
A’
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§3.4 拉压杆静不定问题
BD
C
① ③②
例1 已知：E1 A1 E2 A2 , E3 A3
l1 l2 , l3 求：各杆轴力
解：1.画受力图，列平衡方程
A
F
受力图
y
FN3
FN1
FN 2
A
x
F
Fx 0,
FN1 sin FN2 sin 0
(1)
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§3.4 拉压杆静不定问题
钢桁架桥
第22页/共51页
§3.4 拉压杆静不定问题
B1 D1
C1
③
①
②
A
y
FN3 FN1 FN2
A
x
F 受力图
F
平衡方程
Fx 0, FN2 sin FN1 sin 0 Fy 0, FN2 cos FN1 cos FN3 F 0
m
E3 A3
m
FN1, FN2
FN3
一般来说，增大某杆轴向刚度，
该杆轴力也相应增大
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§3.4 拉压杆静不定问题
静不定结构特点（1）
E3 A3 m E1 A1
内力按轴向刚度比分配 （静定结构呢？）
F cos2 FN1 FN2 m 2 cos3
FN3
1
F
2 cos3
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§3.4 拉压杆静不定问题
FN2 sin FN1 sin 0 FN2 cos FN1 cos FN3 F 0
二、分析思路
FN3
FN1
FN2
A
BD
C
EA EA
③
①
②
E3 A3
受力图
A
？ • 建立补充方程
F
li
FNili Ei Ai
F
BD
C
① ③②
l1 l2
l3cos
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一、轴向变形
拉压杆变形
L1 L L
ΔL L1 L
L
待求 —— 杆的轴向总变形； 伸长 —— 拉应力为主导； 缩短 —— 压应力为主导。
求解出发点 —— 线应变
（1）平均线应变 （此路不通）
L L1 L
LL
（2）一点线应变 （可行）
第3页/共51页
dx (dx)
P
横向应变与纵向应变之比为常数，称为横向变形系 数或泊松比，它小于1，因材料而异。
或
如果你善于思考又在19世纪初，该系数会以你的
名字命名，而不是法国的泊松（Simon Denis Poisson，
1781-1840）现在能想到 —— 主观创造，意义也很大。
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Simon Denis Poisson Poisson’s ratio （1829）
m
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§3.4 拉压杆静不定问题
BD C
③
① ② E3 A3 m
A F
E1 A1
FN1
FN2
F cos2 m 2 cos3
FN3
1
F
2 cos3
m
m
0
FN1, FN2
F 2 cos
0
FN3
0
F
FN1, FN2 , FN3
F
F
FN3
2 co s
FN1, FN2
O
m
E1 A1
Fy 0 ,
FN1 cos FN2 cos FN3 F 0 (2)
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§3.4 拉压杆静不定问题
BD
C
E3A3 l3
E1A1 l1
①
③②
变形图
A
l2 l1
l3
A´
F
受力图
y
FN3
FN1
FN 2
Ax
F
1.画受力图，列平衡方程
FN1 sin FN2 sin 0
(1)
FN1 cos FN2 cos FN3 F 0 (2)
第34页/共51页
方法2
拉压杆超静定问题
所以在 △1=△2 的前提下，角钢将先达到极限状态， 即角钢决定最大载荷。
另外：若将钢的面积增大5倍，怎样？ 若将木的面积缩小10倍，又怎样？ 请认真思考，得出结论。
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二、装配应力
拉压杆超静定问题
B
C
1、静定问题无装配应力；
1
2
A
2、静不定问题存在装配应力
2.画变形图，列几何方程
l1 l2 l3cos
(3)
3.列物理方程
l1
FN1l1 E1 A1
l3
FN3l3 E3 A3
(4)
4.列补充方程
FN1l1 FN3l3 cos
(5)
E1A1 E3 A3
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§3.4 拉压杆静不定问题
BD
C
③
① ②
A
FN1
FN 2
F cos2 E3 A3 2 cos3
m
BD
C
B
C
A
A
F
F
F
FN1 FN2 2 cos
第29页/共51页
§3.4 拉压杆静不定问题
第30页/共51页
§3.4 拉压杆静不定问题
第31页/共51页
§3.4 拉压杆的静不定问题
思考
提高桥梁行车道板的承载力 若中间的支座沉降带来什么问题？
第32页/共51页
拉压杆超静定问题
例 木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，
F
F
L FL EA
2、变内力变截面 A A( x)
FN(x)
x
L L FN (x)dx 0 EA(x)
dx
3、阶段等内力（n段中分别为常量） L
n
FNi Li
i1 Ei Ai
拉压杆的刚度条件 ΔL [ ]
第5页/共51页
二、横向变形与泊松比
拉压杆变形
你观察到了吗？伴随杆的纵向伸长——横向收缩 你思考了吗？纵向伸长——横向收缩，有什么规律性？
对于角钢和木材：[]1=160MPa 和[]2=12MPa，
E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求许可载荷[F ]。
F
解：① 平衡方程
F
4FN1 FN2
② 变形方程
③ 本构方程
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拉压杆超静定问题
④ 联立求解得
F F
4FN1 ⑤ 求结构的许可载荷
FN2
方法1
角钢面积由型钢表查得 A1=3.086cm2
1 2
④ 联立求解得
A
L2 L3
L1
A1
注意：本构关系（物理性质）的拓宽！！！
第41页/共51页
拉压杆超静定问题
例 长为l 的等直杆AB两端刚性支承，横截面积 为A，弹性模量为E，线膨胀系数为 当温度升高 求杆内的温度应力。
A
B
(a)
A
A
P1
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lT
B’
lFN (b)
B B’
(c) P2
FN2 F / sin (压）FN1 F / tan（拉）
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拉压杆变形
图示B点移至B’点（uB，vB）
② 求B点位移与两杆变形间的关系（几何）
记 BE 和 ED 分别为 v1,B和v2,B
A
L1
B L1
uB
uB L1
L2 E vB
vB v1,B v2,B
L2
D
B'
L2 L1
拉压杆超静定问题
杆的升温引起了 温度变形，端部压力引起了弹 性变形，故几何变形为0，实为两个变形的抵消。
其中物理关系为（记 P1 = P2 = FN） ：
将物理关系代入变形几何方程，即得温度内力为
第44页/共51页
由此得温度应力为
拉压杆超静定问题
若此杆为钢杆，则当温度升高40o时
第45页/共51页Fra bibliotek知识回顾
1.拉压杆的纵向变形
等内力等截面
l FNl EA
杆的变形量 轴向刚度
2. 桁架的节点位移
前提：小变形 方法：作垂线
A
l1
30º B
C
l2
B2 l2
l1
B1
F
B' B"
切线代圆弧！
作用：简化计算
第17页/共51页
§3.4 拉压杆静不定问题
第18页/共51页
§3.4 拉压杆静不定问题
Ry
三 、温度应力
1. 静定问题无温度应力； 2. 静不定问题存在温度应力， 右图，1、2号杆的尺寸及材 料都相同，当结构温度由T1变到 T2时,求各杆的温度内力（各杆线
膨胀系数分别为I ；△T = T2 -T1
第39页/共51页
拉压杆超静定问题
B
C
1
2
A
B
DC
3
1 2
A
L2 L3
L1
A1
B
D
C
3
FN1
Fx
T
FN2
T
T
FN1
T
FN3 FN2
T
杆的内力?
平衡方程
n未 m平
静定问题
利 强度提高 弊 ? 刚度提高 ?
n未 m平
静不定问题
第19页/共51页
§3.4 拉压杆静不定问题
静不定桁架结构常用于大跨度的厂房、展览馆、 体育馆和桥梁等公共建筑中。
北工大奥运羽毛球场馆
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§3.4 拉压杆静不定问题
30º B
l2
B2 l2
l1
B1