2017-2018学年山东省临沂市兰山区高二上学期数学(文)期中考试试题 Word版含解析

2017～2018学年度上学期期中考试试题
高二数学（文）
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若1＜a＜3，-4＜b＜2，则a-|b|的取值范围是
A. (-1，3)
B. (-3，6)
C. (-3，3)
D. (1，4)
【答案】C
【解析】，则，所以，故选C。

2. 在△ABC中，B＝45°，C＝30°，c＝1，则b＝
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由正弦定理可知，，解得：，故选A。

3. 已知{a n}是等差数列，a10＝10，其前10项和S10＝70，则其公差d为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，解得，则，故选D。

4. 在△ABC中，，BC边上的高等于，则sin A＝
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由题意，，则，
所以，故选D。

5. 设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为
A. 8
B. 4
C. 1
D.
【答案】B
【解析】由题意，，得，
则，故选B。

6. 在R上定义运算：x y＝x(1-y)，若对任意x＞2，不等式(x-a)x≤a+2都成立，则实数a的取值范围是
A. [-1，7]
B. (-∞，3]
C. (-∞，7]
D. (-∞，-1]∪[7，+∞)
【答案】C
【解析】由题意得(x－a)x＝(x－a)(1－x)，
故不等式(x－a)x≤a＋2化为(x－a)(1－x)≤a＋2，
化简得x2－(a＋1)x＋2a＋2≥0，
故原题等价于x2－(a＋1)x＋2a＋2≥0在(2，＋∞)上恒成立．
由二次函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋2a＋2的图像，可知其对称轴为x＝.
讨论得或解得a≤3或3<a≤7，综上可得a≤7.
7. 在△ABC中，，则此三角形的最大内角的度数是
A. 60°
B. 90°
C. 120°
D. 135°
【答案】C
【解析】在中，
利用正弦定理化简得：,
设,
由余弦定理得：
则此三角形最大内角的度数为
故答案选
8. 已知数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝3a n+2，则{a n}的通项公式为
A. a n＝2n-1
B. a n＝3n-1
C. a n＝22n-1
D. a n＝6n-4
【答案】B
【解析】，得是以3为首项，3为公比的等比数列，
则，即。

故选B。

9. 已知x，y满足约束条件若z＝ax+y的最大值为4，则a＝
A. 3
B. 2
C. -2
D. -3
【答案】B
【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域，如图（阴影部分），则，，若过点A时取得最大值4，则．此时目标函数为，即
，平移直线，当直线过点A时截距最大，此时z的最大值为4，符合题意．若过点B时取到最大值4，则，此时目标函数为，即，平移直线，当直线过点A时截距最大，此时z的最大值为6，不符合题意．．
考点：简单的线性规划．
【名师点睛】本题主要考察线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．
10. 设{a n}是等差数列，则下列结论中正确的是
A. 若a1+a2＞0，则a2+a2＞0
B. 若a1+a3＜0，则a1+a2＜0
C. 若0＜a1＜a2，则
D. 若a1＜0，则(a2-a1)(a2-a3)＞0
【答案】C
【解析】A：若取，则A错误；
B：若取，则B错误；
D：，则D错，
故选C。

11. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝4，，则该三角形面积的最大值是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，得，
所以，得，
所以，故选C。

12. 已知点P(a，b)与点Q(1，0)在直线2x+3y-1＝0的两侧，且a＞0，b＞0，则ω＝a-2b的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知，，则，所以，则
所以在取到最大值，在取到最小值，则范围为，故选D。

点睛：本题考查学生对线性规划问题的处理。

本题中点和在直线两侧，则代入直线方程，两式乘积为负。

根据题意画出可行域，利用线性规划求取值范围的方法（将所求动直线在可行域范围内移动），解得取值范围。

二、填空题（将答案填在题中的横线上）
13. 函数的值域为____________．
【答案】
【解析】令，由对勾函数可知，则的值域为。

14. 已知数列{a n}满足条件a1＝1，a n-1-a n＝a n a n-1，则a10＝____________．
【答案】
【解析】由条件可知，，得是以1为首项，1为公差的等差数列，
则，得，所以。

点睛：非常规的数列题型，通过对递推关系的构造变形，得到一个常规的新数列（等差数列或等比数列），进一步求通项公式。

本题中，通过对递推关系的两边同除以，得到新数列为等差数列，再通过的通项公式，求出的通项公式。

15. 一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为__________海里/时．【答案】
【解析】由，行驶了4小时，这只船的航行速度为海里/小时．
【点睛】本题为解直角三角形应用题，利用直角三角形边角关系表示出两点间的距离，在用辅助角公式变形求值，最后利用速度公式求出结果.
16. 若x，y满足约束条件目标函数z＝ax+2y仅在点(1，0)处取得最小值，则a 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
根据图象可知，当斜率为负时，斜率应大于的斜率，
即，得到；
当斜率为非负时，斜率应小于的斜率，
即，得到.
综上，取值范围为.
点睛：线性规划解决的是“约束条件”、“ 目标函数”中是二元的问题，目标函数中含有参数时，要根据问题的实际意义注意转化成“直线的斜率”、“点到直线的距离”等模型进行讨论研究.
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知不等式(1-a)x2-4x+6＞0的解集是{x|3＜x＜1}．
（1）解不等式2x2+(2-a)x-a＞0；
（2）当b为何值时，ax2+bx+3≥0的解集为R？
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）由不等式的解集是，利用根与系数的
关系式求出的值，把的值代入不等式后，即可求解不等式的解集；（2）代入的值后，由不等式对应的方程的判别式小于等于列式求出的取值范围．
试题解析：（1）由题意知1－a<0且－3和1是方程（1－a）x2－4x＋6＝0的两根，
∴，解得a＝3.
∴不等式2x2＋（2－a）x－a>0
即为2x2－x－3>0，解得x<－1或x>.
∴所求不等式的解集为或.
（2）ax2＋bx＋3≥0，即为3x2＋bx＋3≥0，
若此不等式解集为R，则b2－4×3×3≤0，∴－6≤b≤6.
考点：一元二次不等式的求解．
18. 在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且．
（1）确定角C的大小；
（2）若，且△ABC的面积为，求a+b的值．
【答案】（1）；（2）5
【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理边化角转化为即可得，故（2）∵，∴再由余弦定理可得边c
试题解析：
解：
（1）由正弦定理得，
∵是锐角，∴，故.
（2）∵，∴
由余弦定理得
∴
点睛：在解三角形问题时多注意正余弦定理的结合运用，正弦定理主要用在角化边和边化角上，而余弦定理通常用来求解边长
19. 某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品的搭载实验，计划搭载A，B两种新产品，该研究所要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如下表：
产品A/件产品B/件
研制成本塔载费用之和/万元·件-120 30 计划最大投资金额300万元产品质量/千克·件-110 5 最大搭载质量110千克
预计收益/万元·件-180 60
试问：如何安排这两种产品的件数，才能使总预计收益达到最大？最大收益是多少？
【答案】960
【解析】试题分析：设搭载A产品件，B产品件，依据题意得到变量x，y的线性约束条件及目标函数，然后按照线性规划求最值的步骤求解即可．但注意本题是整点问题，即一注意变量x，y的范围，二注意可行域的边界交点是否为整点．
试题解析：设搭载A产品件，B产品件，
则总预计收益
由题意知，且，
由此作出可行域如图所示，
作出直线并平移，由图象知，
当直线经过M点时，能取到最大值，
由解得且满足，
即是最优解，
所以（万元），
答：搭载A产品9件，B产品4件，能使总预计收益达到最大值，最大预计收益为960万元．考点：线性规划的实际应用．
20. 已知数列{a n}满足．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：
(1)分类讨论和两种情况可得数列{a n}的通项公式为；
(2)结合(1)的结论错位相减可得数列{b n}的前n项和.
试题解析：
（1）当n＝1时，，
，两式相减得，∴，当n ＝1时也满足，∴．
（2），∴S n＝1×3+2×32+3×33+…+n×3n，3S n＝
1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1，两式相减得∴-2S n＝3+32+33+34+…+3n-n×3n+1，
∴．
21. 如图，某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开辟出三块形状大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道．已知三块绿化区的总面积为800平方米，求该矩形区域ABCD占地面积的最小值．
【答案】968
【解析】试题分析：由题意可以得到小矩形的长和宽之间满足关系，则得到面积S ＝(3x+4)(y+2)，根据基本不等式知道当且仅当
，即时，等号成立。

试题解析：
设绿化区域小矩形的一边长为x，另一边长为y，则3xy＝800，所以，所以矩形区域ABCD的面积
S＝(3x+4)(y+2)，
当且仅当，即时取“＝”，
即矩形区域ABCD的面积的最小值为968平方米．
22. 已知数列{a n}满足a1＝1，，其中n∈N*．
（1）设，求证：数列{b n}是等差数列，并求出{a n}的通项公式．
（2）设，数列{c n c n+2}的前n项和为T n，是否存在正整数m，使得对于n∈N*，恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明．
【答案】（1）；（2）3
【解析】试题分析：
(1)结合递推关系可证得b n+1-b n2，且b1＝2，即数列{b n}是首项为2，公差为2的等差数列，据此可得数列的通项公式为．
(2)结合通项公式裂项有求和有．据此结合单调性讨论可得正整数m的最小值为3．
试题解析：
（1）证明：b n+1-b n．
又由a1＝1，得b1＝2，所以数列{b n}是首项为2，公差为2的等差数列，所以b n
＝2+(n-1)×2＝2n，由，得．
（2）解：，所以．
依题意，要使对于n∈N*恒成立，只需，解得m≥3或m≤-4．又
m＞0，所以m≥3，所以正整数m的最小值为3．。