高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.2空间向量的数乘运算课时跟踪训练(含解

空间向量的数乘运算
[A 组 学业达标]
1．设M 是△ABC 的重心，记a ＝BC →，b ＝CA →，c ＝AB →，则AM →为( ) A.b －c 2 B.c －b 2 C.b －c 3 D.c －b 3 解析：M 为△ABC 重心，
则AM →＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(AB →＋AC →)＝13
(AB →＋AC →)＝13(c －b )． 答案：D
2.如图所示，空间四边形OABC 中，OA ＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA
上，且OM →＝2MA →，N 为BC 中点，则MN →等于( )
A.12a －23b ＋12
c B ．－23a ＋12b ＋12
c C.12a ＋12b －23
c D.23a ＋23b －12
c 解析：MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝12(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b ＋12
c . 答案：B
3.在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13
CA →＋λCB →，则λ等于( )
A.23
B.13 C ．－13 D ．－23 解析：∵CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23
. 答案：A
4．非零向量e 1，e 2不共线，使ke 1＋e 2与e 1＋ke 2共线的k 等于( )
A ．0
B ．1
C ．－1
D ．±1
解析：若ke 1＋e 2与e 1＋ke 2共线，
则ke 1＋e 2＝λ(e 1＋ke 2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝λ，
λk ＝1，
∴k ＝±1.
答案：D
5．在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是( )
A.OM →＝3OA →－2OB →－OC →
B.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0
C.MA →＋MB →＋MC →＝0
D.OM →＝14OB →－OA →＋12
OC → 解析：∵MA →＋MB →＋MC →＝0，
∴MA →＝－MB →－MC →，
∴M 与A ，B ，C 必共面．
答案：C
6．化简：12
(a ＋2b －3c )＋5⎝⎛⎭⎫23a －12b ＋23c －3(a －2b ＋c )＝________. 解析：原式＝12a ＋b －32c ＋103a －52b ＋103c －3a ＋6b －3c ＝⎝⎛⎭⎫12＋103－3a ＋⎝⎛⎭⎫1－52＋6b ＋⎝⎛⎭
⎫－32＋103－3c ＝56a ＋92b －76
c . 答案：56a ＋92b －76
c 7．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝3DB →，CD →＝14
CA →＋λCB →，则λ＝________.
解析：CD →＝CB →－DB →＝CB →－14AB →＝CB →－14(CB →－CA →)＝34CB →＋14
CA →， 又CD →＝14CA →＋λCB →，所以λ＝34
. 答案：34
8．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→＝xAB →＋2yBC →＋3zC 1C →，则x ＋y ＋z ＝________.
解析：如图所示，AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋BC →＋(－1)C 1C →
.
又∵AC 1→＝xAB →＋2yBC →＋3zC 1C →
，
∴xAB →＋2yBC →＋3zC 1C →＝AB →＋BC →＋(－1)C 1C →
，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，
2y ＝1，3z ＝－1，
解得⎩⎨⎧ x ＝1，
y ＝1
2，
z ＝－1
3，
∴x ＋y ＋z ＝1＋12－13＝7
6.
答案：7
6
9.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1
→
＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c .试用a ，b ，c 表示B 1M →，C 1M →
.
解析：B 1M →＝B 1A 1→＋A 1A →＋AM →
＝－a ＋c ＋12AC →
＝－a ＋c ＋12(a ＋b ) ＝－12a ＋12
b ＋
c ， C 1M →＝C 1B 1→＋B 1M →＝D 1A 1→＋B 1M →
＝－b －12a ＋12
b ＋
c ＝－12a －12
b ＋
c . 10.如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，
请判断向量EF →与AD →＋BC →是否共线？
解析：∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点．
∴AE →＝12
AB → AF →＝12
(AD →＋AC →) 又∵EF →＝AF →－AE →＝12(AD →＋AC →)－12
AB → ＝AD →＋AC →－AB →2
又∵AD →＋BC →＝AD →＋AC →－AB →＝2EF →
∴EF →与AD →＋BC →共线．
[B 组 能力提升]
11．给出下列命题：
①若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0；
②|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件；
③若AB →，CD →共线，则AB ∥CD ；
④对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ，y ，z ∈R)，
则P ，A ，B ，C 四点共面．
其中不正确命题的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：显然①正确；若a ，b 共线，则|a |＋|b |＝|a ＋b |或|a ＋b |＝||a |－|b ||，故②错误；若AB →，CD
→共线，则直线AB ，CD 可能重合，故③错误；只有当x ＋y ＋z ＝1时，P ，A ，B ，C 四点才共面，故④错误．故选C.
答案：C
12．已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，AC →＝2e 1＋8e 2，AD →＝3e 1－3e 2，则A ，B ，
C ，
D 四点( )
A ．一定共线
B ．恰是空间四边形的四个顶点
C ．一定共面
D ．肯定不共面
解析：因为非零向量e 1，e 2不共线，AB →＝e 1＋e 2，AC →＝2e 1＋8e 2，AD →＝3e 1－3e 2，所以5AB →－AD
→＝5e 1＋5e 2－3e 1＋3e 2＝2e 1＋8e 2＝AC →，所以AC →＝5AB →－AD →.由平面向量基本定理可知，A ，B ，
C ，
D 四点共面．
答案：C
13.如图所示，在四面体O -ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为
BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．
解析：OE →＝OA →＋AE →＝a ＋12AD →＝a ＋12(OD →－OA →)＝12a ＋12OD →＝12a ＋12
×12(OB →＋OC →)＝12a ＋14b ＋14
c . 答案：12a ＋14b ＋14
c 14.如图所示，已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平
面ABCD ，M ，N 分别为PC ，PD 上的点，且PM ∶MC ＝2∶1，N
为PD 的中点．若MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →，则x ＋y ＋z ＝________.
解析：在PD 上取一点F ，使PF ∶FD ＝2∶1，连接MF (图略)，则
MN →＝MF →＋FN →.
因为FN →＝DN →－DF →＝12DP →－13DP →＝16DP →＝16(AP →－AD →)， MF →＝23CD →＝23BA →＝－23
AB →， 所以MN →＝－23AB →－16AD →＋16
AP →， 所以x ＝－23，y ＝－16，z ＝16
. 故x ＋y ＋z ＝－23
. 答案：－23
15．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，点N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求
证：A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．
证明：∵A 1B →＝AB →－AA 1→，A 1M →＝A 1D 1→＋D 1M →＝AD →－12AA 1→，AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)， ∴A 1N →＝AN →－AA 1→＝23(AB →＋AD →)－AA 1→＝23(AB →－AA 1→)＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AA 1→ ＝23A 1B →＋23
A 1M →， ∴A 1N →与A 1
B →，A 1M →共面．
16.如图，已知M ，N 分别为四面体A -BCD 的面BCD 与面ACD 的重心，G 为AM 上一点，且GM ∶GA ＝1∶3.求证：B ，G ，N 三点共线．
证明：设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则BG →＝BA →＋AG →＝BA →＋34
AM → ＝－a ＋14
(a ＋b ＋c ) ＝－34a ＋14b ＋14
c ， BN →＝BA →＋AN →＝BA →＋13
(AC →＋AD →) ＝－a ＋13b ＋13c ＝43
BG →， ∴BN →∥BG →.
又BN∩BG＝B，∴B，G，N三点共线．。