高考数学一轮复习 11.3 几何概型精品教学案(教师版)新人教版

2013年高考数学一轮复习精品教学案11.3 几何概型（新课标人教版，教
师版）
1．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．
2．了解几何概型的意义．
【考点预测】
高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:
1.概率是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，一般以实际应用题的形式考查，又经常与其它知识结合，在考查概率等基础知识的同时，考查转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.
2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持以实际应用题的形式考查概率，或在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活.
【要点梳理】
1.几何概型
事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关．满足以上条件的试验称为几何概型．
2．几何概型中，事件A 的概率计算公式
P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积
. 3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；
(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．
【例题精析】
考点一 与长度、角度有关的几何概型
例1.（2009年高考山东卷理科11） 在区间[-1，1]上随机取一个数x ，cos
2x π的值介于0到21之间的概率为（ ） A. 31 B.π
2 C.21 D. 32 【答案】A
【解析】当10cos 22x
π<<时，在区间[]1,1-上，只有223x πππ-<<-或322
x πππ<<，即22(1,)(,1)33x ∈--，根据几何概型的计算方法，这个概率值是13.
【名师点睛】本小题主要考查与三角函数结合的有关长度的几何概型的计算，熟练基本概念是解决本类问题的关键.
【变式训练】
1.点A 为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为________．
考点二 与面积、体积有关的几何概型
例2. (2012年华东师大附中模拟)设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.若a 是从区间[0,3]
任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
【变式训练】
2.(2012年高考北京卷文科3)设不等式组⎩
⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是
（ ）
（A ）4π （B ）22π- （C ）6
π （D ）44π-
【易错专区】
问题：综合应用
例.(2012年高考陕西卷理科10)右图是用模拟方法估计圆周率π
值的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ）
（A ） 1000
N P =
（B ） 41000
N P = （C ） 1000
M P = （D ） 41000M P =
1.（2009年高考山东卷文科第11题）在区间[,]22ππ-
上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到21之间的概率为（ ） A.31 B.π
2 C.21 D. 32 【答案】A 【解析】当10cos 2x <<时，在区间[,]22ππ-上，只有23x ππ-<<-或32x ππ<<，根据几何概
型的计算方法，这个概率值是13. 2. (湖南省十二校2011届高三第二次联考) 在区间[-3，5]上随机取一个数x ，则
[1，3]的概率为（ ）
A.
B.
C. D.
【答案】C 【解析】本题考查几何概型,所求的概率为2184
=,故选C. 3．（2010年高考湖南卷文科11）在区间[-1,2]上随即取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为 。

【答案】13
【解析】所求概率为长度之比
13。

4. (2010年高考宁夏卷文科14)设函数()y f x =为区间(]0,1上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有()01f x ≤≤，可以用随机模拟方法计算由曲线()y f x =及直线0x =，1x =，0y =所围成部分的面积，先产生两组i 每组N 个，区间(]0,1上的均匀随机数1, 2.....n x x x 和1, 2.....n y y y ，由此得到V 个点()(),1,2....x y i N -。

再数出其中满足1()(1,2.....)y f x i N ≤=的点数1N ，那么由随机模拟方法可得S 的近似值为___________
1.（2012年高考辽宁卷文科11）在长为12cm 的线段AB 上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB 的长，则该矩形面积大于20cm 2的概率为( ) :(A) 16 (B) 13 (C) 23 (D) 45
【答案】C
【解析】设线段AC 的长为x cm ，则线段CB 的长为(12x -)cm,那么矩形的面积为(12)x x -cm 2
，由
(12)20x x ->，解得210x <<。

又012x <<，所以该矩形面积小于32cm 2的概率为23
，故选C. 2. (2012年高考湖北卷文科10)如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆。

在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )
A. 112π-
B. 1π.
C. 21π-
D. 2π
3．(2011年高考福建卷理科4)如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )
A ．14
B ．13
C ．12
D ．23 【答案】C
【解析】S △ABE ＝12
|AB |·|AD |，S 矩形ABCD ＝|AB ||AD |. 故所求概率P ＝S △ABE S 矩形ABCD ＝12
. 4. (2010年高考湖南卷理科11)在区间[1,2]-上随机取一个数x ，则||x ≤1的概率为________. 【答案】23
【解析】P （||x ≤1）＝1(1)22(1)3
--=--. 5．（2010年高考陕西卷理科13）从如图所示的长方形区域内任取一个点()y x M ,，则点M 取自阴影部分的概率为____________.。