江苏省如皋中学2015-2016学年高二下学期4月阶段练习数学文试题Word版含答案

江苏省如皋中学2015—2016学年度第二学期4月阶段练习
高二数学（文）
试卷满分160分，考试时间120分钟
命题、审核：陈高峰
一. 填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．命题“若0x ≥，则20x ≥”的否命题是 ▲ ．
2．已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,5B =，则()U C A B ⋃＝ ▲ ．
3．函数()()lg 1
f x x =-+
的定义域为 ▲ ． 4．已知函数22,
0,()1,0
x x f x x x ⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()21=a f ，则实数a 的值为 ▲ ．
5．曲线2ln y x x =-在点(1,2)处的切线方程是 ▲ ．
6．若命题“x R ∃∈，使得()2
110x a x +-+<”是假命题．．．，则实数a 的取值范围是
▲ ． 7．函数()1
ln f x x x
=
+的单调减区间为 ▲ ． 8．“2
:{|20}p x x x x ∈--≥”，“{}
312:+≤≤-∈a x a x x q ”，若p ⌝是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是 ▲ ．
9．已知函数()=2x
f x x +，且满足()()12f a f -<，则实数a 的取值范围是 ▲ ．
10．已知奇函数()f x 的图像关于直线2x =-对称，当[]
0,2x ∈时，()2f x x =， 则()9f -= ▲ ．
11．若函数()()
ln 3x
f x ae x =--的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 ▲ ．
12.若函数()2
2f x x a x =+-在()0+∞，上单调递增，则实数a 的取值范围是 ▲ ．
13．已知函数()()ln m
f x x m R x
=-∈在区间[]1,e 取得最小值4，则m = ▲ ． 14．已知函数()2
12
f x x m =
+的图像与函数()ln g x x =的图像有四个交点，则实数m 的
取值范围是 ▲ ．
二．解答题：（本大题共6小题，共90分.请在答题纸指定区域作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分14分）
已知a R ∈，命题2
:"[1,2],0"p x x a ∀∈-≥，命题2
:",220"q x R x ax a ∃∈++-=． ⑴若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；
⑵若命题""p q ∨为真命题，命题""p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．
16. （本小题满分14分）
已知函数()()2
ln f x ax x a R =-∈．
（1）若函数()y f x =图像上点()()
11f ，处的切线方程为()y x b b R =+∈，求实数,a b 的值；
（2）若()x f y =在2x =处取得极值，求函数()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值．
17. （本小题满分14分）
已知二次函数)(x f y =的最小值等于4，且6)2()0(==f f ． （1）求)(x f 的解析式；
（2）设函数()()g x f x kx =-，且函数()g x 在区间[1,2]上是单调函数，求实数k 的取值范围；
（3）设函数()()2x
h x f =，求当[]
1,2x ∈-时，函数()h x 的值域．
18. （本小题满分16分）
如图, 有一块半径为R 的半圆形空地,开发商计划征地建一个矩形游泳池ABCD 和其附属设施,附属设施占地形状是等腰CDE ∆,其中O 为圆心,,A B 在圆的直径上，,,C D E 在圆周上.
（1）设BOC θ∠=,征地(五边形ABCED )面积记为()f θ,求()f θ的表达式；
（2）当θ为何值时,征地面积最大?
19. （本小题满分16分）
设()f x 是定义在[]
1,1-上的奇函数，函数()g x 与()f x 的图象关于y 轴对称，且当
(]0,1x ∈时，()2ln g x x ax =-．
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）若对于区间(]
0,1上任意的x ，都有()1f x ≥成立，求实数a 的取值范围．
20. （本小题满分16分）
已知函数()()3
2
2
3,2ln f x x ax x g x x x =-+-=．
（1）若函数()f x 在R 上是单调函数，求实数a 的取值范围； （2）判断函数()g x 的奇偶性，并写出()g x 的单调区间；
（3）若对一切()0,x ∈+∞，函数()f x 的图像恒在()g x 图像的下方，求实数a 的取值范围
2015—2016学年度高二年级第二学期第一次阶段检测
数学（文）试题
参考答案
一．填空题
1. 若0x <，则20x <；
2. {}6；
3. ()1,2；
4. 1-或
2
2
； 5. 10x y -+=； 6. []1,3-； 7. (]
0,1（或()0,1）； 8. []0,1-； 9. ()1,3-； 10. 2-； 11. 2a e >； 12. []
4,0-； 13. 3e -； 14. 1
2
m <-． 二．解答题
15. 解：⑴因为命题2
:"[1,2],0"p x x a ∀∈-≥，
令2
()f x x a =-，根据题意，只要[1,2]x ∈时，min ()0f x ≥即可， ……………4分 也就是101a a -≥⇒≤； ……………7分 ⑵由⑴可知，当命题p 为真命题时，1a ≤，
命题q 为真命题时，2
44(2)0a a ∆=--≥，解得21a a ≤-≥或 ……………11分 因为命题""p q ∨为真命题，命题""p q ∧为假命题，所以命题p 与命题q 一真一假，
当命题p 为真，命题q 为假时，1
2121a a a ≤⎧⇒-<<⎨-<<⎩
，
当命题p 为假，命题q 为真时，1
1-21
a a a a >⎧⇒>⎨
≤≥⎩或，
综上：1a >或21a -<<． …………………………14分 16. 解：(1) 因为()x f 的定义域为()()x
ax x f 1
2,,0-
='+∞，函数()y f x =图像上点()()11f ，处的切线方程为()y x b b R =+∈，所以：()121=11f a a '=-=，，
当1a =时，()2
ln f x x x =-，()11f =，又点()1,1在直线y x b =+上，所以0b =
所以：1,0a b == …………………………………7分 （2）因为()x f 的定义域为()()x
ax x f 1
2,,0-
='+∞。

因为()x f 在2=x 处取得极小值，所以()02='f ，即81=a ．当81
=a 时，()21444x x f x x x
-'=-=，
当1,2x e
⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时， ()0<'x f ，当[]
2,x e ∈时， ()0f x '>
又()2
21111188
f f e e e e ⎛⎫=
+>=- ⎪⎝⎭
所以：函数()f x 在区间1
,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值为21
18e +．……………………………14分
17. 解：（1）642)(2
+-=x x x f ；……………………………………………………4分 （2）函数()()2
246g x x k x =-++，其对称轴方程为：4
4
k x +=
∵函数()g x 在区间[1,2]上是单调函数，∴
44
1244
k k ++≤≥或 ∴04k k ≤≥或 ……………………………………………………9分
（3）令12,42
x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦
，则()()()2
2
246214h x H t t t t ==-+=-+
当1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，()H t 单调递减，当[]
1,4t ∈时，()H t 单调递增，()()min 14H t H == 又()14222H H ⎛⎫<= ⎪⎝⎭
，所以()()max 422H t H ==，
所以当[]1,2x ∈-时，函数()h x 的值域[]
4,22．…………………………………14分
18.解：（1）连接OE ,可得,OE R =cos ,sin OB R BC R θθ==；0,2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
. ……… 4分
∴()()22sin cos cos OBCE f S R θθθθ==+梯形.⎪⎭
⎫
⎝⎛∈2,
0πθ …………………8分 （2）()2(2sin 1)(sin 1)f R θθθ'=--+.……………………………………………………10分
令()0f θ'= ∴01sin =+θ（舍）或者21sin =
θ ∵⎪⎭
⎫
⎝⎛∈2,0πθ, …………12分 ∴当(0,)6πθ∈,()0f θ'>,(,)62
ππ
θ∈,()0f θ'<,…………………………………14分
6
π
θ∴=时,()f θ取得最大. …………………………………15分
答:6
π
θ=
时,征地面积最大. …………………………………………………16分
19.解：（1） ∵ ()g x 的图象与()f x 的图象关于y 轴对称，
∴ ()f x 的图象上任意一点(,)P x y 关于y 轴对称的对称点(,)Q x y -在()g x 的图象上． 当[1,0)x ∈-时，(0,1]x -∈，则2()()ln()f x g x x ax =-=--．………………………2分
∵()f x 为[1,1]-上的奇函数，则(0)0f =．…………………………………………4分 当(0,1]x ∈时，[1,0)x -∈-，2()()ln f x f x x ax =--=-+．…………………………6分 ∴22
ln()(10),()0(0),ln (01).
x ax x f x x x ax x ⎧---<⎪
==⎨⎪-+<⎩≤≤ …………………………………………………7分
（2）由已知，1
()2f x ax x
'=-+．
①若()0f x '≤在(]0,1恒成立，则211
202ax a x x -+⇒≤≤．
此时，1
2
a ≤，()f x 在(0,1]上单调递减，min ()(1)f x f a ==，
∴ ()f x 的值域为[,)a +∞与|()|1f x ≥矛盾．……………………………………11分 ②当1
2
a >
时，令1()20(0,1]f x ax x x =-+=⇒=
， ∴
当x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，
当x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴
2min 11()ln(2)22
f x f a a ==-+=+． 由|()|1f x ≥，得11ln(2)1222e
a a +⇒≥≥．……………………………………15分
综上所述，实数a 的取值范围为2
e
a ≥． ……………………………………………16分
法二：对于区间(]0,1上任意的x ，都有()1f x ≥成立
等价于对于区间(]
0,1上任意的x ，均有()()11f x f x ≤-≥或 ………………8分 ①若对于区间(]
0,1上任意的x ，均有()1f x ≤-成立，即2
ln 1
x a x -≤
成立， 令函数()2ln 1x h x x -=
，则()3
32ln 0x
h x x
-'=>，知函数()h x 在区间(]0,1上单调递增， 当x →-∞时，()h x →-∞，此时实数a 不存在； ………………11分 ②若对于区间(]
0,1上任意的x ，均有()1f x ≥成立，即2
ln +1
x a x ≥
成立，
令函数()
2ln 1x t x x +=
，则()3
2ln 1x t x x --'=，令()(]00,1t x x '=⇒= 当x
⎛∈ ⎝时，()0t x '>，当x ⎤∈⎥⎦
时，()0t x '< 所以当x
=
()t x 有最大值2e ，
对于区间(]
0,1上任意的x ，均有()1f x ≥成立，只需2
e
a ≥．………………… 15分 综上所述，实数a 的取值范围为2
e
a ≥． …………………………16分
20.解：（1）由()323f x x ax x =-+-，得2
()=323f x x ax '-+-，
因为函数()f x 在R 上是单调函数，所以()0f x '≤在R 上恒成立，
所以2=4490a ∆-⨯≤，解得33a -≤≤． ………………………………………3分 （2）由()2
2ln g x x x =，知定义域()(),00,-∞⋃+∞
所以定义域关于原点对称 ………………………………………5分
当()()()2
2
2ln 2ln g x x x x x g x -=--==
所以函数()g x 是偶函数． ………………………………………7分 当0x >时，()2
2ln g x x x =，()()2
1
4ln 222ln 1g x x x x x x x
'=+=+， 令 ()=0g x '，得12
x e
-
=， ………………………………………9分
且120,x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()120,,0g x x e g x -⎛⎫'<∈+∞'> ⎪⎝⎭
； 结合偶函数的对称性，知函数()g x 的单调增区间是：11
22,0,,e e --⎛⎫⎛⎫
-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
单调减区间是：11
22,,0,e e --⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． ………………………………………11分
（3）题意即为()()f x g x <在()0,x ∈+∞上恒成立， 即3
2ln a x x x
<+
+在()0,x ∈+∞上恒成立．………………………………………13分
令()3
2ln h x x x x =+
+，则()()()2
31x x h x x +-'=
， 令()()()2
31=0
x x h x x
+-'=
，得1x =，
当()0,1x ∈时，()0h x '<，当()1,x ∈+∞时，()0h x '>
所以()()min 14h x h ==，所以4a <． ………………………………………16分。