2020届高考数学大二轮复习冲刺创新专题仿真模拟卷一文(最新整理)

仿真模拟卷一
本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分,考试时间120分钟．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x｜3x<1}，则（）
A．A∪B＝｛x|x>1} B．A∪B＝R
C．A∩B＝｛x|x〈0} D．A∩B＝∅
答案C
解析集合B＝｛x｜3x<1｝，即B＝｛x｜x〈0}，而A＝｛x｜x〈1｝，所以A∪B＝{x|x<1}，A∩B＝｛x｜x<0}．
2．记复数z的共轭复数为错误!,若错误!(1－i)＝2i(i为虚数单位),则｜z｜＝（)
A.错误!B．1
C．2错误!D．2
答案A
解析由错误!（1－i）＝2i，可得错误!＝错误!＝错误!＝－1＋i,所以z＝－1－i，|z｜＝2.
3．设a＝ln 1
3
，b＝20。

3,c＝错误!2，则（)
A．a<c〈b B．c〈a<b C．a<b〈c D．b〈a<c 答案A
解析由对数函数的性质可知a＝ln 1
3
<0，由指数函数的性质可知b＝20。

3>1，又0〈c＝错误!
2〈1，故选A。

4．设θ∈R，则“错误!〈错误!"是“sinθ<错误!”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案A
解析由错误!〈错误!可得0<θ〈错误!，所以由“错误!〈错误!”可得“sinθ〈错误!",但由“sinθ〈错误!"推不出“错误!〈错误!”，所以“错误!<错误!”是“sinθ〈错误!"的充分不必要条件．
5．在如图所示的计算1＋5＋9＋…＋2021的程序框图中，判断框内应填入的条件是（)
A．i≤2021? B．i<2021？
C．i〈2017? D．i≤2025?
答案A
解析由题意结合流程图可知当i＝2021时，程序应执行S＝S＋i,i＝i＋4＝2025，再次进入判断框时应该跳出循环，输出S的值;结合所给的选项可知判断框内应填入的条件是i≤2021？.
6．已知函数f（x）＝e｜x|＋cos x，若f(2x－1）≥f（1）,则x的取值范围为( ）A．（－∞，0］∪［1，＋∞）B．［0，1］
C．(－∞,0] D．[1,＋∞）
答案A
解析解法一:（直接法)因为f（－x)＝f（x)，且x≥0时f(x）＝e x＋cos x⇒f′（x）＝e x－sin x〉e0－1＝0,所以函数f(x）为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，因此f（2x－1)≥f(1）⇒f(｜2x－1｜)≥f(1)⇒｜2x－1｜≥1⇒2x－1≥1或2x－1≤－1⇒x≥1或x≤0.故选A.
解法二:（排除法）由题知f(1）＝e＋cos1。

取x＝π，则f(2π－1）＝e|2π－1|＋co s(2π－1）＝e2π－1＋cos1>f(1)，排除B,C;取x＝－π,则f(－2π－1)＝e｜－2π－1｜＋cos（－2π－1）＝e2π＋1＋cos1〉f(1），排除D.故选A.
7．在△ABC中，错误!＋错误!＝2错误!，错误!＋错误!＝0，若错误!＝x错误!＋y错误!，则( ) A．y＝3x B．x＝3y
C．y＝－3x D．x＝－3y
答案D
解析因为错误!＋错误!＝2错误!，所以点D是BC的中点，又因为错误!＋错误!＝0，所以点E是AD的中点，所以有错误!＝错误!＋错误!＝－错误!＋错误!错误!＝－错误!＋错误!×错误!(错误!＋错误!)＝－错误!错误!＋错误!错误!，因此错误!＝错误!错误!－错误!错误!.所以x＝错误!,y＝－错误!,即x＝－3y。

8．已知函数f（x）＝A sin（ωx＋φ)，A〉0，ω>0，|φ｜<错误!的部分图象如图所示,则使f(a＋x）－f(a－x）＝0成立的a的最小正值为（)
A.错误!
B.错误!
C。

错误! D.错误!
答案B
解析由图象易知，A＝2，f（0）＝1，即2sinφ＝1，且｜φ｜<错误!，即φ＝错误!，由
图可知，f错误!＝0,所以sin错误!＝0，所以错误!·ω＋错误!＝2kπ,k∈Z,即ω＝错误!，k∈Z，又由图可知，周期T〉错误!⇒错误!>错误!,得ω〈错误!，且ω>0，所以k＝1，ω＝2，所以函数f(x)＝2sin错误!，因为f（a＋x)－f(a－x）＝0，所以函数f（x)的图象关于x＝a对称,即有2a＋错误!＝kπ＋错误!,k∈Z，所以可得a＝错误!＋错误!,k∈Z,所以a的最小正值为错误!。

9．若函数f（x）是定义在R上的奇函数，f错误!＝1，当x〈0时，f（x）＝log2(－x)＋m，则实数m＝（)
A．－1 B．0
C．1 D．2
答案C
解析∵f(x)是定义在R上的奇函数，f错误!＝1，
且x<0时，f（x）＝log2(－x）＋m，
∴f错误!＝log2错误!＋m＝－2＋m＝－1，∴m＝1。

10．在等差数列{a n}中，a3,a9是方程x2＋24x＋12＝0的两根，则数列｛a n｝的前11项和等于( )
A．66 B．132
C．－66 D．－132
答案D
解析因为a3，a9是方程x2＋24x＋12＝0的两根，
所以a3＋a9＝－24，
又a3＋a9＝－24＝2a6，所以a6＝－12，
S
11
＝错误!＝错误!＝－132.
11．已知双曲线x2
a2
－错误!＝1(a〉0，b>0）的左、右顶点分别为A,B，P为双曲线左支上一
点，△ABP为等腰三角形且外接圆的半径为错误!a，则双曲线的离心率为（）
A.错误!
B.错误!
C。

错误! D.错误!
答案C
解析由题意知等腰△ABP中，｜AB|＝|AP｜＝2a，设∠ABP＝∠APB＝θ，F1为双曲线的左焦点，则∠F1AP＝2θ，其中θ必为锐角．
∵△ABP外接圆的半径为错误!a,
∴25a＝错误!，
∴sinθ＝错误!，cosθ＝错误!，
∴sin2θ＝2×错误!×错误!＝错误!,
cos2θ＝2×错误!2－1＝错误!.
设点P的坐标为（x,y），
则x＝－a－|AP｜cos2θ＝－错误!，y＝｜AP｜sin2θ＝错误!，
故点P的坐标为错误!。

由点P在双曲线上，得错误!－错误!＝1，
整理得错误!＝错误!，
∴e＝错误!＝错误!＝错误!。

12．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,1805～1859）在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”：y＝f（x）＝错误!其中R为实数集，Q为有理数集．则关于函数f(x）有如下四个命题：
①f[f(x）]＝0；②函数f(x）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x）对任意的x∈R恒成立；④存在三个点A(x1,f(x1）），B（x2，f（x2））,C(x3,f（x3）)，使得△ABC 为等边三角形．其中真命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案C
解析当x为有理数时,f（x)＝1;当x为无理数时，f（x）＝0。

∴当x为有理数时，f［f(x）]＝f（1）＝1;当x为无理数时,f［f（x）］＝f（0)＝1，∴无论x是有理数还是无理数，均有f[f(x)］＝1,故①不正确;∵有理数的相反数还是有理数,无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R，都有f（－x)＝f(x），故②正确；当T∈Q时,若x是有理数，则x＋T也是有理数；若x是无理数，则x＋T也是无理数,∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f(x ＋T）＝f（x)对x∈R恒成立，故③正确；取x1＝错误!,x2＝0，x3＝－错误!，f（x1）＝0，f（x2）＝1，f(x3)＝0，∴A错误!,B(0,1)，C错误!，△ABC恰好为等边三角形，故④正确,故选C。

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知x，y满足约束条件错误!x，y∈R,则x2＋y2的最大值为________．
答案8
解析画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界）．x2＋y2表示可行域内的点(x,y)到原点距离的平方．
由图形可得，可行域内的点A或点B到原点的距离最大,且A（2,－2），B（2，2）,又｜OA|
＝|OB｜＝2错误!，∴(x2＋y2)max＝8.
14．设直三棱柱ABC－A1B1C1的所有顶点都在同一个球面上，且球的表面积是40π，AB＝AC＝AA
，∠BAC＝120°，则此直三棱柱的高是________．
1
答案22
解析设AB＝AC＝AA1＝x，
在△ABC中，∠BAC＝120°，
则由余弦定理可得BC＝错误!x.
由正弦定理，
可得△ABC外接圆的半径为r＝x，
又∵球的表面积是40π，
∴球的半径为R＝错误!.
设△ABC外接圆的圆心为O′,球心为O，
在Rt△OBO′中，有错误!2＋x2＝10,解得x＝2错误!，即AA1＝2错误!。

∴直三棱柱的高是2错误!。

15．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板"，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图，在一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是________．
答案错误!
解析由七巧板的构造可知，△BIC≌△GOH，故黑色部分的面积与梯形EFOH的面积相等，
而S梯形EFOH＝错误!S△DOF＝错误!×错误!S正方形ABDF＝
错误!S正方形ABDF,∴所求的概率为P＝错误!＝错误!.
16．在数列{a n}中,a1＝1,a n＋1＝S n＋3n（n∈N＊，n≥1），则数列｛S n｝的通项公式为________．答案S n＝3n－2n
解析∵a n＋1＝S n＋3n＝S n＋1－S n,
∴S n＋1＝2S n＋3n，
∴错误!＝错误!·错误!＋错误!，
∴错误!－1＝错误!错误!，
又错误!－1＝错误!－1＝－错误!，
∴数列错误!是首项为－错误!，公比为错误!的等比数列，
∴错误!－1＝－错误!×错误!n－1＝－错误!n，
∴S n＝3n－2n.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分）在△ABC中，a,b，c分别是内角A,B，C的对边，且错误!b cos A＝sin A(a cos C＋c cos A）．
（1)求角A的大小；
(2）若a＝2错误!，△ABC的面积为错误!,求△ABC的周长．
解(1）∵错误!b cos A＝sin A（a cos C＋c cos A），
∴由正弦定理可得,错误!sin B cos A＝sin A(sin A cos C＋sin C cos A)＝sin A sin（A＋C)＝sin A sin B,
即错误!sin B cos A＝sin A sin B，
∵sin B≠0，∴tan A＝错误!，
∵A∈（0,π)，∴A＝错误!。

（2）∵A＝错误!，a＝2错误!,△ABC的面积为错误!,
∴错误!bc sin A＝错误!bc＝错误!,
∴bc＝5，
∴由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bc cos A,
即12＝b2＋c2－bc＝(b＋c）2－3bc＝（b＋c)2－15，
解得b＋c＝3错误!，
∴△ABC的周长为a＋b＋c＝2错误!＋3错误!＝5错误!.
18．(本小题满分12分）如图，在三棱柱ABF－DCE中,∠ABC＝120°，BC＝2CD，AD＝AF，AF⊥平面ABCD。

（1）求证：BD⊥EC；
(2）若AB＝1，求四棱锥B－ADEF的体积．
解（1）证明：已知ABF－DCE为三棱柱，且AF⊥平面ABCD，
∴DE∥AF，ED⊥平面ABCD。

∵BD⊂平面ABCD，∴ED⊥BD，
又四边形ABCD为平行四边形，∠ABC＝120°，故∠BCD＝60°，又BC＝2CD，故∠BDC＝90°，故BD⊥CD，
∵ED∩CD＝D，ED，CD⊂平面ECD，
∴BD⊥平面ECD，
∵EC⊂平面ECD,故BD⊥EC.
（2)由BC＝2CD得AD＝2AB，
∵AB＝1，故AD＝2，作BH⊥AD于点H，
∵AF⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD,
∴AF⊥BH，又AD∩AF＝A,AD，AF⊂平面ADEF，
∴BH⊥平面ADEF，又∠ABC＝120°，
∴在△ABH中，∠BAH＝60°，又AB＝1，
∴BH＝错误!,
∴V B－ADEF＝错误!×（2×2）×错误!＝错误!。

19．（本小题满分12分）某工厂某产品近几年的产量统计如下表：
年份201420152016201720182019
年份代码t123456
年产量y/万
6。

6 6.777。

17.27.4
件
（1)根据表中数据，求y关于t的线性回归方程错误!＝错误!t＋错误!；
(2）若近几年该产品每件的价格v(单位:元)与年产量y满足的函数关系式为v＝4.5－0。

3y，且每年该产品都能售完．
①根据（1)中所建立的回归方程预测该工厂2020（t ＝7)年该产品的年产量; ②当t (1≤t ≤7)为何值时,该产品的年销售额S （单位：元)最大？
附：对于一组数据(t 1，y 1），(t 2，y 2），…,(t n ,y n )，其回归直线错误!＝错误!t ＋错误!的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为错误!＝错误!，错误!＝错误!－错误! 错误!。

解 (1）由题意，得错误!＝错误!＝3。

5，
错误!＝错误!＝7，
错误!(t i －错误!)(y i －错误!）＝(－2。

5)×(－0.4)＋(－1.5）×(－0.3）＋0＋0.5×0。

1
＋1。

5×0。

2＋2。

5×0.4＝2.8，
错误!(t i －错误!)2
＝（－2。

5）2
＋（－1。

5)2
＋（－0.5）2
＋0.52
＋1。

52
＋2。

52
＝17.5.
由错误!＝错误!，得错误!＝错误!＝0.16，
由错误!＝错误!－错误! 错误!，得错误!＝7－0。

16×3。

5＝6.44，
所以y 关于t 的线性回归方程为y ^
＝0.16t ＋6.44。

(2）①由(1)知错误!＝0.16t ＋6。

44，当t ＝7时，错误!＝0.16×7＋6。

44＝7.56, 所以预测该工厂2020年该产品的年产量为7.56万件． ②当年产量为y 时，年销售额S ＝(4.5－0.3y ）y ×104
＝（－0。

3y 2
＋4。

5y )×104
＝［－0。

3（y －7。

5)2
＋16.875］×104
， 由题知y ∈｛6。

6，6.7，7，7.1，7.2，7。

4，7。

56}，
所以当y ＝7。

56,即t ＝7时，年销售额最大，即2020年的销售额最大．
20．（本小题满分12分)如图，已知点F （1，0)为抛物线y 2
＝2px (p >0）的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上,直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记△AFG ，△CQG 的面积分别为S 1，S 2。

(1）求p的值及抛物线的准线方程；
(2）求错误!的最小值及此时点G的坐标．
解（1）由题意得错误!＝1，即p＝2.
所以抛物线的准线方程为x＝－1。

(2）设A(x A，y A），B（x B，y B),C(x C，y C),
重心G(x G，y G）．
令y A＝2t,2t≠0，则x A＝t2。

由于直线AB过F，故直线AB的方程为x＝错误!y＋1，代入y2＝4x,得y2－错误!y－4＝0，故2ty B＝－4，即y B＝－错误!，所以B错误!。

又由于x G＝错误!（x A＋x B＋x C),y G＝错误!（y A＋y B＋y C)及重心G在x轴上,故2t－错误!＋y C ＝0，得
C错误!,G错误!.
所以直线AC的方程为y－2t＝2t(x－t2)，
得Q（t2－1,0）．
由于Q在焦点F的右侧,故t2>2。

从而
S
1
＝错误!
S
2
＝错误!
＝错误!＝2－错误!.
令m＝t2－2，则m〉0,
错误!＝2－错误!＝2－错误!
≥2－错误!＝1＋错误!.
当m＝3时，错误!取得最小值1＋错误!，此时G(2，0）．
21．(本小题满分12分)设函数f（x)＝m e x－x2＋3，其中m∈R。

(1)当f(x)为偶函数时，求函数h（x）＝xf(x）的极值；
(2）若函数f(x)在区间[－2，4］上有两个零点，求m的取值范围．
解（1）由函数f(x）是偶函数，得f（－x）＝f（x），
即m e－x－（－x)2＋3＝m e x－x2＋3对于任意实数x都成立，所以m＝0.
此时h（x)＝xf(x)＝－x3＋3x，则h′（x）＝－3x2＋3.
由h′(x)＝0，解得x＝±1。

当x变化时，h′(x)与h（x）的变化情况如下表所示：
所以h(x)在(－∞，－1)，(1,＋∞）上单调递减，在（－1，1）上单调递增．
所以h（x）有极小值h（－1）＝－2，极大值h(1)＝2。

（2）由f（x）＝m e x－x2＋3＝0，得m＝错误!.
所以“f(x)在区间[－2,4］上有两个零点”等价于“直线y＝m与曲线g(x)＝错误!，x∈[－2,4］有且只有两个公共点”．
对函数g(x）求导,得g′(x)＝错误!.
由g′（x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，g′（x)与g(x）的变化情况如下表所示：
所以g（x）在（－2，－1),(3，4)上单调递减，在（－1,3)上单调递增．
又因为g（－2）＝e2，g（－1）＝－2e，g（3)＝错误!<g(－2），g（4）＝错误!〉g（－1)，所以当－2e<m<错误!或m＝错误!时，直线y＝m与曲线g(x)＝错误!，x∈［－2，4］有且只有两个公共点．
即当－2e〈m<13
e4
或m＝错误!时，函数f（x）在区间[－2，4］上有两个零点．
请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号．
22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2＋y2＝4，直线l的参数方程为错误!(t为参数)，若将曲线C1上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的错误!，得曲线C2。

（1）写出曲线C2的参数方程;
（2）设点P(－2,3错误!）,直线l与曲线C2的两个交点分别为A，B，求错误!＋错误!的值．解（1)若将曲线C1上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的错误!，
则得到曲线C2的直角坐标方程为x2＋错误!2＝4，
整理，得错误!＋错误!＝1，
∴曲线C2的参数方程为错误!（θ为参数)．
（2)将直线l的参数方程化为标准形式为
错误!(t′为参数）,
将参数方程代入错误!＋错误!＝1，得
错误!＋错误!＝1，
整理,得错误!(t′)2＋18t′＋36＝0.
∴｜PA｜＋｜PB｜＝｜t1′＋t2′｜＝错误!，
|PA|·|PB｜＝t1′t2′＝错误!，
∴错误!＋错误!＝错误!＝错误!＝错误!。

23．（本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x＋3|＋｜x－1｜的最小值为m。

（1)求m的值以及此时x的取值范围；
（2）若实数p，q，r满足：p2＋2q2＋r2＝m,证明：q(p＋r）≤2.
解（1)依题意，得f(x)＝|x＋3｜＋｜x－1|≥｜x＋3－x＋1｜＝4，故m的值为4.当且仅当(x＋3)（x－1)≤0，即－3≤x≤1时等号成立，即x的取值范围为［－3,1]．(2）证明：因为p2＋2q2＋r2＝m，
故（p2＋q2）＋（q2＋r2）＝4。

因为p2＋q2≥2pq，当且仅当p＝q时等号成立;
q2＋r2≥2qr，当且仅当q＝r时等号成立，
所以（p2＋q2）＋(q2＋r2）＝4≥2pq＋2qr，
故q（p＋r)≤2，当且仅当p＝q＝r时等号成立．。