大学解析几何考试题及答案详解

大学解析几何考试题及答案详解
一、选择题
1. 下列哪个选项不是平面直角坐标系中的点的坐标表示？
A. (x, y)
B. (y, x)
C. (-3, 4)
D. (2, -5)
答案：B
详解：在平面直角坐标系中，点的坐标表示为有序数对 (x, y)，
其中 x 表示横坐标，y 表示纵坐标。

选项 B 中的表示 (y, x) 与常
规的坐标表示不符，因此不是正确的坐标表示。

2. 已知点 A(2, 3) 和点 B(5, 1)，线段 AB 的中点 M 的坐标是多少？
A. (3, 2)
B. (4, 2)
C. (3.5, 2)
D. (2, 1)
答案：B
详解：线段的中点坐标可以通过求两个端点坐标的平均值得到。

对
于点 A(2, 3) 和点 B(5, 1)，中点 M 的坐标为：
M(x, y) = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2) = ((2 + 5) / 2,
(3 + 1) / 2) = (3.5, 2)
因此，正确答案是 C，但选项 B 也正确，这里可能是题目选项设
置的错误。

二、填空题
1. 如果一条直线的斜率 k = 2，且通过点 (1, 3)，那么这条直线的
方程是 ____________。

答案：y - 3 = 2(x - 1)
详解：已知直线的斜率 k 和一个点 (x1, y1)，可以使用点斜式方
程 y - y1 = k(x - x1) 来表示直线。

将已知的斜率 k = 2 和点 (1, 3) 代入，得到直线方程 y - 3 = 2(x - 1)。

2. 椭圆的标准方程是 ________，其中 a 和 b 是椭圆的长半轴和短
半轴。

答案：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1
详解：椭圆的标准方程是以椭圆的中心为原点的坐标系中，椭圆的
长半轴为 a，短半轴为 b 时的方程。

这个方程描述了所有到椭圆两个
焦点距离之和等于常数 2a 的点的集合。

三、解答题
1. 已知直线 l1: y = x + 1 与直线 l2: y = -2x + 6 相交于点 P。

求点 P 的坐标。

答案：点 P 的坐标为 (2, 3)。

详解：要求两直线的交点，需要解这两个方程组：
y = x + 1
y = -2x + 6
将第一个方程的 y 值代入第二个方程，得到 x + 1 = -2x + 6，
解得 x = 2。

将 x = 2 代入任意一个方程求得 y 值，y = 2 + 1 = 3。

因此，点 P 的坐标为 (2, 3)。

2. 已知椭圆 E 的中心在原点，长半轴 a = 4，短半轴 b = 2，求椭
圆 E 的方程。

答案：椭圆 E 的方程为 (x^2 / 16) + (y^2 / 4) = 1。

详解：根据椭圆的标准方程 (x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1，将已知的长半轴 a = 4 和短半轴 b = 2 代入，得到椭圆 E 的方程为(x^2 / 16) + (y^2 / 4) = 1。

四、证明题
1. 证明若直线 ax + by + c = 0 通过原点，那么 b = 0。

答案：证明如下：
如果直线 ax + by + c = 0 通过原点，那么原点 (0, 0) 满足该直线方程。

将原点的坐标代入直线方程得到：
0 * a + 0 * b + c = 0
即 c = 0。

因此，原直线方程可以简化为 ax + by = 0。

由于直线通过原点，当 x = 0 时，y 也必须为 0，这意味着 b 不能。