【全国百强校】辽宁省葫芦岛市普通高中作协体2017届高三上学期第二次考试文数(解析版)

辽宁省葫芦岛市普通高中作协体2016-2017学年高三上学期第二次考试
文数试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合{}1 2 3 4A =，
，，，{}0 2 4 6B =，，，，则A B 等于（ ） A ．{}0 1 2 3 4 6，
，，，， B ．{}1 3， C ．{}2 4， D ．{}0 6， 【答案】C
考点：集合的基本运算. 2.复数37i
z i
+=
的实部与虚部分别为（ ） A ．7，3- B ．7，3i - C ．7-，3 D ．7-，3i 【答案】A 【解析】 试题分析：∵()37731
i i z i +=
=--，∴z 的实部与虚部分别为7 3-，,故选A.
考点：复数及其运算.
3.下面四个推理，不属于演绎推理的是（ ）
A ．因为函数()sin y x x R =∈的值域为[]1 1-，
，21x R -∈，所以()()sin 21y x x R =-∈的值域也为[]1 1-， B ．昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿
C ．在平面中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a b ∥，b c ∥则a c ∥，将此结论放到空间中也是如此
D ．如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地的高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论 【答案】C 【解析】
试题分析： C 中的推理属于合情推理中的类比推理，A ，B ，D 中的推理都是演绎推理. 考点：合情推理.
4.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4910a a +=，则12S 等于（ ）
A ．30
B ．45 C.60 D ．120 【答案】
C 【解析】 试题分析：()()112124912
6602
a a S a a +⨯=
=⨯+=，故选C.
考点：等差数的前n 项和.
5.在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排坐在一张圆桌，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下： 甲是中国人，还会说英语. 乙是法国人，还会说日语. 丙是英国人，还会说法语. 丁是日本人，还会说汉语. 戊是法国人，还会说德语.
则这五位代表的座位顺序应为（ ）
A ．甲丙丁戊乙
B ．甲丁丙乙戊 C.甲乙丙丁戊 D ．甲丙戊乙丁 【答案】D
考点：演绎推理.
6.在梯形ABCD 中，3AB CD = ，则BC
等于（ ）
A ．1233A
B AD -+ B ．2433AB AD -+ C.23AB AD - D ． 23
AB AD -+
【答案】D
【解析】
试题分析：1233
BC AC AB AB AD AB AB AD =-=+-=-+
,故选D.
考点：向量及其运算．
7.已知函数()2
2 0 0x
x f x m x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩
，
，，给出下列两个命题： 命题p ：若1
4
m =
，则()()10f f -=. 命题(): 0q m ∃∈-∞，
，方程()0f x =有解. 那么，下列命题为真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．()p q ⌝∧ C.()p q ∧⌝ D ．()()p q ⌝∧⌝ 【答案】C
考点：命题的真假．
8.将函数()sin 43f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
的图象向左平移()0ϕϕ>个单位后关于直线12x π=对称，则ϕ的最小值为（ ）
A ．
6
π
B ．
524π C.4π D ．724
π
【答案】B 【解析】
试题分析：∵()sin 443f x x πϕϕ⎛
⎫+=++ ⎪⎝
⎭的图象关于12x π=对称，∴441232k πππϕπ⨯++=+，
∴()424k k Z ππϕ=
-∈，∵0ϕ>，∴min 524
π
ϕ=
. 考点：1、三角函数的图象与性质；2、图象的变换. 9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．23
B ．1 C.4
3
D ．2
【答案】C
考点：三视图.
【方法点晴】本题主要考查三视图，属于较易题型.应注意把握三个视图的位置和尺寸：主视图在图纸的左上方,左视图在主视图的右方,俯视图在主视图的下方；主视图与俯视图长应对正（简称长对正）,主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐）,左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）,若不按上述顺序放置，则应注明三个视图名称．
10.若α为锐角，3sin tan ααβ==，则tan 2β等于（ ） A ．
34 B ．43 C.34- D ．43
- 【答案】D 【解析】
试题分析：∵sin 3sin tan cos αααα==，α为锐角，∴1
cos 3
α=，sin α=
∴sin tan cos α
αβα
=
==. ∴tan 2β=，44tan 2143
β=
=--. 考点：三角恒等变换.
11.已知点O 为ABC △内一点，120AOB ∠=︒，1OA =，2OB =，过O 作OD 垂直AB 于点D ，点E 为线段OD 的中点，则OE EA ⋅
的值为（ ） A ．
328 B ．314 C.27 D ．514
【答案】A
【解析】
试题分析：1sin 2OAB S OA OB AOB =
⋅⋅∠=
△
，AB ==，根据等面积法
得OD =，所以(
)
2
213
228OE EA OE ED DA OE ED OE ⎛⋅=⋅+=⋅=== ⎝ . 考点：1、解三角形；2、向量的基本运算.
【方法点晴】本题考查解三角形、向量的基本运算，涉及数形结合思想、方程思想思想和转化化归思想，考查空逻辑思维能力、等价转化能力和运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.
首先由已知可得1sin 2OAB S OA OB AOB =
⋅⋅∠=
△
，AB ==，根据等面积法
得OD =，所以(
)
2
213228OE EA OE ED DA OE ED OE ⎛⋅=⋅+=⋅=== ⎝ . 12.若函数()2ln f x x a x =+在区间()1 +∞，
上存在极小值，则（ ） A ．2a >- B ．2a <- C.2a ≥- D ．2a ≤- 【答案】
B
考点：导数及其应用.
【方法点晴】本题考查导数及其应用，涉及方程思想思想和转化化归思想，考查空逻辑思维能力、等价转
化能力和运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先求导可得()()22'20a x a
f x x x x x
+=+=>，设
()22g x x a =+，进而将原命题转化为则()g x 在()1 +∞，上有解，由于()g x 在()1 +∞，单调递增，故只需()120g a =+<，解得2a <-.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.已知向量m 与向量n
平行，其中()2 8m = ，
，()4 n t =- ，，则t = ． 【答案】16- 【解析】
试题分析：由向量m 与向量n
平行得232t =-，∴16t =-.
考点：向量的平行.
14.若复数z 的共轭复数z 满足()13i z i +⋅=+，则复数z 在复平面内对应的点位于第 象限． 【答案】一 【解析】
试题分析：由()13i z i +⋅=+，得321i
z i i
+==-+，所以2z i =+，其对应的点位于第一象限. 考点：复数及其性质.
15.长、宽、高分别为2，1，2的长方体的每个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 ． 【答案】9π 【解析】
试题分析：∵球心O 为长方体的体对角线的中点，∴R 249S R ππ==.
考点：1、长方体的外接球；2、球的表面积公式.
【方法点晴】本题考查长方体的外接球、球的表面积公式，涉及数形结合思想和转化化归思想，考查空间想象能力、逻辑思维能力、等价转化能力和运算求解能力，综合性较强，属于中档题型. 首先利用数形结
合思想可判断：球心O 为长方体的体对角线的中点，从而求得R =得249S R ππ==.
16.若
是首项为4，公比为2的等比数列，则4
2016log
a = ．
【答案】2017
考点：1、等比数列及其性质；2、对数运算.
【方法点晴】本题考查等比数列及其性质、对数运算，涉及分方程思想思想和转化化归思想，考查空逻辑思维能力、等价转化能力和运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先利用转化化归思想将看成n b ，
12n +=，从而求得14n n a +=，代入并化简2017420164log log 42017a ==.解本题除了要求考生要牢固掌握等比数列的定义与性质之外，还需熟悉对数运算.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C
的对边，且sin cos a C A =. ⑴求角A 的大小；
⑵若a =，3c =，求ABC △的面积. 【答案】⑴3
A π
=
；⑵ABC S =△．
考点：解三角形. 18.（本小题满分12分）
在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，17a =，且2a ，5a ，10a 成等比数列. ⑴求数列{}n a 的通项公式及其前n 项和n S ； ⑵若1
5
n n n b a a +=
⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】⑴25n a n =+，26n S n n =+；⑵51449
n n
T n =+.
【解析】
试题分析：⑴由2510 a a a ，，成等比数列⇒()7d +()()2
7974d d +=+⇒2d =⇒25n a n =+
⇒()272562n n n
S n n ++=
=+；⑵由⑴可得()()5
511252722527n b n n n n ⎛⎫
==
- ⎪+⋅+++⎝⎭
⇒51
1
1
1
1
1
527991125271449
n n
T n n n ⎛⎫
=-+-+-=
⎪+++⎝⎭…+. 试题解析：⑴∵2510 a a a ，，成等比数列，∴()()()2
77974d d d ++=+，又∵0d ≠，∴2d =. ∴25n a n =+，()272562
n n n
S n n ++==+.………………………………7分
⑵由⑴可得()()5511252722527n b n n n n ⎛⎫
=
=- ⎪+⋅+++⎝⎭
，
∴5111111527991125271449
n n
T n n n ⎛⎫=-+-+-= ⎪
+++⎝⎭…+.…………………………12分 考点：1、等差数列；2、等比数列；3、数列前n 项和；4、错位相减法. 19.（本小题满分12分）
⑴证明：若实数 a b c ，，成等比数列，n 为正整数，则 n n n a b c ，
，也成等比数列；
⑵设12 z z ，均为复数，若121 2z i z i =+=-，，则12z z ⋅==；若134z i =-，243z i =+，则
125525z z ⋅=⨯=；若112z =
-2z =，则12111z z ⋅=⨯=.通过这三个小结论，请归纳出一个
结论，并加以证明.
【答案】⑴证明见解析；⑵1212z z z z ⋅=⋅，证明见解析.
试题解析：⑴证明：∵ a b c ，，成等比数列，∴2b ac =，
∴()()()2
2n
n
n n n a c ac b b ⋅===，∴ n n n a b c ，，也成等比数列.……………………4分
⑵解：归纳得到的结论为1212z z z z ⋅=⋅.……………………………………7分 下面给出证明：设12 z a bi z c di =+=+，，则()12z z ac bd ad bc i ⋅=-++，
∴12z z ⋅=
=，
又12z z ⋅==，∴1212z z z z ⋅=⋅.………………12分 考点：1、等比数列； 2、复数及其运算. 20.（本小题满分12分）
设定义在R 上的函数()f x 满足()()221f x f x =+，且()12f =.
⑴求()()()0 2 4f f f ，
，的值； ⑵若()f x 为一次函数，且()()()g x x m f x =-在()3 +∞，
上为增函数，求m 的取值范围. 【答案】⑴()01f =-， ()25f =，()411f =；⑵17
( ]3
m ∈-∞，.
试题解析： ⑴令0x =，得()()0201f f =+，………………………………1分 ∴()01f =-，∵()12f =.……………………………………2分
∴()()22115f f =+=，()()422111f f =+=.…………………………4分 ⑵∵()01f =-.
∴设()1f x kx =-，又()12f =，∴12k -=，3k =. ∴()31f x x =-，…………………………………………7分 ∴()()()()231331g x x m x x m x m =--=-++， ∴
3136m +≤，∴173m ≤，即17
( ]3
m ∈-∞，.…………………………12分 考点：1、函数的解析式；2、一次函数；3、函数的单调性.
【方法点晴】本题考查函数的解析式、一次函数、函数的单调性，涉及特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.第一小题
由特殊与一般思想想，令0x =⇒()()0201f f =+⇒()01f =-，又()12f =⇒()()22115f f =+=⇒
()4f =()22111f +=.第二小题由()01f =-可设()1f x kx =-，又()12f =⇒12k -=⇒3k =⇒()f x =
31x -⇒()()2331g x x m x m =-++⇒
3136m +≤⇒17
3
m ≤. 21.（本小题满分12分）
如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为正三角形，E 、F 、G 分别是BC 、1CC 、1BB 的中点.
⑴若1BC BB =，求证：1BC ⊥平面AEG ；
⑵若D 为AB 中点，145CA D ∠=︒，四棱锥11C A B BD -F AEC -的表面积.
【答案】⑴证明见解析；⑵S =
.
试题解析： ⑴证明：如图，因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AE BB ⊥， 又E 是正三角形ABC 的边BC 的中点，所以AE BC ⊥，又1BC BB B = ， 所以AE ⊥平面11B BCC ，则1AE BC ⊥，……………………3分 连接1B C ，易知四边形11B BCC 为正方形，则11BC B C ⊥，
又1GE B C ∥，则1BC GE ⊥，因为GE AE E = ，所以1BC ⊥平面AEG .……6分
考点：1、线面垂直；2、锥体的体积；3、锥体的表面积.
22.（本小题满分12分）
已知函数()2x f x x e =.
⑴求()f x 在() 0-∞，
上的最大值； ⑵若函数()f x 在()1 -+∞，
上的最小值为m ，当0x >时，试比较12
m -与ln 21x x -+的大小. 【答案】(1)()242f e -=
；⑵0m =. 【解析】
试题分析：⑴由()()2'2x f x x x e =+ ⇒当2x <-时，()'0f x >，()f x 递增；当20x -<<时，()'0f x <；()f x 递减⇒()f x 在() 0-∞，上的最大值为()2
42f e -=；⑵由（1）同理可得()f x 在()1 -+∞，上的最小值为()00f = ⇒0m =.设()ln 21g x x x =-+，令11211'()20,'()0;22x g x x x g x x x -=
-==⇒=⇒<<≥ 1
,'()02x g x >≤max 111()()ln ln 2222
g x g m ⇒===-<-=-． 试题解析： ⑴()()2'2x f x x x e =+，……………………………………1分
∵当2x <-时，()'0f x >，()f x 递增；当20x -<<时，()'0f x <；()f x 递减，∴()f x 在() 0-∞，
上的最大值为()2
42f e -=.………………………………………………5分
考点：1、函数的最值；2、函数的单调性；3、函数与不等式.
【方法点晴】本题考查函数的最值、函数的单调性、函数与不等式.，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意数形结合思想的应用.。