福建省莆田市2017届高三12月月考数学(文)试题_含答案

莆田第二十五中学2016-2017学年度上学期月考试卷
高三文科数学考试时间：120分钟；
一、单项选择
1、已知集合()(){}
{}
130,24A x x x B x x =--<=<<，则A B = （）
A．{}23x x <<B．{}13
x x <<C．{
}
34x x <<D．{
}
14
x x <<2、复数i
i
z 21+=
的共轭复数在复平面内所对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限
D．第四象限
3、设x R ∈，则“21x -<”是“2
20x x +->”的（
）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件
D．即不充分也不必要条件
4、已知命题:p R x ∀∈，cos 1x >，则p ⌝是（）
A．R x ∃∈，cos 1x <B．R x ∀∈，cos 1x <C．R x ∀∈，cos 1
x ≤D．R x ∃∈，cos 1
x ≤5、向量(1,1)a =- ，(1,0)b = ，若()(2)a b a b λ-⊥+
，则λ=（
）
A．2
B．2
-C．3
D．3
-6、阅读程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为（
）
A．15B．105C．245D．945
7、若,x y 满足约束条件10
040x x y x y -≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
则y x 的最大值为（
)
A.1
B.2
C.3
D.
23
8、在数列{}n a 中，1112,1n
n n
a a a a ++=-=
-，则2016a =（）
A．－2
B．13
-
C.
12
D．3
9、如图，一个几何体的三视图分别为两个等腰直角三角形和一个边长为2的正方形及其一条对角线，则该几何体的侧面积为（）
A．8(1+
B．4(1
C．2(1
D．1+
10、曲线x 2+y 2﹣6x=0（y＞0）与直线y=k（x+2）有公共点,则k 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
11、函数()2sin()(0,22
f x x ππ
ωϕωϕ=+>-
<<的部分图象如图所示，则
,ωϕ的值分别是（
）A.4,6π-
B.2,6
π-
C.2,3
π-
D.4,
3
π
12、已知函数()y f x =是(1,1)-上的偶函数，且在区间(1,0)-是单调递增的，,,A B C 是锐角ABC ∆的三个内角，则下列不等式中一定成立的是（）
A．(sin )(cos )f A f A >B．(sin )(cos )f A f B >C．(cos )(sin )f C f B >D．(sin )(cos )
f C f B >二、填空题
13、定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

已知数列{}a n 是等和数列，且a 12=，公和为5，那么a 18的值为______________14、若对任意2
0,
41
x
x a x x >≤++恒成立，则a 的取值范围是15、已知函数3
()1f x ax x =++的图象在点(1,(1))f 处的切线过点（2,7），则a =__________．
16、设()f x 是定义在R 内，且周期为2的函数，在区间[]1,1-上，()1,10
2,011ax x f x bx x x +-≤<⎧⎪
=+⎨≤≤⎪+⎩，其中
,a b R ∈．若1322f f ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则3a b +的值为____________．
三、解答题
17、已知等差数列{}n a 满足：47a =，1019a =，其前n 项和为n S .(1）求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；
(2）若等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且12b =，44b S =，求n T
.
18、ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，1sin 2
sin 22+=+C B
A .（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若2=
a ，1=c ，求ABC ∆的面积.
19、如图，已知四棱锥P-ABCD，PD ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是边长为2的正方形，M、N 分别为PB、PC 的中点．
（Ⅰ）证明：MN//平面PAD；
（Ⅱ）若PA 与平面ABCD 所成的角为
45，求四棱锥P-ABCD 的体积V．
20、已知函数3
2
()1f x x bx cx =++-当2x =-时有极值，且在1x =-处的切线的斜率为3-．
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）求函数()f x 在区间[1,2]-上的最大值与最小值；
（3）若过点(1,)P m 可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．
21、已知椭圆22
22:1x y C a b
+=过点()20A ，，()01B ，两点．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；
（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．
22、在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C 的极坐标方程为
4πρθ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭，直线的参数方程为121x t y t =-⎧⎨
=-⎩
（t 为参数），直线和圆C 交于,A B 两点，P 是圆C 上不同于,A B 的任意一点．（1）求圆心的极坐标；（2）求PAB ∆面积的最大值．
参考答案
一、单项选择1、【答案】A
【解析】{}{}
13,23A x x A B x x =<<∴⋂=<<，故选A.考点：集合的运算．2、【答案】D 【解析】复数i i z 21+=
可化为2155z i =+，共轭复数是21
55z i =-，所以复数i
i z 21+=的共轭复数在复
平面内所对应的点位于第四象限,故选D.考点：复数，共轭复数及复平面.3、【答案】A
【解析】由“21x -<”得31<<x ，由220x x +->得1>x 或2-<x ，即“21x -<”是“2
20x x +->”
的充分不必要条件，故选：A．考点：充分条件与必要条件的判断.4、【答案】D
【解析】由全称命题的否定为特称命题，知p ⌝为x ∃∈R ，cos 1x ≤，故选D．考点：全称命题的否定．5、【答案】C
【解析】22()(2)()(2)02(2)0a b a b a b a b a b a b λλλλ-⊥+⇒-⋅+=⇒-+-⋅= 221(2)(1)03λλλ⇒⨯-⨯+--=⇒=，选C．
考点：向量数量积
【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法
（1）求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义．
（2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简．6、【答案】B
【解析】第一次运行程序时，3T =，3S =，2i =；第二次运行程序时，5T =，15S =，3i =；第三次运行程序时，7T =，105S =，4i =，不满足循环条件，退出循环，输出105S =，故选B．考点：程序框图．7、【答案】C
【解析】作出不等式组对应的平面区域，
y
x
的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知，OA 的斜率最大，由1
40
x x y =⎧
⎨
+-=⎩，得1
3
x y =⎧⎨
=⎩，即A（1，3)，
故OA 的斜率k=3考点：线性规划问题8、【答案】D
【解析】由条件可得：21-=a ，312-
=a ，213=a ，34=a ，25-=a ，3
1
6-=a ，…，所以数列{}n a 是以4为周期的数列，所以342016==a a ，故选项为D.考点：数列的函数特性.9、【答案】B
【解析】
如图，几何体为四棱锥，底面为边长为2的正方形，高为2，⊥PC 底面ABCD ，所以AB PC ⊥,BC AB ⊥,所以⊥AB 平面PBC ,那么PB AB ⊥,同理PD AD ⊥,所以侧面都是直角三角形，
()
24422222222222
1
+=⨯+⨯+⨯+⨯=
+++=∆∆∆∆PDC P AD P AB PBC S S S S S ,故选B.考点：1.三视图；2.几何体的体积和表面积.10、【答案】C
【解析】由题意得，曲线x 2+y 2﹣6x=0（y＞0）是圆心为（3，0），半径为3的半圆，它与直线y=k（x+2）
有公共点成立的条件就是圆心（3，0）到直线y=k（x+2）的距离3≤d ，且0>k ，即可得到答案，选C 考点：1.直线与圆的位置关系的应用；2.点到直线的距离公式的灵活运用；11、【答案】C
【解析】根据图像可得：212512112πππ=-=T
,π=T ,而πωπ=2，2=ω，当π125=x 时，2
1252π
π=⨯，
解得：3
-
π
ϕ=，故选C.考点：()ϕω+=x A y sin 的图像12、【答案】C
【解析】由题意()f x 在(0,1)上单调递减，在锐角三角形中，2A B π+>
，即2
A B π
>-，因此sin sin()cos 2
A B B π
>-=，因此(sin )(cos )f A f B <，类似地只有C 正确．故选C．
考点：函数的奇偶性与单调性．二、填空题13、【答案】3
【解析】由题意知，15n n a a ++=，且12a =，所以125a a +=，得23417183,2,32,3a a a a a ===== 考点：数列的应用14、【答案】6
1
≥
a 【解析】令
()2
141x x x f x =++，∴()146f x x x =++≥（当1x =时，等号成立），∴()116f x ≤，∴61
≥a ，故答案为6
1
≥
a ．考点：函数恒成立问题．15、【答案】1
a =【解析】由题意得，函数的导数为2
()31f x ax '=+，所以(1)31f a '=+，而(1)2f a =+，所以切线方程
为2(31)(1)y a a x --=+-，因为切线方程经过点(2,7)，所以72(31)(21)a a --=+-，解得1a =．考点：利用导数研究曲线在某点的切线方程．16、【答案】10-【解析】由13114(122223b f f f a +⎛⎫⎛⎫
==-⇒-=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，又4,202)1()1(-==⇒=+⇒=-b a b a f f 103-=+⇒b a ．
考点：1、函数的解析式；2、函数的单调性.
【方法点晴】本题主要考查函数的解析式和函数的单调性，其中涉及函数与方程思想，具有一定的综合性，
属于较难题型.先利用周期性得131()222f f f ⎛⎫⎛⎫
==-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，从而建立方程14123b a +-=，又利用)1()1(f f =-，再建立方程02=+b a ，联立两方程解得4,2-==b a ，从而求得103-=+b a ，解本题
时要始终牢牢紧扣函数与方程思想，才能顺利求解.
三、解答题
17、【答案】(1）12-=n a n ,2
n S n =;
(2）2
21
-=+n n T 试题分析：(1）由等差数列的通项公式,据已知410,a a 的值,建立关于1,a d 的方程组,解方程组可得1,a d ,从而得到等差数列的通项公式和前n 项和公式;(2）已知1b ,由等比数列的通项公式,利用44b S =求出q ,可得等比数列的前n 项和.
试题解析:(1）设等差数列}{n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧=+=+1997
311d a d a ，
解得：⎩
⎨⎧==21
1d a ，
∴12-=n a n ，2
n
S n =(2）设等比数列}{n b 的公比为q ，∵21=b ，44S b =，∴1623
=q ，∴2=q ，∴2
2
1
-=+n n T 考点：等差数列;等比数列.【解析】18、【答案】（1）
4π；（2）1
2
.试题分析：（1）由三角形内角和定理得A B C π++=，从而将条件转化为2
2sin
sin 12
C
C π-=+，利用三角恒等变换公式得cos sin C C =，从而求得4
C π
=；（2）由余弦定理列出方程可求出边b 的值，即可求三角形面积.
试题解析：（1）2
2sin sin 12
A B
C +=+ ,
在ABC ∆中，
2
2sin sin 12
C
A B C C ππ-++=∴=+
2
2cos sin 1cos sin 2
C
C C C =+∴=()0,4
C C ππ∈∴=
（2）方法①由余弦定理知
222222cos 1,1242
2101c a b ab C c a C b b b b π=+-===∴=+--+=∴= 11
sin 22
ABC S ab C ∆=
= 10分方法②在ABC ∆中，由正弦定理：
21
sin sin 4
A π=
，sin 1A ∴=,90A =︒,1122
ABC S bc ∆∴=
=考点：1.三角形的恒等变换；2.正弦定理与余弦定理.
【名师点睛】本题考查三角恒等变换与正、余弦定理，中档题；解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.【解析】
19、【答案】（Ⅰ）详见解析（II）8
3
试题分析：
（I）由中位线定理得出MN∥BC，由MN∥AD，故MN∥AD，得出MN∥平面PAD；（II）由∠PAD=45°得出PD=AD，于是棱锥体积V=
1
3
S 正方形ABCD？PD 试题解析：（1）证明：因为M、N 分别是棱PB、PC 中点，所以MN//BC，又ABCD 是正方形，所以AD//BC，于是MN//AD．3分
////MN AD
AD PAD MN PAD MN PAD ⊂⇒⊄⎫
⎪
⎬⎪⎭
平面平面平面6分（2）由PD ABCD ⊥底，知PA 与平面ABCD 所成的角为PAD ∠，∴45PAD ∠=
9分
在P AD Rt ∆中，知2PD AD ==，故四棱锥P-ABCD 的体积18423
3
V =
⨯⨯=
．12分
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【解析】
20、【答案】（1）
32
()3 1.
f x x x
=+-
；（2）最大值是19，最小值是1-；（3）实数m的取值范围是
(5,3).
-
试题分析：（1）由题意可得，先求出
()
f x
的导数
2
'()32
f x x bx c
=++
，再根据
'(2)1240,
'(1)323,
f b c
f b c
-=-+=
⎧
⎨
-=-+=-
⎩
可求解出b,c的值；（2）求出
()
f x'
的零点，再列表根据单调性求()
f x的最值；（3）设切点，求切线方程，
得到
3
00
261
m x x
=-+-
，要求过点
(1,)
P m
可作曲线
()
y f x
=
的三条切线，即求
3
00
261
m x x
=-+-
有三
个零点
试题解析：
（1）
2
'()32
f x x bx c
=++
依题意得
'(2)1240,
'(1)323,
f b c
f b c
-=-+=
⎧
⎨
-=-+=-
⎩解得
3,
0.
b
c
=
⎧
⎨
=
⎩
∴函数
()
f x
的解析式为
32
()3 1.
f x x x
=+-
（2）由（1）知
2
'()36
f x x x
=+
.令
'()0
f x=
，
解得12
x=-
，20
x=
列表：
从上表可知，在区间上的最大值是19，最小值是.
（3）设切点为
32
000
(,31)
x x x
+-
，
2
000
'()36
f x x x
=+
，
∴切线方程为
322
00000
(31)(36)() y x x x x x x
-+-=+-
，
切线过点
(1,)
P m
，∴
322
00000
(31)(36)(1)
m x x x x x
-+-=+-
，
∴
3
00
261 m x x
=-+-
．
令
3
()261
g x x x
=-+-
，则
2
'()66
g x x
=-+
．
由
'()0
g x=
得1
1
x=-
，2
1
x=
．
() g x
在(,1)
-∞-
上是减函数，在
(1,1)
-
上是增函数，在
(1,)
+∞
上是减函数，
极小值
(1)5
g-=-
，极大值
(1)3
g=
，
且(3)541815g =-+-<-，(3)541813g -=-->，
所以，当53m -<<时，3
261x x m -+-=有三解，所以实数m 的取值范围是(5,3).
-考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的极值；
【解析】
21、【答案】
（Ⅰ）c e a ==；（Ⅱ）2．试题分析：（Ⅰ）根据两顶点坐标可知a ，b 的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；（Ⅱ）四边形ABNM 的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线AN ，BM 的值求乘积为定值即可．试题解析：（Ⅰ）由题意得，21a b ==，．
所以椭圆C 的方程2
214
x y +=．
又c =，所以离心率32
c e a ==．（Ⅱ）设()()000000P x y x y <<，，，则220044x y +=．
又()20A ，，()01B ，，所以，
直线PA 的方程为()0022y y x x =
--．令0x =，得0022M y y x =--，从而002112
M y BM y x =-=+-．直线PB 的方程为0011y y x x -=
+．令0y =，得001N x x y =-，从而00221
N x AN x y =-=+-所以四边形ABNM 的面积
12
S AB BM =⋅00002121212x y y x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭
()
22000000000044484222x y x y x y x y x y ++--+=--+000000002244
22
x y x y x y x y --+=--+2=．
从而四边形ABNM 的面积为定值．
考点：1、椭圆方程；2、直线和椭圆的关系．
【方法点晴】本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系，以及考查逻辑思维能力、分析与解决问题的综合能力、运算求解能力、方程思想与分类讨论的思想．第一小题根据两顶点坐标可知a ，b 的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；第二小题四边形ABNM 的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线AN ，BM 的值求乘积为定值即可．
【解析】
22、【答案】（1）34π⎫⎪⎭
；（2）562152+．试题分析：（1）借助题设条件运用直角坐标与极坐标之间关系求解；
（2）借助参数方程与普通方程的关系求解．
试题解析：
（1）由圆C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=-
⎪⎝⎭
，∴22sin 2cos ρρθρθ=-，．∴22
22x y y x +=-．
圆C 的普通方程为()()22112x y ++-=，圆心坐标为()1,1C -，
化为极坐标为34π⎫⎪⎭
．（2）由直线l 的参数方程121
x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）消去参数t ，可得直线l 的普通方程：210x y -+=．
∴圆心到直线l 的距离
d =
∴5
AB ==
点P 直线AB 距离的最大值为25522555r d ++=
+=，max 12305225215262555
S +=⨯⨯=考点：极坐标和参数方程等有关知识的综合运用．
【解析】。