排序不等式 课件

1．分析待求函数的结构特征，构造两个有序数组． 2．运用排序原理求最值时，一定要验证等号是否成 立，若等号不成立，则取不到最值．
利用排序不等式求解简单的实际 问题
若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维 修分别需要45 min,25 min和30 min，每台电脑耽误1 min，网 吧就会损失0.05元．在只能逐台维修的条件下，按怎样的顺 序维修，才能使经济损失降到最小？
1．首先，理解题意，实际问题数学化，建立恰当模 型．
2．三台电脑的维修时间3t1＋2t2＋t3就是问题的数学模 型，从而转化为求最小值(运用排序原理)．
【提示】 由排序原理，知顺序和最大，反序和最小． 因此最大值为a1b1＋a2b2＋a3b3＋a4b4＋a5b5＝304. 最小值为a1b5＋a2b4＋a3b3＋a4b2＋a5b1＝212.
用排序不等式证明不等式(字母大小已定)
已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证： (1)b1c≥c1a≥a1b； (2)ba2c22＋cb2a22＋ac2b2 2≥a12＋b12＋c12. 【思路探究】 由于题目条件中已明确a≥b≥c，故可 以直接构造两个数组．
序和 ≤ 乱序和 ≤顺序和．
1．排序原理的本质含义是怎样的？
【提示】 两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时 所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两 乘积之和最小．等号成立的条件是其中至少有一序列为常数 序列．
2．已知两组数a1≤a2≤a3≤a4≤a5， b1≤b2≤b3≤b4≤b5，其中a1＝2，a2＝7，a3＝8，a4＝9，a5 ＝12，b1＝3，b2＝4，b3＝6，b4＝10，b5＝11，将bi(i＝ 1,2,3,4,5)重新排列记为c1，c2，c3，c4，c5.那么a1c1＋a2c2＋… ＋a5c5的最大值和最小值分别是多少？
利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析 所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要 的带有大小顺序的两个数组．
本例题中条件不变，求证：ba3c53＋cb3a53＋ac3b5 3≥ac23＋ab23＋ b2 c3.
【证明】 ∵a≥b≥c≥0， ∴a5≥b5≥c5， 1c≥1b≥1a＞0. ∴b1c≥a1c≥b1a，
【自主解答】 (1)∵a≥b>0，于是1a≤1b， 又c>0，∴1c>0. 从而b1c≥c1a. 同理，∵b≥c>0，于是1b≤1c. ∴a>0，∴1a>0，于是得c1a≥a1b. 从而b1c≥c1a≥a1b.
(2)由(1)知b1c≥c1a≥a1b>0且a≥b≥c>0， ∴b21c2≥c21a2≥a21b2，a2≥b2≥c2. 由排序不等式，顺序和≥乱序和得 ba2c22＋cb2a22＋ac2b2 2≥bb2c22＋cc2a2 2＋aa2b22＝c12＋a12＋b12＝a12＋b12 ＋c12， 故ba2c22＋cb2a22＋ac2b2 2≥a12＋b12＋c12.
≤bac3＋cba3＋acb3 .
【思路探究】 (1)题目涉及到与排序有关的不等式； (2)题目中没有给出a，b，c的大小顺序．解答本题时不 妨先设定a≤b≤c，再利用排序不等式加以证明． 【自主解答】 不妨设0<a≤b≤c，则a3≤b3≤c3. 0<b1c≤c1a≤a1b，
由排序原理：乱序和≤顺序和，得 a3·c1a＋b3·a1b＋c3·b1c≤a3·b1c＋b3·c1a＋c3·a1b， a3·a1b＋b3·b1c＋c3·c1a≤·b1c＋b3·c1a＋c3·a1b. 将上面两式相加得 a2＋c b2＋b2＋a c2＋c2＋b a2≤2(bac3＋cba3＋acb3 )， 将不等式两边除以2， 得a2＋2cb2＋b22＋ac2＋c2＋2ba2≤bac3＋cba3＋acb3 .
∴b31c3≥a31c3≥b31a3，由顺序和≥乱序和得 ba3c53＋ab3c53＋bc3a5 3≥bb3c53＋ac3c5 3＋ba3a53 ＝bc32＋ac23＋ab23， ∴ba3c53＋ab3c53＋bc3a5 3≥ac23＋ab23＋bc32.
字母大小顺序不定的不等式证明 设a，b，c为正数，求证a2＋2cb2＋b22＋ac2＋c2＋2ba2
2．排序不等式(排序原理)
设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1， c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列， 则a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1 ≤ a1c1＋a2c2＋…＋ancn ≤ a1b2＋a2b2＋…＋anbn ，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1 ＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和，此不等式简记为反
排序不等式
1．顺序和、乱序和、反序和的概念
设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn为两组实 数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则称ai与 bi(i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和 a1b1＋a2b2＋
…＋anbn 为顺序和，和a1c1＋a2c2＋…＋ancn为乱序和，相 反顺序相乘所得积的和 a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1 称为反序和．
【思路探究】 不妨设a≥b≥c＞0，设法构造数组，利 用排序不等式求解．
【自主解答】 不妨设a≥b≥c， 则A≥B≥C，
aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC， aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC， aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC， 将以上三式相加，得 3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)·(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)， 当且仅当A＝B＝C＝π3时，等号成立． ∴aAa＋＋bbB＋＋ccC≥3π， 即aAa＋＋bbB＋＋ccC的最小值为3π.
在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对 于没有给出大小关系的情况：(1)要根据各字母在不等式中地 位的对称性，限定一种大小关系．(2)若给出的字母不具有对 称性，一定不能直接限定字母的大小顺序，而要根据具体环 境分类讨论．
利用排序不等式求最值
设A，B，C表示△ABC的三个内角，a，b，c表 示其对边，求aAa＋＋bbB＋＋ccC的最小值(A，B，C用弧度制表 示)．
【思路探究】 这是一个实际问题，需要转化为数学问
题．要使经济损失降到最小，即三台电脑维修的时间与等候
的总时间之和最小，又知道若维修第一台用时间t1 min时， 三台电脑等候维修的总时间为3t1 min，依此类推，等候的总 时间为3t1＋2t2＋t3 min，求其最小值即可．
【自主解答】 设t1，t2，t3为25,30,45的任一排列， 由排序原理知3t1＋2t2＋t3≥3×25＋2×30＋45＝ 180(min)， 所以按照维修时间由小到大的顺序维修，可使经济损失 降到最小．