二次函数经典例题及答案

二次函数经典例题及答案

1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2)，与x轴交于A B两点，与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。

(1) 求这条抛物线的函数关系式；

(2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ

1 2 9 . 135

y=2 x +4x - 2；存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9，-%'5 ) , Q (--^, -4) •析

一2 25

试题分析：(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2，然后把点B的坐

标代入解析式求出a的值，即可得解；

(2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得

到OA OC AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出/

OAC勺正弦值与余弦值，再分① AD=QD时，过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE,从而得到点Q的坐标；②AD=AQ时，过Q作QE2丄x轴于点E＞，利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE，从而得到点Q的坐标；③AQ=DQ时，过Q作QE3丄x轴于点已，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度，然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度，从而得到点Q 的坐标.

试题解析：(1 )•••抛物线顶点坐标为(

25 -4 , - 2),

•••设抛物线解析式为

2 25 y=a (x+4) - 2

为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点

(2) 存在点 Q (-1 , -4 ) , Q (2 -9，-

) , Q( - ] , - 4 ) 25

理由如下：•••抛物线顶点坐标为( -4 , - 2 ),

•••点D 的坐标为(-4 , 0),

9

令 x=0，则 y=-],

£

9

令 y=0，则-x 2+4x- _ =0, 2

整理得，x +8x-9=0 , 解得 x i =1, X 2=-9 ,

9

•••点 A (-9 , 0), C ( 0,-.),

9

• OA=9 OC=. , AD=-4- (-9 ) =-4+9=5 ,

Jdf + OC‘ =. ^9; + (-)1 =—

在Rt △ AOC 中 ,根据勾股定理， AC=

\

-

-

9

OC 7 逛 __ — ■ — * AC 座5

• sin / OAC=

-

OA _ 9 _ 2來 JC ~9^--r

cos / OAC=

■

① AD=QD 时，过Q 作QE 丄x 轴于点E ,

•••抛物线过点 B (1, 0)，二 a (1+4)

2

-25=0，解得 a=2 ,

所以，抛物线解析式为

y=】(x+4) 2孚

即 y= _ x 2+4x-

J'A

E3EJ：

DE T

c

p:

根据等腰三角形三线合一的性质，AQ=2?ADcos/ OAC=X 5X QE i=AQ?sin / OAC=衣

AE=AQ?cos / OA C A/5=8,

所以，OE=OA-A E=9-8=1 , 所以，点Q的坐标为(-1 , -4 );

②AD=AQ时，过Q作QE2丄x轴于点E2,

QE2=AQ?sin / OAC=X :'=上,

AE=AQ?cos / OAC=X

所以，OE=OA-AE=9-2 上, 所以，点Q的坐标为(2J- -9 , - * );

③AQ=DQ时，过Q作QE3丄x轴于点巳,

所以，OE=9-】=-,

•/ QE3丄x 轴，OCL OA •••△ AQE s s^ ACO

QE OC

:--

9

5 9

即］,

解得 Q 3E 3=-,

13

5

所以，点Q 的坐标为(-_ ，- ■),

13

5

综上所述，在线段 AC 上存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2 -9，-

) , Q(-】,-4 ), 使得△ ADQ 为

等腰三角形.

2. 如图，直线y= - x+3与x 轴，y 轴分别交于B , C 两点，抛物线y= - x 2+bx+c 经过B, C 两点，点A

是抛物线与x 轴的另一个交点.

(1) 求B C 两点坐标； (2) 求此抛物线的函数解析式； (3)

在抛物线上是否存在点 P ,使S"A =S A CAB 若存在，求出P 点坐标，若

不存在，请 说明理由.

1) B ( 3, 0) C ( 0, 3)( 2)此抛物线的解析式为 y= - x 2+2x+3 . ( 3)存在这样的 P 点，其坐

试题分析：(1)已知了过B 、C 两点的直线的解析式，当 x=0时可求岀C 点的坐标，当y=0是可 求岀B 点的

坐标. (2)

由于抛物线的解析式中只有两个待定系数， 因此将B 、C 两点

的坐标代入抛物线中即可求岀 抛物线的解析式. (3)

根据(2)

的抛物线的解析式可得岀 A 点的坐标，由此可求岀 AB 的长，由于S MAB =G CAB ,而 AB 边为定值.由此可求岀P 点的纵坐标，然后将P 点的纵坐标代入抛物线的解析式中即可求岀 P 点的坐

标.

试题解析：(1)丁直线y= - x+3经过B C

标为 P (0, 3),( 2, 3)