人教版高一必修1第二章+指数函数

1、指数函数的定义：
2、指数函数的性质：
3、________=s
r
a a ()Q s r a ∈>,,0
()_______=s
r a ()Q s r a ∈>,,0
()_______=r
ab ()Q s r a ∈>,,0
检测1、 化简[(－2)6]1
2
－(－1)0的值为________．
答案 7
检测2、若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是__________．
答案 (－2，－1)∪(1，2)
解析 由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a 2－1<1，∴1<a 2<2，即1<a <2
或－2<a <－1.
检测3、若函数f (x )＝a x －1 (a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是
[0,2]，则实数a ＝________.
答案
3
解析 当a >1时，x ∈[0,2]，y ∈[0，a 2－1]． 因定义域和值域一致，故a 2－1＝2，即a ＝ 3. 当0<a <1时，x ∈[0,2]，y ∈[a 2－1,0]． 此时，定义域和值域不一致，故此时无解． 综上，a ＝ 3. 检测4、函数y ＝a x －1
a
(a >0，且a ≠1)的图象可能是 ( )
答案 D
解析 当a >1时，y ＝a x －1
a 为增函数，且在y 轴上的截距为
0<1－1
a
<1，排除A ，B.
当0<a <1时，y ＝a x －1a 为减函数，且在y 轴上的截距为1－1
a <0，
故选D.
检测5、 设函数f (x )＝a －
|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4， ( )
A ．f (－2)>f (－1)
B ．f (－1)>f (－2)
C ．f (1)>f (2)
D ．f (－2)>f (2) 答案 A 解析 ∵f (x )＝a
－|x |
(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，
∴a －
2＝4，∴a ＝12
，
∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－|x |＝2|x |
，∴f (－2)>f (－1)，故选A.
检测
6、设函数f (x )＝a
－|x |
(a >0且a ≠1)，若f (2)＝4，则f (－
2)与f (1)的大小关系是________． 解析 由f (2)＝a －2
＝4，解得a ＝12，
∴f (x )＝2|x |
，∴f (－2)＝4>2＝f (1)． 答案 f (－2)>f (1)
检测7．已知函数（为常数）.若在区间
上是增函数，则的取值范围是 .
检测8、设函数f (x )＝2|x ＋1|－|x －1|
，求使f (x )≥22的x 的取值范
围．
解析 y ＝2x
是增函数，f (x )≥2 2 等价于|x ＋1|－|x －1|≥3
2
.
①
(1)当x ≥1时，|x ＋1|－|x －1|＝2，∴①式恒成立． (2)当－1<x <1时，|x ＋1|－|x －1|＝2x ， ①式化为2x ≥32，即3
4
≤x <1.
(3)当x ≤－1时，|x ＋1|－|x －1|＝－2，①式无解．
综上，x 取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫34，＋∞.
检测9、若函数y ＝a ·2x －1－a
2x
－1
为奇函数．
(1)求a 的值； (2)求函数的定义域； (3)求函数的值域．
|
|)(a x e
x f -=a )(x f ),1[+∞a
解析
∵函数y ＝
a ·2x －1－a
2x
－1
，∴y ＝a －1
2x －1
.
(1)由奇函数的定义，可得f (－x )＋f (x )＝0，即
a －
12－x －1＋a －1
2x
－1
＝0， ∴2a ＋1－2x
1－2x ＝0，∴a ＝－12.
(2)∵y ＝－12－1
2x －1，
∴2x
－1≠0，即x ≠0.
∴函数y ＝－12－1
2x －1的定义域为{x |x ≠0}．
(3)∵x ≠0，∴2x
－1＞－1.
∵2x
－1≠0，∴0＞2x
－1＞－1或2x
－1＞0. ∴－12－12x －1＞12或－12－12x －1＜－12
.
即函数的值域为{y |y ＞12或y ＜－12}
方案/ 知识点
指数及其运算
指数函数
及其性质
指数函数
性质的应
用
熟练 掌握 生疏
可能原因及对策
44327 、指数函数的图像及性质 函数(x
y a a =是自变量，函数的定义域是R 、指数函数图象及性质
>1
图
象
性 质
(1)定义域：R (2)值域：（0，+∞） (3)过点（0，1），即x =0时，y =1
(4)在 R 上是增函数 (4)在R 上是减函数
3、指数函数的底数与图像的关系
指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系 如图所示，则01c d a b <<<<<，
在y 轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大，
在y 轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大
即无论在y 轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大
在第一象限内，“底大图高”
例1、已知函数()()()f x x a x b ＝－－ (其中a b >)的图象如右图所示，则函数()x
g x a b ＝＋的图象是( )
变式1、函数的图象可能是
（
）
变式2、若当
时，函数
（
，且
），满
足，则函数的图象大致是（ ）
【方法技巧】
1、掌握指数函数的概念；
2、求指数函数解析式一般采用待定系数法.
2.2比较大小
例2、比较下列各组数的大小：
12
2()5- 320.4-（）； 0.7633（）
0.753-（）.
1
(0,1)x
y a a a a
=-
>≠
变式1、函数x
a x f =)(（1,0≠>a a ）在区间[]2,1上的最大值是最小值的2倍，则a 的值是（ ）
A ．21或2
B ．21或2
C ．2
1 D ．2
【方法技巧】指数函数求定义域注意以下几点：
（1）注意带根号的式子，根号下的数是非负数；
（2）注意带分数的式子，分母不等于0；
求函数值域时可采用换元法
2.4函数性质的综合应用
例5．(1)函数f (x )=a x (a >0,且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a 的值；
(2)如果函数122-+=x x a a y (a >0,且a ≠1)在[−1,1]上有最大值14，试求a 的值。

解：
1)①若a >1,则f (x )在[1,2]上递增,最大值为a 2，最小值为a ∴
解得
或a =0(舍去)；
②若02 ∴
解得或a=0(舍去)，
综上所述,所求a的值为或；
(2)设t=a x,则原函数可化为，对称轴为t=−1
①若a>1,∵x∈[−1,1]
∴在[−1,1]上递增
∴
∴当t∈时递增
故当t=a时,
由a2+2a−1=14
解得a=3或a=−5(舍去∵a>1)；
②若,在[−1,1]上递减
,
解得或(舍去)
综上,可得或a=3。

变式1、若函数f(x)1-x a (a ＞0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0，2]，求实数a 的值.
解答：
例6、函数f(x)=()
x x a a -+21，(a>0且a ≠1). (1)讨论f(x)的奇偶性；
(2)若函数f(x)的图象经过点(2,
9
41)，求f(x).
变式1、已知函数()x f =()101
1≠>+-a a a a x x 且 （1）求()x f 的定义域和值域；
（2）讨论()x f 的奇偶性；
（3）讨论()x f 的单调性。

与函数y＝|3x－1|的图
由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0
等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数，
由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k .[12分]
即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，
从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13
.[14分]
变式1、已知函数f(x)=R k k x x ∈⋅+-,22，
(1)若函数f(x)为奇函数，求实数k 的值。

(2)若对任意的x ∈[0,+∞)都有f(x)>x -2成立，求实数k 的取值范围
1、化简66()a b -= .
2、计算()122
2--⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
的结果是（ ）. A ．2 B ．2- Ｃ．22 D ．22
- 3、计算：（1）510a ； （2） 397.
4、计算：34333324381224a ab b a a ab a ⎛⎫-÷- ⎪ ⎪++⎝⎭
.
5. 函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为（ ）.
A. 1
B. 2
C. 1或2
D. 任意值
6. 函数f (x )=21x a -+ (a >0,a ≠1)的图象恒过定点（ ）.
A. (0,1)
B. (0,2)
C. (2,1)
D. (2,2)
7. 指数函数①()x f x m =，②()x g x n =满足不等式 01m n <<<，则它们的图象是（ ）.
11、已知f (x )为定义在[−1,1]上的奇函数,当x ∈[−1,0]
时,函数解析式为()x x x f 2
141-=(x ∈R ).
12、求函数
21
21
x
x
y
-
=
+
的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇
偶性.
13、若方程式 |a x−1|=2a (a＞0，且a≠1)有两解，则a 的取值范围是_______.
1、2115113366
22(3)(8)(6)a b a b a b -÷-
2、函数y ＝e x ＋e －x
e x －e －x 的图象大致为（ ）
3、函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是 ( )
A ．a >1，b <0
B ．a >1，b >0
C ．0<a <1，b >0
D ．0<a <1，b <0
4、函数
x x y 2221+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=的值域是（ ）
A ．R
B ．(0，＋∞)
C ．(2，＋∞) D.⎣⎡⎭
⎫12，＋∞
5． 已知a ＝5－12
，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．
6、比较大小：23( 2.5)- 45
( 2.5)-
7、函数f (x )＝ax 2＋2x －3＋m (a >1)恒过点(1,10)，则m ＝______.
8、若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 9.已知函数f(x)=x x a
24+为偶函数。

(1)求a 的值；
(2)判断函数f(x)的单调性，并求其最小值。

A 组 专项基础训练
一、选择题(每小题5分，共20分)
1． 设2a ＝5b ＝m ，且
1a ＋1b
＝2，则m 等于 ( )
A.10 B ．10
C ．20
D ．100
答案 A
解析 ∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，
∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m
＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.
∴m ＝10.
2、函数
x x y 2221+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=的值域是（ ）
A ．R
B ．(0，＋∞)
C ．(2，＋∞) D.⎣⎡⎭⎫12，＋∞
答案 D
解析 ∵－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，
∴⎝⎛⎭⎫12－x 2＋2x ≥12
，故选D. 3、函数
y ＝xa x |x |(0<a <1)图象的大致形状是 ( )
答案 D
＝xa
|x|＝
{a x，x－a x，x<0.当x>0时，函数是一个指数函数，因
解析∵{a2＋b＝a0＋b＝－3，∴{a＝b＝－4，
专项能力提升
15分)
⎧1
x(x>0)，x(x≤0)，若F(x)＝f(x)＋x，
1．设函数f(x)＝
⎩
⎨
∴y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2
>0. 当a <0时，x 2<0，
∴x 1＋x 2＝－x 2>0，x 1>0，
∴y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2
<0. 3． (2012·上饶质检)设函数f (x )＝2x 1＋2x －12
，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]
的
值域是 ( )
A ．{0,1}
B ．{0，－1}
C ．{－1,1}
D ．{1,1} 答案 B
解析 f (x )＝1＋2x －11＋2
x －12＝12－11＋2x . ∵1＋2x >1，∴f (x )的值域是⎝⎛⎭
⎫－12，12. ∴y ＝[f (x )]的值域是{0，－1}．
二、填空题(每小题4分，共12分)
4． 函数f (x )＝ax 2＋2x －3＋m (a >1)恒过点(1,10)，则m ＝______.
答案 9
解析 f (x )＝ax 2＋2x －3＋m 在x 2＋2x －3＝0时过定点(1，1＋m )或(－3,1＋m )，∴1＋m
＝10，解得m ＝9.
5． 若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．
答案 (1，＋∞)
解析 令a x －x －a ＝0即a x ＝x ＋a ，若0<a <1，显然y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象只有一个公共点；若a >1，y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象如图所示．
∴函数f (x )＝e －
x a ＋a e －x ， 当a ＝1时，在(0，＋∞)为增函数，
同理，当a ＝－1时，f (x )在(0，＋∞)为减函数．
8、函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是 ( )
A ．a >1，b <0
B ．a >1，b >0
C ．0<a <1，b >0
D ．0<a <1，b <0
6、函数y ＝e x ＋e －
x
e x －e －x 的图象大致为（ ）
答案 A
解析 y ＝e x ＋e －
x e x －e －x ＝1＋2e 2x －1，当x >0时，e 2x －1>0，且随着x 的增大而增大，故y ＝1。