【新】高中数学第一章计数原理章末评估验收新人教A版选修2-3

第一章 计数原理
章末评估验收(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则不同的行车路线有( ) A ．24种 B ．16种 C ．12种
D ．10种
解析：完成该任务可分为四类，从每一个方向的入口进入都可作为一类，如图，从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12种不同的行车路线，故选C.
答案：C
2．5名学生相约第二天去春游，本着自愿的原则，规定任何人可以“去”或“不去”，则第二天可能出现的不同情况的种数为( )
A ．C 2
5 B ．25
C ．52
D ．A 2
5
解析：“去”或“不去”，5个人中每个人都有两种选择，所以，出现的可能情况有2×2×2×2×2＝25
(种)．
答案：B
3．C 0
3＋C 1
4＋C 2
5＋C 3
6＋…＋C 17
20的值为( ) A ．C 3
21 B ．C 3
20 C ．C 4
20 D ．C 4
21
解析：原式＝(C 0
4＋C 1
4)＋C 2
5＋C 3
6＋…＋C 17
20＝(C 1
5＋C 2
5)＋C 3
6＋…＋C 17
20＝(C 2
6＋C 3
6)＋…＋C 17
20＝C 17
21＝C 21－17
21
＝C 4
21.
答案：D
4．(1＋x )7
的展开式中x 2
的系数是( ) A ．42 B ．35 C ．28
D ．21
解析：由二项式定理得T 3＝C 2
7·15
·x 2
＝21x 2
，所以x 2
的系数为21. 答案：D
5．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )
A ．9
B ．10
C ．18
D ．20
解析：从1，3，5，7，9这五个数中每次取出两个不同数的排列个数为A 2
5＝20，但lg 1－lg 3＝lg 3－lg 9，lg 3－lg 1＝lg 9－lg 3，所以不同值的个数为20－2＝18.
答案：C
6．设f (x )＝(2x ＋1)5
－5(2x ＋1)4
＋10(2x ＋1)3
－10(2x ＋1)2
＋5(2x ＋1)－1，则f (x )等于( )
A ．(2x ＋2)5
B ．2x 5
C ．(2x －1)5
D ．(2x )5
解析：f (x )＝C 0
5(2x ＋1)5
(－1)0
＋C 1
5(2x ＋1)4
(－1)1
＋C 2
5(2x ＋1)3
(－1)2
＋C 3
5(2x ＋1)2
(－1)3
＋C 4
5(2x ＋1)1
(－1)4
＋C 5
5(2x ＋1)0
(－1)5
＝[(2x ＋1)－1]5
＝(2x )5
.
答案：D
7．4名男歌手和2名女歌手联合举行一场音乐会，出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，则共有出场方案的种数是( )
A ．6A 3
3 B ．3A 3
3 C ．2A 33
D ．A 22A 14A 4
4
解析：先选一名男歌手排在两名女歌手之间，有A 1
4种选法，这两名女歌手有A 2
2种排法，再把这三人作为一个元素，与另外三名男歌手排列有A 4
4种排法，根据分步乘法计数原理知，有A 14A 22A 4
4种出场方案．
答案：D
8．若⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x －123x n
的展开式中的第4项为常数项，则展开式的各项系数的和为( ) A.1
12 B.124 C.116
D.132
解析：T 4＝C 3n (x )n －3⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－123x 3
＝－18C 3n x n －32－1，
令
n －3
2－1＝0，解得n ＝5，再令x ＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－125
＝1
32
. 答案：D
9．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取
2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )
A ．1 B.1121 C.1021
D.
521
解析：从袋中任取2个球共有C 2
15＝105种，其中恰好1个白球1个红球共有C 1
10C 1
5＝50(种)，所以恰好1个白球1个红球的概率为50105＝1021
.
答案：C
10．(2015·课标全国Ⅰ卷)(x 2
＋x ＋y )5
的展开式中，x 5y 2
的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30
D ．60
解析：在(x 2
＋x ＋y )5
的5个因式中，2个取因式中x 2
剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y ，故x 5y 2
的系数为C 25C 13C 2
2＝30.
答案：C
11．从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为( )
A ．300
B ．216
C ．180
D ．162
解析：由题意知可分为两类：(1)选0，共有C 23C 12C 13A 3
3＝108(个)；(2)不选0，共有C 23A 4
4＝72(个)．由分类加法计数原理得108＋72＝180(个)．
答案：C 12．在(x －2)2 006
的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当x ＝2时，S 等于( )
A ．23 008
B ．－23 008
C ．2
3 009
D ．－2
3 009
解析：设(x －2)2 006
＝a 0x
2 006
＋a 1x
2 005
＋…＋a 2 005x ＋a 2 006.
则当x ＝2时，有
a 0(2)2 006＋a 1(2)2 005＋…＋a 2 005(2)＋a 2 006＝0.①
当x ＝－2时，有
a 0(2)2 006－a 1(2)2 005＋…－a 2 005(2)＋a 2 006＝23 009.②
①－②有a 1(2)2 005
＋…＋a 2 005(2)＝
－2
3 009
2
＝－2
3 008
.故选B.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知⎝
⎛⎭⎪⎫mx －1x 6的展开式中x 3
的系数为15，则m 的值为________．
解析：因为T r ＋1＝C r 6(mx )6－r
(－x －12)r ＝(－1)r m 6－r ·C r
6x 6－r －12r ，由6－r －12
r ＝3，得r
＝2.所以(－1)r m
6－r
·C r 6＝m 4C 2
6＝15⇒m ＝±1.
答案：±1
14．5个人排成一排，要求甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法有________种． 解析：甲、乙两人之间至少有一人，就是甲、乙两人不相邻，则有A 33A 2
4＝72(种)． 答案：72
15．平面直角坐标系中有五个点，分别为O (0，0)，A (1，2)，B (2，4)，C (－1，2)，D (－2，4)．则这五个点可以确定不同的三角形个数为________．
解析：五点中三点共线的有O ，A ，B 和O ，C ，D 两组．故可以确定的三角形有C 3
5－2＝10－2＝8(个)．
答案：8
16．将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴某大型展览会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答).
解析：先分组C 25C 23C 1
1A 22，再把三组分配乘以A 3
3得：C 25C 23C 1
1A 22A 33＝90(种)．
答案：90
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，求不同的买法有多少种(用数字作答)．
解：分两类：第一类，买5本2元的有C 5
8种； 第二类，买4本2元的和2本1元的有C 48C 23种． 故不同的买法共有C 5
8＋C 48C 2
3＝266(种)．
18．(本小题满分12分)已知⎩⎪⎨⎪
⎧C x n ＝C 2x
n ，C x ＋1n ＝113C x －1n ，试求x ，n 的值．
解：因为C x
n ＝C n －x
n ＝C 2x n ，
所以n －x ＝2x 或x ＝2x (舍去)，所以n ＝3x . 又由C x ＋1
n ＝113C x －1n ，
得
n ！（x ＋1）！（n －x －1）！＝113·n ！（x －1）！（n －x ＋1）！
，
整理得
3(x －1)！(n －x ＋1)！＝11(x ＋1)！(n －x －1)！， 3(n －x ＋1)(n －x )＝11(x ＋1)x .
将n ＝3x 代入，整理得6(2x ＋1)＝11(x ＋1)． 所以x ＝5，n ＝3x ＝15.
19．(本小题满分12分)设(1－2x )
2 013
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 013x
2 013
(x ∈R)．
(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 013的值； (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 013的值； (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 013|的值． 解：(1)令x ＝1，得
a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 013＝(－1)2 013＝－1.①
(2)令x ＝－1，得
a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2 013＝32 013.②
与①式联立，①－②得 2(a 1＋a 3＋…＋a 2 013)＝－1－3
2 013
， 所以a 1＋a 3＋…＋a 2 013＝－
1＋32 013
2
(3)T r －1＝C r
2 013(－2x )r
＝(－1)r
.C r 2 013(2x )r
， 所以a 2k －1＜0，a 2k ＞0(k ∈N *
)．
所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 013|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 2 013＝3
2 013
(令x ＝－1)．
20．(本小题满分12分)设⎝
⎛⎭⎪
⎪⎫
32＋133n
的展开式的第7项与倒数第7项的比是1∶6，求展
开式中的第7项．
解：T 7＝C 6n (32)n －6
⎝ ⎛
⎭⎪⎪⎫1336，
T n ＋1－6＝T n －5＝C 6n (
32)6⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫133n －6. 由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤C 6n （32）n －6⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1336∶⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤C 6n （32）6
⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133n －6＝1∶6， 化简得6n
3－4＝6－1
，所以n
3
－4＝－1，解得n ＝9.
所以T 7＝C 69(3
2)9－6⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫1336
＝C 3
9×2×19＝563.
21．(本小题满分12分)某校高三年级有6个班级，现要从中选出10人组成高三女子篮
球队参加高中篮球比赛，且规定每班至少要选1人参加．这10个名额有多少不同的分配方法？
解：法一 除每班1个名额以外，其余4个名额也需要分配．这4个名额的分配方案可以分为以下几类：
(1)4个名额全部给某一个班级，有C 1
6种分法； (2)4个名额分给两个班级，每班2个，有C 2
6种分法；
(3)4个名额分给两个班级，其中一个班级1个，一个班级3个．由于分给一班1个，二班3个和一班3个、二班1个是不同的分法，因此是排列问题，共有A 2
6种分法；
(4)分给三个班级，其中一个班级2个，其余两个班级每班1个，共有C 1
6·C 2
5种分法； (5)分给四个班，每班1个，共有C 4
6种分法．
故分配方法共有N ＝C 1
6＋C 2
6＋A 2
6＋C 1
6·C 2
5＋C 4
6＝126(种)．
法二 该问题也可以从另外一个角度去考虑：因为是名额分配问题，名额之间无区别，所以可以把它们视作排成一排的10个相同的球，要把这10个球分开成6段(每段至少有一个球)．这样，每一种分隔办法，对应着一种名额的分配方法．这10个球之间(不含两端)共有9个空位，现在要在这9个位子中放进5块隔板，放法共有N ＝C 5
9＝126(种)．
故共有126种分配方法．
22．(本小题满分12分)设a ＞0，若(1＋a ·x 1
2)n 的展开式中含x 2
项的系数等于含x 项的系数的9倍，且展开式中第3项等于135x ，求a 的值．
解：通项公式为T r ＋1＝C r n
a r x r
2.
若含x 2项，则r ＝4，此时的系数为C 4n ·a 4
； 若含x 项，则r ＝2，此时的系数为C 2n ·a 2
. 根据题意，有C 4n a 4＝9C 2n a 2
， 即C 4n a 2＝9C 2
n .①
又T 3＝135x ，即有C 2n a 2
＝135.② 由①②两式相除，得C 4n C 2n ＝9C 2
n
135
.
结合组合数公式，整理可得3n 2
－23n ＋30＝0，解得n ＝6，或n ＝53(舍去)，
将n ＝6代入②中，得15a 2
＝135， 所以a 2＝9，因为a ＞0，所以a ＝3.。