2008年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)

2008年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
数 学（文科）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．
考生注意事项：
1． 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题
卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致． 2． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3． 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．在试题卷上作答无效． 4． 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：
如果事件A B ，互斥，那么
球的表面积公式 2
4πS R = ()()()P A B P A P B +=+
其中R 表示球的半径
如果事件A B ，相互独立，那么 球的体积公式 34π3
V R =
()()()P A B P A P B =
其中R 表示球的半径
第I 卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）．若A 为全体实数的集合，{}2,1,1,2B =--则下列结论中正确的是（ ）
A ．}{2,1A
B =--
B ． ()(,0)R
C A B =-∞
C ．(0,)A
B =+∞
D ． }{()
2,1R C A B =--
（2）．若(2,4)AB =，(1,3)AC =, 则BC =（ ）
A ．（1，1）
B ．（－1，－1）
C ．（3，7）
D ．（-3,-7）
（3）．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖
B ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖
C ．,,m n m n αα若则‖‖‖
D ．,,m m
αβαβ若则‖‖‖
（4）．0a <是方程ax 2+1=0有一个负数根的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分必要条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件 （5）．在三角形ABC 中，5,3,7AB AC BC ===,则BAC ∠的大小为（ ）
A ．
23
π
B ．
56
π C ．
34
π D ．
3
π （6）．函数2()(1)1(0)f x x x =-+≤的反函数为
A
．1()11)f x x -=≥
B ．
1()11)f x x -=≥
C
．1()12)f x x -=≥ D ．
1()12)f x x -=+≥
（7）．设88018(1),x a a x a x +=++
+则0,18,
,a a a 中奇数的个数为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
（8）．函数sin(2)3
y x π
=+
图像的对称轴方程可能是（ ）
A ．6
x π
=-
B ．12
x π
=-
C ．6
x π
=
D ．12
x π
=
（9）．设函数1
()21(0),f x x x x
=+
-< 则()f x （ ） A ．有最大值
B ．有最小值
C ．是增函数
D ．是减函数
（10）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线2
2
(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范
围为（ ）
A
．( B
．[ C
．(,)33
-
D ．
[33
-
（11） 若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪
≥⎨⎪-≤⎩
表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直
线x y a += 扫过A 中的那部分区域的面积为 ( ) A ．
34
B ．1
C ．
74
D ．2
（12）12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前
排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是 ( )
A ． 26
86C A
B ． 22
83C A
C ．22
86C A
D ．22
85C A
2008年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
数 学（文科）数学
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
考生注意事项： 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．．．．．．．作答，在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．．．．．．． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置． （13）
．函数2()f x =
的定义域为 ．
（14）．已知双曲线
22
112x y n n
-=-
n ＝ （15） 在数列{}n a 在中，5
42
n a n =-
，212n a a a an bn ++=+，*n N ∈,其中,a b 为常
数，
则ab =
（16）已知点,,,A B C D 在同一个球面上,,AB BCD ⊥平面,BC CD ⊥若6,AB =
AC =8AD =,则,B C 两点间的球面距离是
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）．（本小题满分12分）
已知函数()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x π
ππ
=-
+-+
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122
ππ
-
上的值域
（18）．（本小题满分12分）
在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了10张卡片，每张卡片印有一个汉
字的拼音，其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g ”.
（Ⅰ）现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试者从这10张卡片总随机抽取1
张，测试后放回，余下2位的测试，也按同样的方法进行。

求这三位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“g ”的概率。

（Ⅱ）若某位被测试者从10张卡片中一次随机抽取3张，求这三张卡片上，拼音带有
后鼻音“g ”的卡片不少于2张的概率。

（19）．（本小题满分12分
如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的菱形，
4
ABC π
∠=
, OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点。

（Ⅰ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅱ）求点B 到平面OCD 的距离。

（20）．（本小题满分12分） 设函数32
3()(1)1,32
a f x x x a x a =
-+++其中为实数。

（Ⅰ）已知函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；
（Ⅱ）已知不等式'
2
()1f x x x a >--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围。

（21）．（本小题满分12分）
设数列{}n a 满足*11,1,,n n a a a ca c c N +==+-∈其中a , c 为实数，且0c ≠
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式 （Ⅱ）设11
,22
a c =
=，*(1),n n b n a n N =-∈,求数列{}n b 的前n 项和n S ； （Ⅲ）若01n a <<对任意*
n N ∈成立，证明01c <≤
（22）．（本小题满分14分）
设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>其相应于焦点(2,0)F 的准线方程为4x =.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知过点1(2,0)F -倾斜角为θ的直线交椭圆C 于,A B 两点，求证：
AB =
（Ⅲ）过点1(2,0)F -作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于点A , B 和D , E ,求
AB DE + 的最小值
数学（文科）试题参考答案
一. 选择题
1D 2B 3B 4B 5A 6C 7A 8D 9A 10D 11C 12C 二. 13: [3,)+∞ 14: 4 15: －1 16: 43
π 三. 解答题
17解：
（1）
()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x πππ
=-+-+
1cos 22(sin cos )(sin cos )22x x x x x x =
++-+
221cos 22sin cos 22x x x x =
++-
1cos 22cos 22x x x =
- s i n (2)
6
x π
=- 2T 2
π
π==周期∴ （2）
5[,],2[,]122636
x x ππ
πππ
∈-
∴-∈- 因为()sin(2)6
f x x π
=-在区间[,]123ππ-
上单调递增，在区间[,]32
ππ
上单调递减，
所以 当3
x π
=
时，()f x 取得最大值 1
又
1
()()12
22
f f π
π-
=<=，
∴当12
x π
=-
时，()f x 取得最小值
所以 函数 ()f x 在区间[,]122ππ
-
上的值域为[2
-
18 本题主要考查排列、组合知识与等可能事件、互斥事件概率的计算，运用概率知识分析问题和解决实际问题的能力，本小题满分12分。

解：
（1）每次测试中，被测试者从10张卡片中随机抽取1张卡片上，拼音带有后鼻音“g ”
的概率为3
10
，因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的，因而所求的概率为33327
1010101000
⨯⨯=
（2）设(1,2,3)i A i =表示所抽取的三张卡片中，恰有i 张卡片带有后鼻音“g ”的事件，
且其相应的概率为(),i P A 则
127323107()40C C P A C == , 3333
101
()120
C P A C == 因而所求概率为
23237111
()()()4012060
P A A P A P A +=+
=+=
1９ 本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、异面直线所成角即点到平面的距离等知识，考查空间想象能力和思维能力，用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。

本小题满分12分。

解：方法一（综合法）
（1）
CD ‖AB,
MDC ∠∴为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角）
作AP ⊥CD 于点P ，连接MP
⊥⊥平面A BC D ，∵OA ∴CD MP
,4
2
ADP π
∠=
∵∴DP =
MD =∵
1cos ,23
DP MDP MDC MDP MD π
∠=
=∠=∠=∴
所以 AB 与MD 所成角的大小为
3
π
（２）AB 平面∵∴‖OCD,
点B 和点A 到平面OCD 的距离相等， 连接OP,过点A 作AQ OP ⊥ 于点Q ，
,,,AP CD OA CD CD OAP ⊥⊥⊥平面∵∴ ,AQ OAP AQ CD ⊂⊥平面∵∴
又 ,AQ OP AQ OCD ⊥⊥平面∵∴,线段AQ 的长就是点A 到平面OCD 的距离
2
OP ====
∵，
2
AP DP ==
2
2
23OA AP AQ OP ==
=∴，所以点B 到平面OCD 的距离为23 方法二（向量法
)
作AP CD ⊥于点
P,如图,分别以AB,AP,AO 所在直线为
,,x y z 轴建立坐标系
(0,0,0),(1,0,0),((0,0,2),(0,0,1)
A B P
D O M , (1)设AB 与MD 所成的角为θ,
(1,0,0),(1)22
AB MD ==--∵
1c o s ,2
3AB MD
AB MD π
θθ===⋅∴∴ ,
∴AB 与
MD 所成角的大小为
3
π (2) 22(0,,2),(2)222
OP OD =-=--∵ ∴设平面OCD 的法向量为(,,)n
x y z =,则
0,0n OP n
OD ==
即 202022
y
z x y z -=
⎨⎪-+-=⎪⎩
取z =
解得n =
设点B 到平面OCD 的距离为d ,则d 为OB 在向量n 上的投影的绝对值,
(1,0,2)OB =-∵, 2
3
OB n d n
⋅=
=∴.
所以点B 到平面OCD 的距离为
23
20 本题主要考查函数倒数的概念与计算，倒数于函数极值的关系，不等式的性质和综合运用有关知识解决问题的能力。

本小题满分12分。

解:
(1) '2()3(1)f x ax x a =-++，由于函数()f x 在1x =时取得极值，所以 '(1)0f = 即 310,1a a a -++==∴ (2) 方法一
由题设知：223(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立 即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立
设 22()(2)2()g a a x x x a R =+--∈, 则对任意x R ∈，()g a 为单调递增函数
()a R ∈
所以对任意(0,)a ∈+∞，()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥
即 2
20x x --≥，20x -≤≤∴
于是x 的取值范围是}{
|20x x -≤≤
方法二
由题设知：2
2
3(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立 即2
2(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立
于是2222x x a x +>+对任意(0,)a ∈+∞都成立，即22
202x x
x +≤+ 20x -≤≤∴
于是x 的取值范围是}{
|20x x -≤≤
21本题主要考查数列的概念，数列通项公式的求法以及不等式的证明等；考查运算能
力，综合运用知识解决问题的能力。

本小题满分12分。

解 (1) 方法一： 11(1)n n a c a +-=-∵
∴当1a ≠时，{}1n a -是首项为1a -，公比为c 的等比数列。

11(1)n n a a c
--=-∴，即 1
(1)1n n a a c -=-+。

当1a =时，1n a =仍满足上式。

∴数列}{
n a 的通项公式为 1(1)1n n a a c -=-+*()n N ∈。

方法二 由题
设
得
：
当
2
n ≥时，
21121
1(1)(1)(1
n n n n n a c a c a c a a c --
---=-=-==-=- 1(1)1n n a a c -=-+∴
1n =时，1a a =也满足上式。

∴数列}{n a 的通项公式为 1(1)1n n a a c -=-+*()n N ∈。

(2) 由（1）得1
1
(1)()2
n n n b n a c
n -=-=
2121112()()222
n
n n S b b b n =+++=+++
23111111()2()(1)()()22222n n n S n n +=+++-+ 2111111()()()22222
n n n S n +=+++-∴ 21111111
1()()()2(1())()222222
n n n n
n S n n -=++++-=--∴
1
2(2)()2
n n S n =-+∴
(3) 证明：由（1）知1(1)1n n a a c -=-+
若1
0(1)11n a c
-<-+<，则10(1)1n a c -<-<
101,a a <=<∵ 1*1
0()1n c n N a
-<<
∈-∴ 由1
0n c
->对任意*n N ∈成立，知0c >。

下证1c ≤，用反证法
方法一：假设1c >，由函数()x
f x c =的函数图象知，当n 趋于无穷大时，1
n c
-趋
于无穷大
111n a
-<
-∴c 不能对*
n N ∈恒成立，导致矛盾。

1c ≤∴。

01c <≤∴
方法二：假设1c >，1
11n c a -<
-∵，1
1log log 1n c c c a
-<-∴ 即 *1
1log ()1c
n n N a
-<∈- 恒成立 （＊）
,a c ∵为常数，∴ （＊）式对*n N ∈不能恒成立，导致矛盾，1c ≤∴
01c <≤∴
22本题主要考查直线的方程、椭圆的方程和性质、直线与椭圆的位置关系等知识，考试数形结合的数学思想以及运算能力和综合解题能力。

本小题满分14分。

解 ：（1）由题意得：
2222222844c a a c b a b c
=⎧⎪⎧=⎪⎪=⎨⎨=⎪⎩⎪⎪=+⎩∴ ∴椭圆C 的方程为22
184
x y +=
(2)方法一：
由（1）知1(2,0)F -是椭圆C
的左焦点，离心率2e =
设l 为椭圆的左准线。

则:4l x =-
作1111,AA l A BB l B ⊥⊥于于，l 与x 轴交于点H(如图)
∵点A 在椭圆上
11AF =∴
11(cos )2
FH AF θ=+
1cos θ=
1AF =∴ 同理
1BF =
11
AB AF BF
=+==
∴。

方法二：
当
2
π
θ≠时，记tan
kθ
=，则:(2)
AB y k x
=+
将其代入方程22
28
x y
+=
得2222
(12)88(1)0
k x k x k
+++-=
设
1122
(,),(,)
A x y
B x y，则
12
,x x是此二次方程的两个根.
22
1212
22
88(1)
,.
1212
k k
x x x x
k k
-
+=-=
++
∴
2
4] A B x x
=
2
2
)
12
k
k
+
==
+
(1)
22
tan,
kθ
=
∵代入（1）式得
2
2cos
AB
θ
=
-
(2)
当
2
π
θ=
时，AB=仍满足（2）式。

2
2cos
AB
θ
=
-
∴
（3）设直线AB的倾斜角为θ，由于,
DE AB
⊥由（2）可得
2
2cos
AB
θ
=
-
，
2
2sin
DE
θ
=
-
2222
2
22
1
2c o s2s i n2s i n c o s2s i n2
4
A B D E
θθθθθ
+=+==
--++
当
3
44
ππ
θθ
==
或时，AB DE
+
取得最小值
3。