高等数学题库

高等数学题库(总13页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
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（一）函数、极限、连续
一、选择题：
1、
在区间(-1,0)内，由( )所给出的函数是单调上升的。

(A);1+=x y (B)
;2x x y -= (C)34+-=x y (D)25-=x y
2、 当+∞→x 时，函数f (x )=x sin x 是( )
（A ）无穷大量 （B ）无穷小量 （C ）无界函数 （D ）有界函数
3、 当x →1时，31)(,11)(x x x
x
x f -=+-=
ϕ都是无穷小，则f (x )是)(x ϕ的( ) （A ）高阶无穷小 （B ）低阶无穷小 （C ）同阶无穷小 （D ）等阶无穷小 4、
x =0是函数1
()arctan f x x
=的( )
（A ）可去间断点 （B ）跳跃间断点； （C ）振荡间断点 （D ）无穷间断点 5、 下列的正确结论是（ ）
（A ）)(lim x f x
x →若存在，则f (x )有界；
（B ）若在0x 的某邻域内，有()()(),g x f x h x ≤≤且),(lim 0
x g x x →),(lim 0x h x x →都存在，则),(lim 0
x f x x →也
存在；
（C ）若f(x)在闭区间[a , b ]上连续，且f (a ), f (b )<0则方程f (x )=0,在(a , b )内有唯一的实根;
（D ） 当∞→x 时，x
x
x x x a sin )(,1)(==β都是无穷小，但()x α与)(x β却不能比.
二、填空题：
1、
若),1(3-=
x f y Z 且x Z
y ==1
则f (x )的表达式为 ;
2、 已知数列n x n 1014-=的极限是4, 对于,101
1=ε满足n >N 时，总有ε<-4n x 成立的最小N 应是 ; 3、 3214
lim 1
x x ax x b x →---+=+(b 为有限数) , 则a = , b = ; 4、
设
,)(a
x a
x x f --=则x =a 是f (x )的第 类 间断点; 5、 ,0
,
;
0,
)(,sin )(⎩⎨
⎧>+≤-==x n x x n x x g x x f 且f [g (x )]在R 上连续，则n = ； 三、 计算题:
1、计算下列各式极限： （1）x x x x sin 2cos 1lim
0-→； （2）x
x
x x -+→11ln 1lim 0；
（3）)11(lim 22
--
+→x x x （4）x
x x x cos 11
sin
lim
30-→
（5）x x x 2cos 3sin lim 0
→ （6）x
x x
x sin cos ln lim
0→
2、确定常数a , b ，使函数
⎪⎩⎪⎨⎧-<<∞---=<<-+=1,
11,11,arccos )(2
x x x b x x a x f 在x =-1处连续.
四、证明：设f (x )在闭区间[a , b ]上连续，且a <f (x )<b , 证明在(a , b )内至少有一点ξ，使
()f ξξ=.
（二）导数与微分
一、填空题:
1、 设0()f x '存在，则t
t x f t x f t )
()(lim 000+--+→= ;
2、 ,1,
3
21,)(3
2⎪⎩⎪
⎨⎧≤>=x x x x x f 则(1)f '= ; 3、 设x
e
y
2sin =, 则dy = ;
4、 设),0(sin >=x x x y x 则
=dx
dy
; 5、 y =f (x )为方程x sin y + y e 0=x 确定的隐函数, 则(0)f '= .
二、选择题:
1、
)0(),1ln()(2>+=-a a x f x 则(0)f '的值为( )
(A) –ln a (B) ln a (C)a ln 21 (D) 2
1
2、 设曲线2
1x e y -=与直线1x =-相交于点P , 曲线过点P 处的切线方程为( )
(A) 2x -y -2=0 (B) 2x +y +1=0 (C) 2x +y -3=0 (D) 2x -y +3=0 3、
设⎪⎩
⎪⎨⎧>-≤=0
),1(0)(2
x x b x e
x f ax 处处可导，则( )
(A) a =b =1 (B) a =-2, b =-1 (C) a =0, b =1 (D) a =2, b =1 4、
若f (x )在点x 可微,则x
dy
y x ∆-∆→∆0lim
的值为( )
(A) 1 (B) 0 (C) -1 (D) 不确定
5、设y =f (sin x ), f (x )为可导函数，则dy 的表达式为( )
(A)
(sin )f x dx ' (B)(cos )f x dx '
(C)(sin )cos f x x ' (D)(sin )cos f x xdx '
三、计算题：
1、
设对一切实数x 有f (1+x )=2f (x ),且(0)0f '=,求(1)f '
2、
若g(x)=⎪⎩
⎪⎨⎧=≠0,00,1cos 2
x x x x 又f (x )在x =0处可导，求
))((=x x g f dx d
3、 求曲线⎩⎨⎧=++=-+0
10)1(y te t t x y 在t =0处的切线方程
4、 f (x )在x =a 处连续,),()sin()(x f a x x -=ϕ求)('a ϕ
5、 设32
2
2
()x y y u x x =+⋅=+, 求.du
dy 6、 设()ln f x x x =, 求()
()n f x .
7、
计算.
（三）中值定理与导数的应用
一、填空题：
1、 函数f (x )=arctan x 在[0 ,1]上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ= ;
2、 若01
lim sin 22
ax x e b x →-=则a = , b = ; 3、 设f (x )有连续导数，且(0)(0)1f f '==则)
(ln )
0()(sin lim
x f f x f x -→= ;
4、 x e y x
sin =的极大值为 ，极小值为 ; 5、 )10(11≤≤+-=x x
x
arctg
y 的最大值为 ，最小值为 . 二、选择题：
1、 如果a,b 是方程f(x)=0的两个根，函数f(x)在[a,b]上满足罗尔定理条件，那么方程f’(x)=0在(a,b)内（ ）
（A ）仅有一个根； （B ）至少有一个根； （C ）没有根； （D ）以上结论都不对。

2、
函数x x f sin )(=在区间[-
]2
,2π
π上（ ） （A ）满足罗尔定理的条件，且 ;0=ξ （B ）满足罗尔定理的条件，但无法求;ξ
（C ）不满足罗尔定理的条件，但有ξ能满足该定理的结论； （D ）不满足罗尔定理的条件 3、 如果一个连续函数在闭区间上既有极大值，又有极小值，则（ ）
（A ）极大值一定是最大值； （B ）极小值一定是最小值；
（C ）极大值一定比极小值大； （D ）极在值不一定是最大值，极小值不一定是最小值。

4、 设f (x )在(a , b )内可导，则()0f x '<是f (x )在(a , b )内为减函数的（ ）
（A ）充分条件； （B ）必要条件； （C ）充要条件； （D ）既非充分又非必要条件。

5、 若f (x )在(a , b )上两次可导，且（ ）, 则f (x )在(a , b )内单调增加且是上凹的。

（A ）0)(",0)('>>x f x f ； （B ）;0)(",0)('<>x f x f ； （C ）0)(",0)('><x f x f ； （D ）0)(",0)('><x f x f
三、计算题：
1、求:22011
(1)lim()sin x x x
→- tan 0(2)lim x x x +
→ 2、求过曲线y =x e x -上的极大值点和拐点的连线的中点，并垂直于直线x =0的直线方程.
四、应用题：
1、 通过研究一组学生的学习行为，心理学家发现接受能力（即学生掌握一个概念的能力）依
赖于在概念引人之前老师提出和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，分析结果表明，学生掌握概念的能力由下式给出：2
()0.1 2.643G x x x =-++,其中G （x ）是接受能力的一种度量，x 是提出概念所用的时间（单位：min ） （a ）、x 是何值时，学生接受能力增强或降低？
（b ）、第10分钟时，学生的兴趣是增长还是注意力下降？ （c ）、最难的概念应该在何时讲授？
（d ）、一个概念需要55的接受能力，它适于对这组学生讲授吗？
五、证明题：
证明不等式2
2arctan ln(1)x x x
≥+
（四）不定积分
一、选择题：
1、
设
)(x f 可微，则()f x =（ ）
（A ）⎰))(x df （B ）⎰))((dx x f d （C ）⎰)')((dx x f （D ）⎰dx x f )(' 2、 若F （x ）是)(x f 的一个原函数，则c F （x ）（ ）)(x f 的原函数 （A ）是 （B ）不是 （C ）不一定是 3、
若
⎰+=,)()(c x F dx x f 则⎰=+dx b ax f )(（ ）
（A ）c b ax aF ++)( （B ）c b ax F a
++)(1
（C ）c x F a
+)(1
（D ）c x aF +)( 4、 设)(x f 在[a ，b ]上连续，则在（a ，b ）内)(x f 必有（ ）
（A ） 导函数 （B ） 原函数 （C ） 极值 （D ） 最大值或最大值 5、 下列函数对中是同一函数的原函数的有（ ） 6、
在积分曲线族⎰
=xdx y 3sin 中，过点)1,6
(
π
的曲线方程是（ ）
7、下列积分能用初等函数表出的是（
）
（A ）2x e dx -⎰； （B
） （C ）ln dx x ⎰； （D ）ln x dx x ⎰. 8、已知一个函数的导数为2y x =，且x =1时y =2,这个函数是（ ）
（A ）2;y x C =+ （B ）2
1;y x =+ （C ）2
;2
x y C =+ （D ） 1.y x =+ 9、2ln x dx x
=⎰（
）
（A ）11ln x C x x ++; （B ）11ln x C x x
++; （C ）11
ln x C x x -+； （D ）11ln x C x x --+.
10、10(41)dx
x =+⎰（ ）
（A ）9119(41)C x ++； （B ）91136(41)C x ++； （C ）9
1136(41)C x -++； （D ）11
11
36(41)
C x -
++. 二、计算题:
1、⎰++dx x x )1ln(2
2、1tan 1tan x
dx x
-+⎰ 3、⎰dx x xf )(" 3、 ⎰+++)3)(2)(1(x x x dx 5、x dx ⎰ 6、⎰+)
1(x x dx 7、2
arccos x xdx ⎰
三、求
⎰
,)(dx x f 其中⎪⎩
⎪
⎨⎧+∞
<<≤≤+<<∞-=x x x x x x f 12101
0,
1)(
（五）定积分及其应用
一、填空题：
1、 设)(x f 是连续函数，dt t xf x F x
)()(0⎰=，则F '(x )= ;
2、 设)(x f 是连续函数，则⎰-=---+π
π
dx x f x f x f x f )]()()][()([ ；
3、
111
lim(
)12
n n n n n
→∞
+++
=+++ ； 4、设)(x f 是连续函数，f (0)= -1,则=⎰→3
sin 0
)(lim x
dt t f x
x
x ；
5、函数)(x f =x
e 在区间[a ，b ]上的平均值为 )(b a <.
二、单项选择题：
1、
设
⎰
<b
a
b a dx x f )(,)(存在，则)(x f 在[a ，b ]上( )
(A)可导 (B)连续 (C)具有最大值和最小值 (D)有界 2、
设)(x f 是以T 为周期的连续函数，则⎰+∞→=nt
a a
n dx x f n
)(1lim ( ) （A ）T a f ⋅)( （B ）dx x f T
)(0
⎰
（C ）⎰a
dx x f 0
)( （D ）()f a
3、
设⎰⎰⎰++=
dx x f dx x f dx
d dx x f dx d I )(')()(4
3存在，则I =( ) (A) ()f x (B) 2()f x (C) 2()f x C + (D) 0 4、
)()
(b a a x dx
p
b
a
<-⎰
,在( )
（A ）P<1 时收敛,P ≥1时发散 （B ）P ≤1 时收敛,P ≥1时发散 （C ）P>1 时收敛,P ≤1时发散 （D ）P ≥1 时收敛,P <1时发散 5、 曲线)0(ln ,ln ,,ln b a b y a y y x y <<===及y 轴所围的图形面积为( ) (A)
⎰
b
a
xdx ln ln ln (B)
dx e x
e e b
a
⎰
(C)dx e y
b
a
⎰ln ln (D)xdx a
b e e ln ⎰
三、计算下列定积分:
1
、25
1
⎰
2、
dx e x
x
--
+⎰1sin 244
π
π
3、
⎰
++1
2)1ln(dx x x 4、⎰-+a x
a x dx
2
2
四、求下列极限:
1
、sin 0tan 00
lim x x +
→⎰⎰
2、dt t
t
dt t x
t
x
x sin )1(lim
1
sin 0
⎰
⎰+→
五、设可导函数y =y （x ）由方程⎰⎰=+-y
x
t x tdt dt e 0022
1sin 2
所决定，试讨论函数y =y （x ）的极值.
六、已知抛物线)0,4(,)4(22>≠+-=a p a y p x ，求p 和a 的值，使得： （1）抛物线与y=x+1相切；
（2）抛物线与0x 轴围成的图形绕0x 轴旋转有最大的体积.
（六）向量代数 空间解析几何
一、填空题：
1、向量{}
1,2,1a =与x ，y ，z 轴的夹角分别为,,αβγ，则α= ，β= ，
γ= 。

2、设{}{}1,2,1,1,1,0a b =-=-，则a b ⋅= ，a b ⨯= ，
cos θ= ，sin θ= 。

3、以点(1,3,2)-为球心，且通过坐标原点的球面方程为 。

4、平面通过点（5，-7，4）且在x ，y ，z 三轴上截距相等，则平面方程为 。

5、把曲线25,0z x y ==绕x 轴旋转一周，则旋转曲面的方程为 。

二、选择题：
1、平面11110A x B y C z D +++=与22220A x B y C z D +++=互相平行，则（ ）。

（A ）充要条件是1212120A A B B C C ++= （B ）充要条件是111222
A B C
A B C ==
（C ）必要而不充分条件是111222
A B C
A B C ==
（D ）必要而不充分条件是1212120A A B B C C ++= 2、设a 与b 为非零向量，则a b o ⨯=是（ ）
（A ）a ∥b 的充要条件； （B ）a ⊥b 的充要条件；
（C ）a =b 的充要条件； （D ）a ∥b 的必要但不充分的条件；
3、设直线021
x y z
==-，则该直线为（ ）。

（A ）过原点且垂直于x 轴 （B ）过原点且平行于x 轴 （C ）不过原点但垂直于x 轴 （D ）不过原点但平行于x 轴
4、直线223
314
x y z -+-==
-和平面3x y z ++=的关系是（ ）。

（A ）直线与平面垂直； （B ）直线与平面平行，但直线不在平面上； （C ）直线在平面上； （D ）直线与平面相交，但不垂直。

5、平面4220x y z +--=在,,x y z 轴的截距分别为,,a b c ，则（ ）。

（A ）1
2,,12a b c ===- （B ）4,1,2a b c ===-
（C ）1,2,12a b c ===- （D ）1
,2,12a b c =-=-=
6、方程2224936
1x y z y ⎧++=⎪⎨=⎪⎩表示（ ）
（A ）椭球面； （B ）椭圆柱面；
（C ）椭圆柱面在平面y=0上的投影曲线； （D ）y=1平面上椭圆。

7、方程22216464x y z +-=表示（ ）
（A ）锥面； （B ）单叶双曲面； （C ）双叶双曲面； （D ）椭圆抛物面。

三、计算题：
1、将直线方程0
20
x z x y +=⎧⎨+=⎩ 化成对称式方程。

2、求两平行平面1948210x y z -++=及1948420x y z -++=之间的距离。

3、设一直线通过点M （4，3，3），且垂直于由三点A 1（6，0，1），A 2（2，1，5），A 3
（5，3，5）所确定的平面，求该直线方程。

4、求过点(0,1,0)A -和(0,0,1)B 且与平面成3
π
角的平面方程。

四、应用题：
设有一质点开始时位于点P （1，2，-1）处，今有一方向角分别为60°,60°,45°,而大小为100克的力F 作用于此质点，求当此质点自点P 作直线运动至点M （2，5，-1+32）时，力F 所作的功（长度单位为厘米）。

（七）多元函数微分学
一、填空题：
1、设22(,)2
y
f x y x y +=-，则f （x ，y ）= .
2、设x
z y =，则2z x y ∂∂∂2
1==y x = .
3、由方程334z xyz -=-所确定的函数(,)z z x y =在点（1，2，2）处的全微
分dz = .
4、曲面sin cos z x y =在点1
(,,)442
ππ处的切平面方程是 .
5、设
u =，则该函数的定义域为 .
二、选择题：
1.当0,0x y →→，时，函数
423xy
x y +的极限（ ）
（A ）等于0； （B ）等于31； （C ）等于4
1
； （D ）不存在
2.函数z = f （x ，y ）的偏导数z
x
∂∂，z y ∂∂在点（x 0，y 0）连续是函数 z = f （x ，y ）在
点（x 0，y 0）可微分的（ ）
（A ）充分条件但非必要条件； （B ）必要条件但非充分条件； （C ）充分必要条件； （D ）既非充分条件也非必要条件；
3.设z = f （u ，v ），而,u x y v xy =+=，其中f 具有一阶连续偏导数，则z
x
∂∂等于（ ）
（A ）f f u v ∂∂+∂∂； （B ）f f x u v ∂∂+∂∂； （C ）f f y u v ∂∂+∂∂； （D ）f f y u v
∂∂+
∂∂； 4.在曲线23,,x t y t z t ===的所有切线中，与平面6121x y z ++=平行的切线（ ）
（A ）只有1条； （B ）只有2条； （C ）至少有3条； （D ）不存在
5.设函数f （x ，y ）在点（0，0）的某个邻域内连续，且lim 00→→y x 22
(,)2
1cos()
f x y x y --+=2 则在点（0，0）处f （x ，y ）（ ）
（A ）不可微分； （B ）可微分，且0)0,0(f ,0)0,0(f y x ≠≠；
（C ）取得极大值； （D ）取得极小值.
三、计算题：
1、设sin
cos x y z y x =，求,z z x y
∂∂∂∂ 2、设arctan x z y =，求22222
,,
z z z
x y x y ∂∂∂∂∂∂∂ 3、设(,,)u f x xy xyz =,求,,u u u
x y z
∂∂∂∂∂∂
4、设(,)z z x y =由方程222cos cos cos 1x y z ++=所确定，求dz
5、设3
3
3z xyz a -=，求2z
x y
∂∂∂
6、求函数22(,)4()f x y x y x y =---的极值.
四、求曲面22230x y z xy ++--=上同时垂直平面0z =与10x y ++=的切平面方程
五、在旋转椭球面2
22196
x y z ++=上求距平面3412288x y z ++=为最近和最远的点.
习题答案
（一）函数、极限、连续 答案
一、1、（D ） 2、（C ） 3、（C ） 4、（B ） 5、（D ） 二、1、3(1)x + 2、N=10 3、4，10 4、一，跳跃 5、k π
三、1、（1）2sin sin 2lim sin 2cos 1lim 200==-→→x
x x
x x x x x
（2）1)121ln(lim 11ln
1lim 11
2100=-+=-+-•-→→x
x x x x x
x x x x （3）⎩⎨⎧-=-++=--+∞
→∞
→1
1
112lim
)11(lim 2222x x x
x x x x （不存在）
（4）02
sin
21
sin
lim 11sin
lim
23030==-→→x x x cox x x x x （5）0cos sin lim 230=→x x x （6）212sin
2lim 1cos lim sin cos ln lim 2
0200-=-=-=→→→x x x x x x x x x x 2、解：f （-1-0）=0 f （-1）=b f （-1+0）=a+π π+==∴a b 0
⎩
⎨⎧=-=∴0b a π使f （x ）在x=-1连续
四、证明：令F （x ）=f （x ）-x 显然F （x ）在[a ，b]上连续 F （a ）=f （a ）-a 〉0 F （b ）=f （b ）-b 〈 0 ∴在（a ，b ）内至少有一点ξ使F （ξ）=0 即：使f （ξ）=ξ （二）导数与微分 答案
一、1、)('20x f - 2、不存在 3、
dx e x
x x
2sin 2sin 2cos 4、)ln 1(sin x ctgx x x x ++ 5、0 二、1、（A ） 2、（D ） 3、（C ） 4、（B ） 5、（D ）
三、解：1、20)0('2)
0(2)(2lim )1()1(lim )1('00==∆-∆=∆-∆+=→∆→∆f x
f x f x f x f f x x
2、00
1
cos lim )0('20=∆-∆∆=→∆x
x x g x 而
()())(')(')(x g x f f x g f dx d = 3、解：对等式)1(t t x -+两边关于t 求导 120)1(-=⇒=--+t dt
dx
t t dt dx
对等式01=++y te y
两边关于t 求导 1
0''+-=⇒=++y y y y te e dt dy y y te e ∴ (21)(1)y
y
dy dy dx e dt dt
t te dx ==--+ 当t=0时，得x=0，y=-1 ∴ 曲线在t=0处的切线方程的斜率为 1
-===e dx dy k t ，∴切线方程1111-=⇒=+x e
y x e y 4、)()
()sin(lim )()(lim
)('a f a
x x f a x a x a x a a x a x =--=--=→→ϕϕϕ
5、1
2232 1 ()(21)2dx du y x x x dy dx =+=++ )
12)(12()(32
2
12+++==y x x x dx
du
dx
dy du dy
6、ln 1,y x '=+1,y x ''=21
,y x
'''=-…()21,(1)(2)!n n n y n x --=--
7
、设0()9,0.02f x x x ==∆=,
1
21390.02 3.0032
-=+⋅⋅=
（三）导数的应用 答案
一、（1）14
-π （2）1，1； （3）1； （4
）32244
,,22k k e k z π
πππ++-∈ （5）0,4
π 二、B ；D ；D ；A ；A
三、解：1. (1)、原式=422022220sin lim sin sin lim x
x
x x x x x x x -=→→ (2)、原式=2
001lim ln lim csc 1x x x tgx x
x
e
e +
+→→-== 2. (1)x y x e -'=-，驻点1x =，(2)x y x e -''=-，令0y ''=，得2x =， 因为1,0,1,0x y x y ''<>><，所以1(1,)e -为极大值点 2,0,2,0x y x y ''''<<>>，所以2(2,)e -为拐点
所以极大值点与拐点的中点坐标为123(,)22e e --+，所求直线为：12
2
e e y --+=
四、1、解 ：() '()0.2 2.6'()0,13,a G x x G x x =-+==令则
G （x ）单调下降：所以当提出概念所用的时间小于13分钟时，接受能力增强；当提出概念所用的时间大于13分钟时，接受能力降低
（b ）() 10[0,13],()b x G x =∈单调上升，学生的兴趣在增长。

() ()13c G x x =在时取极大值，所以最难的概念应该在提出问题后的第13分钟时讲授。

（d ） 因为G （13）=59.9，这个概念需要55的接受能力，小于最大接受能力，所以可以对这组学生讲授该概念。

2、解 ：设AM 与MB 的公路总长为y
，则y =03x <<
所以y '=，令0y '=，得：1,3x x ==-（舍去） 只有唯一的驻点1x =，所以在1x =处取得最小值
五、证：1、令arctgx x f x xarctgx x f 2)('),1ln(2)(2=+-=则
当x>0时，0)0(,0)('=>f x f ，有0)(>x f ，当x<0时，0)0(,0)('=<f x f ，有0)(>x f 故)1ln(2,0)(.2x xarctgx x f x +≥≥∀即 （四）不定积分 答案
一、1、（C ） 2、（B ） 3、（C ） 4、（B ） 5、（A ） 6、（A ） 7、（D ） 8、（B ） 9、（D ） 10、（C ）
二、1、原式
=ln(ln(x x x x C -=+- 2、原式=(cos sin )
ln cos sin cos sin d x x x x C x x
+=+++⎰
3、原式='()'()'()'()()xdf x xf x f x dx xf x f x C =-=-+⎰⎰
4、原式
=
111
(ln
2(1)22(3)
dx C x x x
-+=
+++
⎰
5、原式=
2
2
,0
2
2
,0.
2
x
c x
x x
C x
c x
⎧
+≥
⎪⎪
=+⎨
⎪-+<
⎪⎩
6、原式
==
=dx
=2C
=+
7、原式
=
3
322
11
arccos(1)
39
x x x C
+-
三、原式=
2
2
01
2
1
1
2
x C x
x
x C x
x C x
⎧
+-∞<<
⎪
⎪
⎪
++≤≤
⎨
⎪
⎪
++<<+∞
⎪⎩
（五）定积分及其应用答案
一、（1）dt
t
f
x
xf x)(
)
(
0⎰
+（2）0；（3）ln2 （4）
6
1
（5）
b
a
e
e b
a
-
-
二、1、D，2、B，3、C，4、A，5、C。

三、解：1、原式=
15
544
)1
(
4
12
2
2
=
+
-
=⎰dt
t
t
x
u
2、原式=dx
e
x
dx
e
x
x
x-
-+
+
+
⎰
⎰
1
sin
1
sin2
4
4
2π
π
3、原式=1
2
)2
1
ln(
1
1
ln(
2
'
1
2+
-
+
=
+
-
+
+⎰dx
x
x
x
x
4、原式=
4
cos
sin
cos
sin2
π
π
=
+
=⎰t
t
tdx
t
a
x
四、解：1、原式=1
sec
)
sin(
cos
)
(sin
lim
2
=
→x
tgx
x
x
tg
x
2、222
00
2
sin sin sin
n n n
xdx xdx xdx
πππ
ε
π
ε
-
-
=+
⎰⎰⎰，
而ζ
ε
π
ε
π
n
n xdx sin
)
2
(
sin
02
-
=
<⎰-ζ
π
n
sin
2
<
又0
sin
lim
,1
sin
0=
∴
<
<
∞
→
ζ
ζn
b
，由夹挤定理知0
sin
lim2
=
⎰
∞
→
xdx
n
n
π
，此外,
sin
02
2
ε
π
ε
π
<
<⎰
-
xdx
n
由ε的任意性知0
sin
lim2
=
⎰
∞
→
xdx
n
n
π
五、两边求导得,
sin
'2x
x
e
y y=
+
-即,
)
sin
(
'2y e
x
x
y-
=令y'=0，得x=0，且由于x<0时,y'<0; 0
'
,
0>
>y
x时知x=0是y=y(x)的极小点,
代入方程得:⎰
=-)
0(0
20y t dt e ；注意:,0)0(,02=∴>-y e t 即y=y(x)的极小值为0
六、解：对22)4(a y p x +-=两边关于x 求导得42'-=
p x y ，由题设切点处有：
14
2=-p x
， 得24-=p x 切点，2
2-=p y 切点，代入抛物线方程可得422
p p a -=，另一方面，旋转体体积为：
2
5
022)4(1516)40(2-⋅
=--=⎰p a dx p x V a ππ 令
0=dp dv ，得,310=p 从而,35=a 这时，3
10
<p 时，0>dp dv ， 而310>p 时， 0<dp dv ,故3
10
=p ，V 取极大值，也是最大值。

（六）空间解析几何 答案
一、1、3
π
,4π,3π 2、1，{}633,63,3,1,1 3、14)2z ()3y ()1x (222=++-+-
4、2x y z ++=
5、x 5y z 22=+
二、1、B 2、A 3、A 4、C 5、C 6、D 7、B
三、1、解：令0x =，得到直线l 上一点(0,0,0)O ，设12{1,0,1},{2,1,0}n n ==
l 的方向向量为 121012210i j k
n n i j k ⨯==-++
故l 的对称式方程为
121
x y z ==- 2、解：在021z 8y 4x 19=++-上取一点)8
21
,0,0(-；则两平行平面间的距离为 3、解：所求直线方向向量S 同时垂直于12A A 及13A A ∴{}{}{}12134,1,43,3,416,12,13S A A A A =⨯=--⨯-=-- ∴直线的对称式方程为
13
3
z 123y 164x --=
-=-- 4、解：设所求平面方程为：0Ax By Cz D +++=；分别将A ，B 的坐标代入此方程： 000A B C
D B D ⨯-
+⨯+=⇒=；000A B C D C D ⨯+⨯++=⇒=-
故平面方程为：0Ax Dy Dz D +-+=
1
2A =⇒=
所以平面方程为： 20Dx Dy Dz D ±
+-+=10y z ⇒+-+=
四、解：∵{}{
cos60cos60cos 45100F i J k =++=
{S PM == ∴500W F S =⋅=克厘米
（七）多元函数微分学 答案
一、1、24x xy -； 2、2ln 1+； 3 、2dz dx dy =+；
4、210x y z --+=；
5、{}22222(,,)|,0x y z x y z x y +≥+≠ 二、1、D 2、A 3、C 4、A 5、D
三、解1、
21cos cos sin sin z x y y x y x y y x x y x ∂=+∂ 21cos cos sin sin z
x x y x y y y x x y x y
∂=--∂
2、222222()z xy x x y ∂=-∂+ 222222()z x y x y x y ∂-=∂∂+ 22222
2()z xy
y x y ∂=∂+ 3、123u f yf yzf x ∂'''=++∂ 23u xf xzf y ∂''=+∂ 3u xyf z
∂'=∂ 4、sin 2sin 2,,sin 2sin 2z x z y x z y z ∂∂=-=-∂∂1
(sin 2sin 2)sin 2dz xdx ydy z =-+
5、2422223
(2)
()z z z xyz x y x y z xy ∂--=∂∂- 6、420 420f
x x
f y y
∂⎧=-=⎪∂⎪⇒⎨∂⎪=-=∂⎪⎩驻点(2,2)- 而222222,0,2f f f x y x y ∂∂∂=-==-∂∂∂∂
在(2,2)-处，20(2)(2)40,20B AC A -=---=-<=-<
∴
(,)f x y 在(2,2)-处取得极大值为：(2,2)8f -=
四、切平面法向为 {}{}{}0,0,11,,1,01,1,0n =⨯=- 设切点为000(,,)x y z ，则{}000002,2,2x y y x z --平行于n
于是存在t ，使得02,2,
200000==--=-z t x y t y x 即0005
,,033
t x y z =-==，代入曲面方程得3,t =±故切面方程为
(1)(1)0x y -++-=及(1)(1)0x y --++=；即x -y +2=0及x -y -2=0。

五、设（x ，y ，z
）为椭球面上一点，d =
； 其中2
22196
x y z ++=
作辅助函数 22
221(,,)(3412288)(1)16996
x F x y z x y z y z λ=++-+++-
令6(3412288)0169488(3412288)2016924
(3412288)20169
F x
x y z x F x y z y y F x y z z z λλλ⎧∂=++-+=⎪∂⎪
∂⎪=++-+=⎨
∂⎪⎪∂=++-+=⎪
∂⎩ 得x z x y 241,721==，代入曲面方程得13
9,,88
x y z =±=±=±.
由于1313(9,,)(9,,)88
8
8
d d ---<，
∴椭球面上距已知平面最近点为)83,81,9(，最远点为)8
3
,81,9(---。