北师大版2019高中数学必修5：第二章_解三角形2.2三角形中的几何计算习题精选_含答案

§2三角形中的几何计算
课后篇巩固探究
1.在△ABC中,若A=105°,B=30°,BC=,则角B的平分线的长是()
A. B.2 C.1 D.
解析:设角B的平分线与AC交于点D,则在△BCD中,∠BDC=120°,∠BCD=45°,BC=,由正弦定
理可知BD=1.
答案:C
2.在△ABC中,若AC=,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于()
A. B.
C. D.
解析:如图,在△ABC中,由余弦定理可知,AC2=AB2+BC2-2AB·BC cos B,
即7=AB2+4-2×2×AB×.
整理得AB2-2AB-3=0.
解得AB=3或AB=-1(舍去).
故BC边上的高AD=AB·sin B=3×sin 60°=.
答案:B
3.若△ABC的周长等于20,面积是 10,A=60°,则BC边的长是()
A.5
B.6
C.7
D.8
解析:在△ABC中,分别用a,b,c表示边BC,CA,AB.依题意及面积公式S=bc sin A,得10bc×sin 60°,即bc=40.
又周长为20,所以a+b+c=20,b+c=20-a.
由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc cos A=b2+c2-2bc cos 60°=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,
所以a2=(20-a)2-120,解得a=7.
答案:C
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足c sin A=a cos C.当sin A-cos
取最大值时,A的大小为()
A. B.
C. D.
解析:由正弦定理得sin C sin A=sin A cos C.
因为0<A<π,所以sin A>0,
从而sin C=cos C.
又cos C≠0,所以tan C=1,则C=,
所以B=-A.
于是sin A-cos sin A-cos(π-A)
=sin A+cos A=2sin.
因为0<A<,所以<A+,所以当A+,
即A=时,2sin取最大值2.
答案:A
5.导学号33194042在△ABC中,若C=60°,c=2,周长为2(1+),则A 为()
A.30°
B.45°
C.45°或75°
D.60°
解析:根据正弦定理,得2R=
=
=,所以sin A+sin B+sin 60°=,所以sin A+sin B=,即sin
A+sin(A+C)=⇒sin(A+60°)+sin A=sin(A+30°)=⇒sin(A+30°)=,所以A+30°=75°或A+30°=105°,
所以A=45°或A=75°.
答案:C
6.已知三角形的一边长为7,这条边所对的角为60°,另两边之比为3∶2,则这个三角形的面积是.
解析:设另两边分别为3x,2x,则
cos 60°=,解得x=,
故两边长为3和2,
所以S=×3×2×sin 60°=.
答案:
7.已知在△ABC中,AC=2,AB=3,∠BAC=60°,AD是△ABC的角平分线,则AD=.
解析:如图,S△ABC=S△ABD+S△ACD,
所以×3×2sin 60°=×3AD sin 30°+×2AD×sin 30°,所以AD=.
答案:
8.在△ABC中,若AB=a,AC=b,△BCD为等边三角形,则当四边形ABDC的面积最大时,∠BAC=.
解析:设∠BAC=θ,则BC2=a2+b2-2ab cos θ.S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=ab sin
θ+BC2=(a2+b2)+ab·sin(θ-60°),即当∠BAC=θ=150°时,S四边形ABDC取得最大值.
答案:150°
9.已知△ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC的面积为.
解析:设三角形的三边依次为a-4,a,a+4,可得a+4的边所对的角为120°.
由余弦定理得(a+4)2=a2+(a-4)2-2a(a-4)·cos 120°,则a=10,所以三边长为6,10,14, S△ABC=×6×10×sin 120°=15.
答案:15
10.已知△ABC的重心为G,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2a+3c=0,则sin A∶sin B∶sin C=.
解析:因为G是△ABC的重心,所以=0,又2a+3c=0,所以
2a-3c()=0,即(2a-3c)+(b-3c)=0,则所以a∶b∶
c=3∶2∶2,由正弦定理,得sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶2.
答案:3∶2∶2
11.导学号33194043(2017全国2高考)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2.
(1)求cos B;
(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.
解(1)由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin2,
故sin B=4(1-cos B).
上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,
解得cos B=1(舍去),cos B=.
(2)由cos B=得sin B=,
故S△ABC=ac sin B=ac.
又S△ABC=2,则ac=.
由余弦定理及a+c=6得
b2=a2+c2-2ac cos B
=(a+c)2-2ac(1+cos B)
=36-2×
=4.
所以b=2.
12.导学号33194044(2017全国3高考)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.
(1)求c;
(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.
解(1)由已知可得tan A=-,所以A=.
在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4c cos,
即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4.
(2)由题设可得∠CAD=,
所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=.故△ABD面积与△ACD面积的比值为=1.
又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC=2,所以△ABD的面积为.。