厦门市高一(上)期末数学试卷

福建省厦门市高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4}，B={1，2}，则（∁U A）∩B等于（）A．{1，2}B．[1，3}C．{1，2，5}D．{1，2，3}
2．（5分）下列函数中，是奇函数且在（0，+∞）上单调递减的是（）
A．y=x﹣1B．y=（）x C．y=x3 D．
3．（5分）用系统抽样方法从编号为1，2，3，…，700的学生中抽样50人，若第2段中编号为20的学生被抽中，则第5段中被抽中的学生编号为（）
A．48 B．62 C．76 D．90
4．（5分）如图所示为某城市去年风向频率图，图中A点表示该城市去年有的天数吹北风，点表示该城B市去年有10%的天数吹东南风，下面叙述不正确的是（）
A．去年吹西北风和吹东风的频率接近
B．去年几乎不吹西风
C．去年吹东风的天数超过100天
D．去年吹西南风的频率为15%左右
5．（5分）已知函数f（x）=|lnx﹣|，若a≠b，f（a）=f（b），则ab等于（）
A．1 B．e﹣1C．e D．e2
6．（5分）保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的频率是（）
A．B．C．D．
7．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执
行该程序框图，若输入的a，b分别为98，63，则输出的a为（）
A．0 B．7 C．14 D．28
8．（5分）已知函数y=a x（a＞0且a≠1）是减函数，则下列函数图象正确的是（）
A．B．C．D．
9．（5分）已知f（x）=ln（1﹣）+1，则f（﹣7）+f（﹣5 ）+f（﹣3）+f（﹣1）+f（3 ）+f （5）+f（7 ）+f（9）=（）
A．0 B．4 C．8 D．16
10．（5分）矩形ABCD中，AB=2，AD=1，在矩形ABCD的边CD上随机取一点E，记“△AEB的最大边是AB”为事件M，则P（M）等于（）
A．2﹣B．﹣1 C．D．
11．（5分）元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》一书，是中国古代数学的重要著作之一，共分卷首、上卷、中卷、下卷四卷，下卷中《果垛叠藏》第一问是：“今有三角垛果子一所，值钱一贯三百二十文，只云从上一个值钱二文，次下层层每个累贯一文，问底子每面几何？”据此，绘制如图所示程序框图，求得底面每边的果子数n为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
12．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣1|，若方程f（x）=
有4个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣，1）B．（，1）C．（，1）D．（﹣1，）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）某学习小组6名同学的英语口试成绩如茎叶图所示，则这些成绩的中位数为．
14．（5分）空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数．AQI 数值越小，说明空气质量越好．某地区1月份平均AQI（y）与年份（x）具有线性相关关系．下列最近3年的数据：
根据数据求得y关于x的线性回归方程为=﹣14x+a，则可预测2017年1月份该地区的平均AQI为．
15．（5分）已知f（x）=x3+（a﹣1）x2是奇函数，则不等式f（ax）＞f（a﹣x）的解集是．16．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）已知集合A={x|x＜﹣2或x＞0}，B={x|（）x≥3}
（Ⅰ）求A∪B
（Ⅱ）若集合C={x|a＜x≤a+1}，且A∩C=C，求a的取值范围．
18．（12分）已知函数f（x）=，（x＞0且a≠1）的图象经过点（﹣2，3）．
（Ⅰ）求a的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象；
（Ⅱ）若f（x）在区间（m，m+1）上是单调函数，求m的取值范围．
19．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参加抽奖，抽奖有两种方案可供选择．
方案一：从装有4个红球和2个白球的不透明箱中，随机摸出2个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖；
方案二：掷2颗骰子，如果出现的点数至少有一个为4则中奖，否则不中奖．（注：骰子（或球）的大小、形状、质地均相同）
（Ⅰ）有顾客认为，在方案一种，箱子中的红球个数比白球个数多，
所以中奖的概率大于．你认为正确吗？请说明理由；
（Ⅱ）如果是你参加抽奖，你会选择哪种方案？请说明理由．
20．（12分）下面给出了2010年亚洲一些国家的国民平均寿命（单位：岁）
21．（12分）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲覆盖面积为24m2，三月底测得覆盖面积为36m2，凤眼莲覆盖面积y
（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y=ka x（k＞0，a＞1）与y=px+q （p＞0）可供选择．
（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
（Ⅱ）求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份．
（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）
22．（12分）已知函数f（x）=x2+ax（a＞0）在[﹣1，2]上的最大值为8，函数g（x）是h（x）=e x的反函数．
（1）求函数g（f（x））的单调区间；
（2）求证：函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有一个零点x0，且g（x0）＜x02h（x0）﹣1（参考数据：e=2.71828…，ln2≈0.693）．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4}，B={1，2}，则（∁U A）∩B等于（）A．{1，2}B．[1，3}C．{1，2，5}D．{1，2，3}
【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，
集合A={3，4}，B={1，2}，
则∁U A={1，2，5}，
∴（∁U A）∩B={1，2}．
故选：A．
2．（5分）下列函数中，是奇函数且在（0，+∞）上单调递减的是（）
A．y=x﹣1B．y=（）x C．y=x3 D．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A、y=x﹣1=，是奇函数，且其在（0，+∞）上单调递减，符合题意；
对于B、y=（）x是指数函数，不是奇函数，不符合题意；
对于C、y=x3是幂函数，是奇函数但其在（0，+∞）上单调递增，不符合题意；
对于D、y=是对数函数，不是奇函数，不符合题意；
故选：A．
3．（5分）用系统抽样方法从编号为1，2，3，…，700的学生中抽样50人，若第2段中编号为20的学生被抽中，则第5段中被抽中的学生编号为（）
A．48 B．62 C．76 D．90
【解答】解：因为是从700名学生中抽出50名学生，
组距是14，
∵第2段中编号为20的学生被抽中，
∴第5组抽取的为20+3×14=62号，
故选B．
4．（5分）如图所示为某城市去年风向频率图，图中A点表示该城市去年有的天数吹北风，点表示该城B市去年有10%的天数吹东南风，下面叙述不正确的是（）
A．去年吹西北风和吹东风的频率接近
B．去年几乎不吹西风
C．去年吹东风的天数超过100天
D．去年吹西南风的频率为15%左右
【解答】解：根据风向频率图，可知去年吹西南风的频率为5%左右，
故选D．
5．（5分）已知函数f（x）=|lnx﹣|，若a≠b，f（a）=f（b），则ab等于（）
A．1 B．e﹣1C．e D．e2
【解答】解：∵函数f（x）=|lnx﹣|，a≠b，f（a）=f（b），
∴|lna﹣|=|lnb﹣|，
∴lna﹣=lnb﹣或lna﹣=，
即lna=lnb或ln（ab）=1，
解得a=b（舍）或ab=e．
∴ab=e．
故选：C．
6．（5分）保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的频率是（）
A．B．C．D．
【解答】解：满足条件的数分别是1，3，5，7，9，
共1，3，5，7；1，3，5，9；1，3，7，9；1，5，7，9；3，5，7，9 共5种密码，
最多输入2次就能开锁的频率是p=，
故选：C．
7．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为98，63，则输出的a为（）
A．0 B．7 C．14 D．28
【解答】解：由程序框图可知：a=98＞63=b，
∴a←35=98﹣63，b←28=63﹣35，
∴a←7=35﹣28，b←21←28﹣7，
a←14=21﹣7，b←7=21﹣14，
a←7=14﹣7，
则a=b=7，
因此输出的a为7．
故选：B．
8．（5分）已知函数y=a x（a＞0且a≠1）是减函数，则下列函数图象正确的是（）
A．B．C．D．
【解答】解：函数y=a x（a＞0且a≠1）是减函数，是指数函数，a∈（0，1），
函数y=x a的图象为：
所以A不正确；
y=x﹣a，第一象限的图象为：第三象限也可能有图象．
所以B不正确；
y=log a x，是减函数，所以选项C不正确；
y=log a（﹣x），定义域是x＜0，是增函数，所以D正确．
故选：D．
9．（5分）已知f（x）=ln（1﹣）+1，则f（﹣7）+f（﹣5 ）+f（﹣3）+f（﹣1）+f（3 ）+f （5）+f（7 ）+f（9）=（）
A．0 B．4 C．8 D．16
【解答】解：∵f（x）=ln（1﹣）+1，
则f（﹣7）=ln9﹣ln7+1，
f（﹣5 ）=ln7﹣ln5+1，
f（﹣3）=ln5﹣ln3+1，
f（﹣1）=ln3+1，
f（3 ）=﹣ln3+1，
f（5）=ln3﹣ln5+1，
f（7 ）=ln5﹣ln7+1，
f（9）=ln7﹣ln9+1，
则f（﹣7）+f（﹣5 ）+f（﹣3）+f（﹣1）+f（3 ）+f（5）+f（7 ）+f（9）=8，
故选：C．
10．（5分）矩形ABCD中，AB=2，AD=1，在矩形ABCD的边CD上随机取一点E，记“△AEB的最大边是AB”为事件M，则P（M）等于（）
A．2﹣B．﹣1 C．D．
【解答】解：分别以A、B为圆心，AB为半径作弧，交C、D于P1，P2，
当E在线段P1P2间运动时，能使得△ABE的最大边为AB，
∵在矩形中ABCD中，AB=2，AD=1，
∴AP1=BP2=2，∴CP1=DP2=2﹣，
∴P1P2=2﹣2（2﹣）=2﹣2，
∴△ABE的最大边是AB的概率：p==﹣1
故选：B．
11．（5分）元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》一书，是中国古代数学的重要著作之一，共分卷首、上卷、中卷、下卷四卷，下卷中《果垛叠藏》第一问是：“今有三角垛果子一所，值钱一贯三百二十文，只云从上一个值钱二文，次下层层每个累贯一文，问底子每面几何？”据此，绘制如图所示程序框图，求得底面每边的果子数n为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
【解答】解：由S0=2，S n+1=S n+×（n+2），
∴S9=2+++＞1320，
故选：C．
12．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣1|，若方程f（x）=
有4个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣，1）B．（，1）C．（，1）D．（﹣1，）
【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，
∵当x≥0时，f（x）=|x﹣1|，∴f（﹣x）=|﹣x﹣1|=|x+1|，
∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=|x+1|，
则f（x）=，即，
由f（x）=得，f2（x）=x+a，
画出函数y=x+a与y=f2（x）的图象，如图所示：
由图知，当直线y=x+a过点A时有三个交点，
且A（1，1），此时a=1，
当直线y=x+a相切与点P时有三个交点，
由图知，y=f2（x）=（x+1）2=x2+2x+1，
则y′=2x+2，令y′=2x+2=1得x=，则y=，
此时切点P（，），代入y=x+a得a=，
∵方程f（x）=有4个不相等的实根，
∴函数y=x+a与y=f2（x）的图象有四个不同的交点，
由图可得，实数a的取值范围是（，1），
故选B．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）某学习小组6名同学的英语口试成绩如茎叶图所示，则这些成绩的中位数为85．
【解答】解：由茎叶图得：
学习小组6名同学的英语口试成绩从小到大为：
76，81，84，86，87，90，
∴这些成绩的中位数为：．
故答案为：85．
14．（5分）空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数．AQI 数值越小，说明空气质量越好．某地区1月份平均AQI（y）与年份（x）具有线性相关关系．下列最近3年的数据：
根据数据求得y关于x的线性回归方程为=﹣14x+a，则可预测2017年1月份该地区的平均AQI为36．
【解答】解：=2015，=64，
故64=﹣14×2015+a，
解得：a=14×2015+64，
故2017年1月份该地区的平均AQI为：
y=﹣14×2017+14×2015+64=36，
故答案为：36．
15．（5分）已知f（x）=x3+（a﹣1）x2是奇函数，则不等式f（ax）＞f（a﹣x）的解集是{x|x
＞} ．
【解答】解：若f（x）=x3+（a﹣1）x2是奇函数，
则a﹣1=0，即a=1，此时f（x）=x3，在R递增，
则不等式f（ax）＞f（a﹣x），
即x＞1﹣x，解得：x＞，
故不等式的解集是：{x|x＞}，
故答案为：{x|x＞}．
16．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是[1，2] ．
【解答】解：当﹣1≤x≤k时，函数f（x）=log2（1﹣x）+1为减函数，
且在区间左端点处有f（﹣1）=2，
令f（x）=0，解得x=，
令f（x）=x|x﹣1|=2，解得x=2，
∵f（x）的值域为[0，2]，
∴k≤，
当k≤x≤a时，f（x）=x|x﹣1|=，
∴f（x）在[k，]，[1，a]上单调递增，在[，1]上单调递减，
从而当x=1时，函数有最小值，即为f（1）=0
函数在右端点的函数值为f（2）=2，
∵f（x）的值域为[0，2]，
∴1≤a≤2
故答案为：[1，2]
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）已知集合A={x|x＜﹣2或x＞0}，B={x|（）x≥3}
（Ⅰ）求A∪B
（Ⅱ）若集合C={x|a＜x≤a+1}，且A∩C=C，求a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵，且函数在R上为减函数，
∴x≤﹣1．
∴A∪B={x|x＜﹣2或x＞0}∪{x|x≤﹣1}={x|x≤﹣1或x＞0}；
（Ⅱ）∵A∩C=C，∴C⊆A，
∴a+1＜﹣2或a≥0，
解得a＜﹣3或a≥0．
18．（12分）已知函数f（x）=，（x＞0且a≠1）的图象经过点（﹣2，3）．
（Ⅰ）求a的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象；
（Ⅱ）若f（x）在区间（m，m+1）上是单调函数，求m的取值范围．
【解答】本题满分（12分）．
解：（Ⅰ）∵函数的图象经过点（﹣2，3），∴a﹣2﹣1=3，解得，
∴
其图象如图所示：
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（﹣∞，0），（2，+∞），∴m+1≤0或m≥2或，
∴m的取值范围为m≤﹣1或0≤m≤1或m≥2．
19．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参加抽奖，抽奖有两种方案可供选择．
方案一：从装有4个红球和2个白球的不透明箱中，随机摸出2个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖；
方案二：掷2颗骰子，如果出现的点数至少有一个为4则中奖，否则不中奖．（注：骰子（或球）的大小、形状、质地均相同）
（Ⅰ）有顾客认为，在方案一种，箱子中的红球个数比白球个数多，所以中奖的概率大于．你认为正确吗？请说明理由；
（Ⅱ）如果是你参加抽奖，你会选择哪种方案？请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）将4个红球分别记为a1，a2，a3，a4，2个白球分别记为b1，b2，
则从箱中随机摸出2个球有以下结果：
{a1，a2}，{a1，a3}，{a1，a4}，{a1，b1}，{a1，b2}，{a2，a3}，
{a2，a4}，{a2，b1}，{a2，b2}，{a3，a4}，{a3，b1}，{a3，b2}，
{a4，b1}，{a4，b2}，{b1，b2}，总共15种，
其中2个都是红球的有{a1，a2}，{a1，a3}，{a1，a4}，{a2，a3}，{a2，a4}，{a3，a4}共6 种，
所以方案一中奖的概率为，
所以顾客的想法是错误的．
（Ⅱ）抛掷2颗骰子，所有基本事件共有36种，
其中出现的点数至少有一个4的基本事件有（1，4），（2，4），（3，4），（4，4），（5，4），（6，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（4，6）共11种，
所以方案二中奖的概率为，
所以应该选择方案一．
20．（12分）下面给出了2010年亚洲一些国家的国民平均寿命（单位：岁）
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，计算[63.0，67.0）的频数是6
，频率是=0.15；
[67.0，71.0）的频数是11，频率是
=0.275，补齐频率分布表如下； 计算a=
=0.05625，
b==0.04375；
（Ⅱ）由频率分布直方图可知，
以上所有国家的国民平均寿命的平均数约为
=61×0.05+65×0.15+69×0.275+73×0.225+77×0.175+81×0.125=71.8；
根据统计思想，估计亚洲人民的平均寿命大约为71.8岁．
21．（12分）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲覆盖面积为24m2，三月底测得覆盖面积为36m2，凤眼莲覆盖面积y
（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y=ka x（k＞0，a＞1）与y=px+q （p＞0）可供选择．
（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
（Ⅱ）求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份．
（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）
【解答】本小题满分（12分）．
解：（Ⅰ）两个函数y=ka x（k＞0，a＞1），在（0，+∞）上都是增函数，随着x的增加，函数y=ka x（k＞0，a＞1）的值增加的越来越快，而函数的值增加的越来越慢．
由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，所以函数模型y=ka x（k＞0，a＞1）适合要求．
由题意可知，x=2时，y=24；x=3时，y=36，所以
解得
所以该函数模型的解析式是（x∈N*）．
（Ⅱ）x=0时，，
所以元旦放入凤眼莲面积是，
由得，
所以，
因为，所以x≥6，
所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份．
22．（12分）已知函数f（x）=x2+ax（a＞0）在[﹣1，2]上的最大值为8，函数g（x）是h（x）=e x的反函数．
（1）求函数g（f（x））的单调区间；
（2）求证：函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有一个零点x0，且g（x0）＜x02h（x0）﹣1（参考数据：e=2.71828…，ln2≈0.693）．
【解答】解：（1）函数g（x）是h（x）=e x的反函数，
可得g（x）=lnx；
函数f（x）=x2+ax（a＞0）在[﹣1，2]上的最大值为8，
只能是f（﹣1）=8或f（2）=8，
即有1﹣a=8或4+2a=8，
解得a=2（﹣7舍去），
函数g（f（x））=ln（x2+2x），
由x2+2x＞0，可得x＞0或x＜﹣2．
由复合函数的单调性，可得
函数g（f（x））的单调增区间为（0，+∞）；
单调减区间为（﹣∞，﹣2）；
（2）证明：由（1）得：f（x）=x2+2x，即φ（x）=f（x）h（x）﹣，（x＞0），
设0＜x1＜x2，则x1﹣x2＜0，x1x2＞0，∴＜0，
∵f（x）在（0，+∞）递增且f（x）＞0，
∴f（x2）＞f（x1）＞0，
∵＞＞0，∴f（x1）＜f（x2），
∴φ（x1）﹣φ（x2）=f（x1）﹣f（x2）+＜0，
即φ（x1）＜φ（x2），∴φ（x）在（0，+∞）递增；
∵φ（）=﹣2＞﹣2=0，
φ（）=﹣e＜﹣e＜0，
即φ（）φ（）＜0，
∴函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有1个零点x0，且x0∈（，），
∴（+2x0）﹣=0，即=，
∴h（x0）﹣g（x0）=﹣lnx0=﹣lnx0，
∵y=﹣lnx在（0，）上是减函数，
∴﹣lnx0＞﹣ln=+ln2＞+0.6=1，
即g（x0）＜h（x0）﹣1，
综上，函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有一个零点x0，且g（x0）＜x02h（x0）﹣1．。