理论力学第十章PPT
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(i )
) =0
∑ Fi dt = 0
d(mi vi ) = Fi (e) dt + Fi (i) dt
质点系： ∑d(mi vi ) = ∑ Fi (e) dt + ∑ Fi (i) dt
得 dp = ∑ F dt = ∑dI i
(e)
(e) i
或
dp (e) = ∑ Fi dt
称为质点系动量定理的微分形式 即质点系动量的增量等于作用于质点系的外力 元冲量的矢量和； 或质点系动量对时间的导数等于作用于质点系 的外力的矢量和。
在 t1 t2 内，动量由 p1~ p2 ，有 ~
p2 − p1 = ∑ Ii(e)
i=1
n
称为质点系动量定理的积分形式，即在某一时间 间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内 作用于质点系外力冲量的矢量和。 动量定理微分形式的投影式
dpx = ∑ Fx(e) dt
dpy dt
= ∑F
(e) y
dpz = ∑ Fz(e) dt
动量定理积分形式的投影式
( p2x − p1x = ∑ I xe)
( p2y − p1y = ∑I ye)
p2z − p1z = ∑ I z(e)
3．质点系动量守恒定律 ．
若 ∑F
(e)
≡ 0 ， 则 p = 恒矢量
若 ∑ Fx
(e)
≡ 0， 则 px = 恒量
解决动量定理习题步骤
第十章 动 量 定 理
§10-1 动量与冲量
1．动量 ． 质点的动量 质点系的动量
mv
n i=1
单位： kg⋅ m/ s
p = ∑mivi
dri d p = ∑mivi = ∑mi = ∑mi ri dt dt ∑mi ri 质心 rc = ， m = ∑mi m
即
p = mvc
质点系的动量等于质心速度 与其全部质量的乘积
B F C D
A
解：如图所示
(m1 + m2 )aCx = Fx − F
1 r xC = m cosϕ + m2 (r cosϕ + b) ⋅ 1 2 m + m2 1
d2 xC − rω2 m 1 aCx = 2 = + m2 cosω t dt m + m2 2 1
Fy = (m1 + m2 )g + m2eω cosωt
2
电机不转时， x = 0 ，Fy = (m1 + m2 )g 称静约束力； F 电机转动时的约束力称动约束力，上面计算的是动约 束力。
动约束力 - 静约束力 = 附加动约束力 本题的附加动约束力为
x y 方向： m2eω2 cosω t
方向：− m2eω2 sin ω t
2．冲量 ． 常力的冲量 变力的元冲量
I = Ft
dI = Fd t
I = ∫ Fdt
t1 t2
在 t1 ~ t2 内的冲量 单位： N·s
§10-2 动量定理
1. 质点的动量定理 或
d(mv) = Fdt
d(mv) =F dt
称为质点动量定理的微分形式，即质点动量的增量 等于作用于质点上的力的元冲量。 在 t1 ~ t2内，速度由 v1 ~ v2 ，有
应用质心运动定理，解得
m 1 Fx = F − rω + m2 cosω t 2 显然，最大水平约束力为
2
Fmax
m 1 = F + rω + m2 2
2
O1 O2
解：选外壳和定子组成的质点系为研究对象 画受力分析如图 外壳质心O1，静止；定子质心O2，匀速转动 质点系动量为 p = m2ωe
px = m2ωecosωt py = m2ω esinω t
由
得
dpx = Fx dt dpy = Fy − m1g − m2 g dt 2 Fx = −m2eω sin ωt
1. 选取质点系做为研究对象 2. 受力分析 3. 质点系各部分的运动分析 4. 写出动量表达式，表明方向 5. 利用动量定理投影式求解
例10-1 电动机外壳固定在水平基础上，定子 和外壳的质量为 m，转子质量为m2。定子和机壳 1 质心 O1，转子质心 O2 O O2 = e，角速度 ω ，1 为常量。 求基础的水平及铅直约束力。
(e maC = ∑ F (e) i i=1 n
称为质心运动定理，即：质点系的质量与质心加 速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和。 内力不影响质心的运动，只有外力才能 改变质心的运动。
在直角坐标轴上的投影式为：
ma Cx= ∑ Fx(e)
maCy = ∑Fy(e)
maCz = ∑ Fz(e)
在自然轴上的投影式为：
2 dvC vC (e) (e) m = ∑F m = ∑ Fn t dt ρ
0 = ∑F
(e) b
质心运动守恒定律 若
∑F
(e)
≡0
则 vC 则 vCx
=常矢量
∑ Fx(e) ≡ 0 若
=常矢量
注意：力偶不影响质心的运动
例：均质曲柄AB长为r,质量为m1,假设受力偶作用 以不变的角速度ω转动， 以不变的角速度ω转动，并带动滑槽连杆以及与它 如图所示。滑槽、连杆、 固连的活塞D，如图所示。滑槽、连杆、活塞总质 量为m2,质心在点C。在活塞上作用一恒力F。 不计摩擦及滑块B 的质 量，求：作用在曲柄轴 A处的最大水平约束力 Fx。
mv2 − mv1 = ∫ Fdt = I
t1
t2
称为质点动量定理的积分形式，即在某一时间间隔 内，质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时 间内的冲量。
2. 质点系的动量定理 外力： i (e)，内力： (i) F F
i
内力性质： （1）
∑F i
(i )
=0
(i )
（2） ∑ MO (F i （3） 质 点：
10-3 质心运动定理
1．质心
∑m i ri rC = ，m = ∑ m i m ∑m i z i ∑m i x i ， ∑m i y i ， zC = xC = yC = m m m
2.质心运动定理 2.质心运动定理 由 得 或
n d (mvC ) = ∑ F (e) i i=1 dt
n dvC = ∑ F (e) m i i=1 dt
) =0
∑ Fi dt = 0
d(mi vi ) = Fi (e) dt + Fi (i) dt
质点系： ∑d(mi vi ) = ∑ Fi (e) dt + ∑ Fi (i) dt
得 dp = ∑ F dt = ∑dI i
(e)
(e) i
或
dp (e) = ∑ Fi dt
称为质点系动量定理的微分形式 即质点系动量的增量等于作用于质点系的外力 元冲量的矢量和； 或质点系动量对时间的导数等于作用于质点系 的外力的矢量和。
在 t1 t2 内，动量由 p1~ p2 ，有 ~
p2 − p1 = ∑ Ii(e)
i=1
n
称为质点系动量定理的积分形式，即在某一时间 间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内 作用于质点系外力冲量的矢量和。 动量定理微分形式的投影式
dpx = ∑ Fx(e) dt
dpy dt
= ∑F
(e) y
dpz = ∑ Fz(e) dt
动量定理积分形式的投影式
( p2x − p1x = ∑ I xe)
( p2y − p1y = ∑I ye)
p2z − p1z = ∑ I z(e)
3．质点系动量守恒定律 ．
若 ∑F
(e)
≡ 0 ， 则 p = 恒矢量
若 ∑ Fx
(e)
≡ 0， 则 px = 恒量
解决动量定理习题步骤
第十章 动 量 定 理
§10-1 动量与冲量
1．动量 ． 质点的动量 质点系的动量
mv
n i=1
单位： kg⋅ m/ s
p = ∑mivi
dri d p = ∑mivi = ∑mi = ∑mi ri dt dt ∑mi ri 质心 rc = ， m = ∑mi m
即
p = mvc
质点系的动量等于质心速度 与其全部质量的乘积
B F C D
A
解：如图所示
(m1 + m2 )aCx = Fx − F
1 r xC = m cosϕ + m2 (r cosϕ + b) ⋅ 1 2 m + m2 1
d2 xC − rω2 m 1 aCx = 2 = + m2 cosω t dt m + m2 2 1
Fy = (m1 + m2 )g + m2eω cosωt
2
电机不转时， x = 0 ，Fy = (m1 + m2 )g 称静约束力； F 电机转动时的约束力称动约束力，上面计算的是动约 束力。
动约束力 - 静约束力 = 附加动约束力 本题的附加动约束力为
x y 方向： m2eω2 cosω t
方向：− m2eω2 sin ω t
2．冲量 ． 常力的冲量 变力的元冲量
I = Ft
dI = Fd t
I = ∫ Fdt
t1 t2
在 t1 ~ t2 内的冲量 单位： N·s
§10-2 动量定理
1. 质点的动量定理 或
d(mv) = Fdt
d(mv) =F dt
称为质点动量定理的微分形式，即质点动量的增量 等于作用于质点上的力的元冲量。 在 t1 ~ t2内，速度由 v1 ~ v2 ，有
应用质心运动定理，解得
m 1 Fx = F − rω + m2 cosω t 2 显然，最大水平约束力为
2
Fmax
m 1 = F + rω + m2 2
2
O1 O2
解：选外壳和定子组成的质点系为研究对象 画受力分析如图 外壳质心O1，静止；定子质心O2，匀速转动 质点系动量为 p = m2ωe
px = m2ωecosωt py = m2ω esinω t
由
得
dpx = Fx dt dpy = Fy − m1g − m2 g dt 2 Fx = −m2eω sin ωt
1. 选取质点系做为研究对象 2. 受力分析 3. 质点系各部分的运动分析 4. 写出动量表达式，表明方向 5. 利用动量定理投影式求解
例10-1 电动机外壳固定在水平基础上，定子 和外壳的质量为 m，转子质量为m2。定子和机壳 1 质心 O1，转子质心 O2 O O2 = e，角速度 ω ，1 为常量。 求基础的水平及铅直约束力。
(e maC = ∑ F (e) i i=1 n
称为质心运动定理，即：质点系的质量与质心加 速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和。 内力不影响质心的运动，只有外力才能 改变质心的运动。
在直角坐标轴上的投影式为：
ma Cx= ∑ Fx(e)
maCy = ∑Fy(e)
maCz = ∑ Fz(e)
在自然轴上的投影式为：
2 dvC vC (e) (e) m = ∑F m = ∑ Fn t dt ρ
0 = ∑F
(e) b
质心运动守恒定律 若
∑F
(e)
≡0
则 vC 则 vCx
=常矢量
∑ Fx(e) ≡ 0 若
=常矢量
注意：力偶不影响质心的运动
例：均质曲柄AB长为r,质量为m1,假设受力偶作用 以不变的角速度ω转动， 以不变的角速度ω转动，并带动滑槽连杆以及与它 如图所示。滑槽、连杆、 固连的活塞D，如图所示。滑槽、连杆、活塞总质 量为m2,质心在点C。在活塞上作用一恒力F。 不计摩擦及滑块B 的质 量，求：作用在曲柄轴 A处的最大水平约束力 Fx。
mv2 − mv1 = ∫ Fdt = I
t1
t2
称为质点动量定理的积分形式，即在某一时间间隔 内，质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时 间内的冲量。
2. 质点系的动量定理 外力： i (e)，内力： (i) F F
i
内力性质： （1）
∑F i
(i )
=0
(i )
（2） ∑ MO (F i （3） 质 点：
10-3 质心运动定理
1．质心
∑m i ri rC = ，m = ∑ m i m ∑m i z i ∑m i x i ， ∑m i y i ， zC = xC = yC = m m m
2.质心运动定理 2.质心运动定理 由 得 或
n d (mvC ) = ∑ F (e) i i=1 dt
n dvC = ∑ F (e) m i i=1 dt