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2016年永康市高考适应性考试
数学（理科）试题卷
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟． 试卷总分为150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．
参考公式：
球的表面积公式 棱柱的体积公式
S =4πR 2 V =Sh
球的体积公式 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高．
V =
43
πR 3
棱台的体积公式
其中R 表示球的半径 V =
1
3
h (S 1
S 2)
棱锥的体积公式 其中S 1、S 2表示棱台的上、下底面积，h 表示棱
V =
1
3
Sh 台的高．
其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3}A =，{3,4,5}B =，则()U A C B I ＝（ ▲ ）
A ．{3}
B ．{1,2,4,5}
C ．{1,2}
D ．{1,3,5} 2. 设a ∈R ，“a >1”是“方程x 2
+2ax +y 2
+1=0的曲线是圆”的（ ▲ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3. 已知1sin 23α=，则2
cos ()4
πα-=（ ▲ ） A ．13- B ．2
3
- C ．13 D ．23
4. 已知实数,x y 满足不等式组0,0,26,312
x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪
⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且x ,y ∈Z ，则2z x y =+的最大值是（ ▲ ）
A. 7
B. 8
C. 42
5
D. 9
5. 设等差数列{a n }与等比数列{b n }满足：0< a 1= b 1< a 5= b 5，则下述结论一定成立的是（ ▲ ）
A.a 3<b 3
B.a 3>b 3
C.a 6<b 6
D.a 6>b 6
6. 设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>和圆222:O x y b +=，若椭圆C 上存在点P ，使得过点P 引
圆O 的两条切线，切点分别为A 、B ，满足∠APB =60°，则椭圆C 的离心率e 的取值范围 是( ▲ ) A.0<e ≤
32 B. 12≤e <1 C. 32<e <1 D. 3
2
≤e <1 7. 设函数y = f (x )，若对∀ε>0，∃x 0，使得当x >x 0，恒有| f (x )-x |<ε，则称函数y = f (x )具有性质P.下列具有性质P 的函数是（ ▲ ）
A.y =2x
B.y =2x +1x
C.y =x 2-1
D.y =2x
8. 记f (x )=|ln x +ax +b |(a >0)在区间[t ,t +2](t 为正数)上的最大值为M t (a ,b )，若{b | M t (a ,b )≥ln2+a }=R ，则实数t 的最大值是（ ▲ ）
A. 2
B. 1
C. 3
4
D. 23
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题有7小题, 多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.把答案填在答题卷的相应位置.
9．设函数21,1
()2,1
x x x f x ax x ⎧+≤=⎨+>⎩，若((1))4f f a =，则实数a = ▲ ，函数f (x )的单调
增区间为 ▲ ．
10．已知函数f (x )=sin(ωx +φ)-3cos(ωx +φ)( ω>0，|φ|<π
2)图象的相邻两条对称轴为直
线0x =与2
x π
=
，则f (x ) 的最小正周期为 ▲
，
1112．已知F 为抛物线C :y 2
=5x 的焦点，点A (3,1)，
M 是抛物线C 上的动点，当|MA |+|MF |取最小值 ▲ 时，
点M 的坐标为 ▲ ．
13．若正实数a 、b 满足log 8a+log 4b 2=5，log 8b+log 4a 2=5，则log 4a+log 8b 2
= ▲ ．
14．已知平面非零向量a ,b 满足：|a |=|b |=|a -b |，若对任意平面向量c ，都有（c -a ）·（2c -b ）≥m a ·b 恒成立，则实数m 的取值范围是 ▲ ．
15．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD //BC ，AB ⊥BC ，侧面PAD 同时 垂直侧面PAB 与侧面PDC .若PA =AB =AD=PB 3
3，则BC
AD = ▲ ，直线PC 与底面ABCD 所成
角的正切值为 ▲ ．
俯视图
2（第4题）侧视图
正视图
(第11题图)
三.解答题：本大题共5小题,满分74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. （本题满分14分） 在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a sin A sin B +b cos 2
A =2a .
(Ⅰ)求b a
的值；
(Ⅱ)若c =2，且△ABC 面积为22，求边长a .
17. （本题满分15分）
如图，正三棱锥O -ABC 的三条侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA=OB=OC=2.E 、F 分别是AB 、AC 的中点，过EF 作平面与侧棱OA ，OB ，OC 或其延长线分别相交于A 1、B 1 、C 1. （Ⅰ）求证：直线B 1 C 1//平面ABC ； （Ⅱ）若OA 1=3
2
，求二面角O -A 1B 1 -C 1的余弦值.
18. （本题满分15分）
设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：a 1=1，3tS n =(2t
(Ⅰ)证明：数列{a n }是等比数列； (Ⅱ)设数列{a n }的公比为f (t )，数列{b n }满足b 1=1b 2n -1b 2n -b 2n b 2n +1，求证：T n ≤- 20
9
.
19．（本题满分15分） 已知F 1(-1,0)，F 2(1,0)，且△P F 1 F 2的周长为6.
(Ⅰ)求动点P 轨迹C 的方程；
(Ⅱ)若不过原点的直线l ：y =kx +m 与曲线C 交于两个不同的点A 、B ，M 为AB 的中点，且M 到F 2的距离等于到直线x = -1的距离，求直线l 斜率的取值范围. 20．（本题满分15分）
已知函数f (x )=x +
1x -a +1
x -b
(a ,b 为实常数). (Ⅰ)若a +b =0，判断函数f (x )的奇偶性，并加以证明； (Ⅱ)记M =⎩⎨⎧a , b <a b , b ≥a
，A =
a +b
2
，求实数λ的取值范围，使得方程f (x )=
λ
x-A
+A 在区间(M ,+∞)上无解.
2016年永康市高考适应性考试 数学（理科）卷评分标准与参考答案
一、选择题(5×8=40分)
二、填空题（多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）
9． 2， [0,+∞)
10．π,- π
6
11．4
12．174，（15，1） 13．8
35 14．（-∞，- 3
4]
15．6
623,
三. 解答题(74分)
16．解：(Ⅰ)由a sin A sin B +b cos 2
A =2a 得2Rsin 2
A sin
B +2RsinBcos 2
A =22RsinA ， ……2分
即sinB(sin 2A+cos 2
A)=2sin A ， ………………………… 4分
由正弦定理可得sin B=2sin A ． …………………………… 6分 ∴b =2a ，即有b a
=2． ………………………………… 8分 (Ⅱ)由S =12ab sin C =22得sin C =4
a
2，
又由余弦定理得 cos C =3 a 2
-4
22a
2
． ……………………………………… 12分 将上述两式平方和并化简可得a 4-24a 2
+144=0．
故a = ……………………………………………………………………… 14分
17．（Ⅰ）证明：∵E ，F 分别是AB ，AC 的中点，∴EF //BC
又∵EF ⊄面OBC ，∴EF //面OBC …………… 2分
∵面A 1B 1C 1∩面OBC =B 1C 1， ， EF ⊂面A 1B 1C 1∩
∴EF //B 1C 1 ……………
4分 又∵B 1C 1⊄面ABC ，∴B 1C 1//面ABC ……………
6分 （Ⅱ）如图，以OA ，OB ，OC 为X 轴，Y 轴，Z 轴建立空间直角坐标系，则O （0，0，0），
A （2，0，0），
B （0，2，0），
C （0，0，2），E （1，1，0），F （1，0，1），…… 8分
∵B 1∈OB ,设B 1（0，m ，0）,又∵点B 1∈平面A 1EF ，
∴11()3(1)(,,)(0,,0)2
OB OE OF OA m λμλμλμλμ-++=++--==u u u r u u u r u u u r u u u r ，
解得m=3
∴B 1（0，3，0）,同理C 1（0，0，3） …… 10分
设平面111A B C 的法向量为(,,)x y z =m ，1111
33
(,3,0),(,0,3)22A B AC =-=-u u u u r u u u u r ， 113302A B x y ⋅=-+=u u u u r m ，11
3
302
AC x z ⋅=-+=u u u u r m ， 取(2,1,1)=m ，…… 12分 又知平面11OA B 即平面OAB 的法向量为(0,0,1)=n ，设二面角111O A B C --为θ， ∵ 二面角111O A B C --
为锐角，∴cos |
|||||θ⋅===
⋅m n m n ，…… 14分 ∴ 二面角111O A B C --
………… 15分 (几何法按步骤酌情给分）
18.证明：（Ⅰ）13233(2)()n n tS t S t n -=++≥由
12()3233(3)n n tS t S t n --=++≥得
两式相减，得13(23)n n ta t a -=+
t Q 为正实数
∴
123
3n n a t a t
-+=≥(n 3)为常数 ……………………5分 213233()tS t S t =++Q 又
得223
3t a t +=
，则21233a t a t += ……………………7分
{}23
3n t a t +∴是首项为1，公比为
的等比数列
……………………8分 （Ⅱ）∵2321()33t f t t t
+=
=+， 1112
(
)3
n n n b f b b --∴==+ 则12
3
n n b b +-=
所以{}2
13
n b 是首项为，公差为的等差数列. ……………………10分
T n =b 1b 2-b 2b 3+ b 3b 4-b 4b 5+…+ b 2n -1b 2n -b 2n b 2n +1
21343522121()()()n n n b b b b b b b b b -+=-+-++-L
222462442811
()()()()3339418
n b b b b n n n =-++++=-+=-++L ………13分
因为，n N *
∈
∴18420
939
n T T ≤=-
-=- ………………………15分 19解：（Ⅰ）由12(1,0),(1,0)F F -,21F PF △的周长为6，
12124+=>得PF PF FF ,P ∴点轨迹为以12F F ，为焦点的椭圆（不包括左右顶点） 24,22,a c ==Q
所以2
a b =⎧⎪⎨=⎪⎩C 的方程为：221(0)43x y y +=≠…………………………6分 （Ⅱ）当0k =显然不符合题意 …………7分 当0k ≠时，设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点为00(,)M x y ,若l ：y kx m =+
与曲线22
143
x y +=C ：联立得：222(43)84120k x kmx m +++-=， 所以0∆>得22
430k m -+>……（1）式 …………………………10分
由韦达定理得：1202
8243
km
x x x k +=-=+， 所以02443km x k =-+，代入y kx m =+得02
343
m
y k =+ 由条件可知00(,)M x y 在抛物线2
:4E y x =上，
代入M 点坐标22
160(43)9
m m k k ≠∴=-+Q ……（2）式…………………12分
将（2）式代入（1）式得：22
256(43)81k k +<，得2332
k <，
即k <<……14分 综上所述，k
的取值范围为((0,88
k ∈-U . ……………15分 20、解：(Ⅰ)易知函数定义域关于原点对称a
x a x x x f b a ++-+
=∴=+1
1)(,0Θ
)
(1
1)(x f a x a x x x f -=+-+--+
-=-
()f x ∴为奇函数。

…………5分
222
2222
2
22,f(x)=2()
[]()()()
(),(),2
2
()[1][()][()]()()0,
272
()()a b x x A x A x A x a x b b a
x a x A d x b x A d x A x A d x A d b a t x A d t d t
t d
u d λ
λλ
λλ≤+A -A
--+-=----=---=-⋯⋯⋯⋯⋯+∴-+=---+-=->=>+-=-+g （）不妨设则M=b,x-A>0,方程等价于
令
=d ，则令等价于令u=t-d 等=
分
价于
Ⅱ222
2
22222
2(2)()
222((2
2(,)2f(x)=M (
1212
415d u d u
d u d u
b a
d d d b a b u x b a
λ
λ+-+=+++-≥+=+=+++∞+A +∞-A
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯-∴<+⋯⋯⋯Q 当u=即,x=取等号方程在（分
，）上无解
分
分
复数与导数模块（10分）
(1)因为(1+ai )2=1−a 2+2ai 且其为纯虚数 所以1−a 2=0即a=±1 (5分)
(2)由题意知x −a x ≥
2ln x x
对任意x ∈(0,+∞)恒成立
即x 2−2ln x ≥a 对任意x ∈(0,+∞)恒成立 对x 2−2ln x 求导可知其最小值为1. 所以a ≤1. （10分） 计数原理与概率模块（10分）
（1）由题意知4n −2n =992,所以n =5
展开式中二项式系数最大项为第三项和第四项，分别为90x6和270x 22
3(5分)
（2）由题意知
()
()
11
66
6
126
1
n
n
n
C C
C n n
-
-
=
-
，
所以n=9或n=16 (10分)。