固体物理答案-第二章

NaCl晶体
N0=6.0221023,与N0对应的质量应为
M=23+35.5=58.5(g)
Na原子量
Cl原子量
阿伏加德罗常数
面心立方,最近邻原子有12个, 由N个惰性气体原子构成的分子晶体，其总互作用势能可表示为
(2)计及最近邻和次近邻,次近邻有6个。
2.14 KCl晶体的体积弹性模量为 相邻离子间距缩小0.5%，需要施加多大的压力。 ，若要使晶体中 解：根据体积弹性模量K的定义， 得 ，因而 设R为相邻离子间的距离。KCL具有NaCL结构，平均每体 才有一个离子，若晶体中共含N个离子，则晶体体积 积
式中，V为晶体体积，N为晶体包含的原子数，v为每个原子平 均占据的体积。若以
表示晶体包含的晶胞数，
中每个晶胞的体积，n表示晶胞中所含的粒子数，则(1)式完全 等效于
解：题给
表示晶体
(1)
于是得
(2)
R为离子间的最短距离。题给的各种晶格均为立方格子，如令
证明：
选取负离子O为参考离子，相邻两离子间的距离用R表示。
第j个离子与参考离子的距离可表示为
对于参考
离子O，它与其它离子的互作用势能为
马德隆常数
2.3 设两原子间的互作用能可由 表述。 式中第一项为吸引能，第二项为排斥能； 均为正的常数。证明，要使这两原子系统处于平衡状态，必须n>m。 且 即当 时， 证明：相互作用着的两原子系统要处于稳定平衡状态，相应 于平衡距离 处的能量应为能量的极小值，
为常数，试求
（1）平衡时原子间的最短距离；
（2）平衡时晶体体积；
（3）平衡时体积弹性模量；
（4）抗张强度。
解：
（1）
由
得
01
可知
02
03
对于面心立方，N个原子构成晶体体积
04
可得
05
由（1）中结果知
06
所以
可知
01
可得
02
03
体积弹性模量
04
05抗张Βιβλιοθήκη 度公式为可知又又面心立方结构
所以抗张强度
式中，
是直角坐标系
则矢量
中的方向单位矢量。
设立方体的边长为a，选取中心
原子为坐标原点，
z
x
o
键角就是矢量
所以
。
和
间的夹角，设为
，有
2.12 实验测得NaCl的晶体密度=2.16g/cm3,试求NaCl晶体中离子 间的平衡间距R0.(已知Na的原子量为23,Cl的原子量为58.5)
解:设晶体共有2N0个离子,晶体的体积
4
10
有效电荷数
到原点距离
同类离子数
坐标
因此，所取单元中各离子与中心负离子的互作用势能 故马德隆常数 。 如果采用边长加倍的中性组计算，得到的结果是 。
2.16 NaCl的体积弹性模量K为2.401011dyncm-2,计算在0.2Mbar (106bar=1012dyncm-2)下最近邻距离的变化分数(相对变化),假定K为恒量.
（2）
(3)
因为
，因而
于是(3)式可化简为
能量的变化应等于外力所作的功。因为晶体一共由2N 个离子，由上式可知，外力对每个离子所作的功就是
2.11 金刚石是共价键晶体，试求其键间夹角的大小。
解：金刚石中每个碳原子与其最近邻的碳原子构成一个正四面 体，原子间靠共价键结合，四面体键之间的夹角等于立方体体 对角线间的夹角。
因为
解之有
因而
其次，对应于 处能量取极小值，应有
于是
所以
把（1）式代入，即得 这个结果表明，排斥力是短程力，与吸引力相比较，它随原子间的距离的变化更陡峭。
有一离子晶体，其总互作用势能表示为
01
试问当离子电荷加大1倍时，平衡离子间距、互作用势能和体积弹性模量将受何影响？
02
解：
03
按题给
04
02
解:
03
Ne取面心立方结构比取体心立方结构更稳定。
04
。可由式(2)直接求出各种格子的
其晶格常数为a，则有
晶格(a)
晶包体积（ ）
晶胞中包含粒子数（n）
离子间最短距离
结构常数（ ）
简单立方
1
a
1
面心立方
4
0.71
体心立方
2
0.77
金刚石结构
8
1.54
氯化钠结构
8
1
2.2证明有两种离子组成的、间距为 的一维晶格的马德隆常数 。
证明：
设晶体共含有N个原子，则总能量为
由于晶体表面层的原子的数目与晶体内原子数目相比少得多，
因此可忽略它们之间的差异，
于是上式简化为
再令
01
得到
02
平衡时
03
则由已知条件
04
得
05
设最近临原子间的距离为R，则有
得
由（1）、（2）两式可解得
利用体积弹性模量公式
由平衡条件
2.6 已知有N个离子组成的NaCl晶体，其结合能为
用R表示最近邻离子间的距离，
x
R
取中心的负离子为坐标原点，则其它离子的坐标为
，这里
。对图中各离子，列表如下：
为正负整数，该离子到原点
的距离
4
22
8
21
2R
4
20
-4e
4
11
4e
R
即
于是
依题给
所以
因为在自然平衡时，作用在晶体上的仅是大气压力
晶体体积的影响很小，可认为
，它对
。
2.15 试用埃夫琴法求由正负一价离子相间构成的二维正方格 子的马德隆常数。
解：取如图所示单元，采用电 荷中性组法进行计算。注意到 所取单元边上的粒子仅1/2属于 单元，角上的离子仅1/4属于单元，容易验证，所取的单元恰 好是一个电荷中性组。
第二章 晶体中原子的结合
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2.1 由N个原子（离子）所组成的晶体的体积V可写为 。式中， v为每个原子（离子）平均所占据的体积；R为粒子间的最 短距离；是和结构有关的常数。试求下列各种结构的值： 简单立方点阵； 面心立方点阵； 体心立方点阵； 金刚石结构； 氯化钠型结构。
01
可得
02
即
将（1）、（3）两式代入（2）式
2.7 立方ZnS的晶格常数a=5.41A，试计算其结合能 。 解： 已知公式 和 则
2.8 已知由N个惰性气体原子结合成的具有面心立方结构的晶体，其互作用能可表示为
式中R为最近邻原子间的距离，
2.9 设有一离子晶体,只计及最近邻离子间的排斥作用时,其两个 离子间的势能具有如下的形式:
(最近邻间)
(最近邻以外)
其中,为参数;R是最近邻距离.试求平衡时晶体总的互作用势能的表达式.晶体共包含2N个离子.
´
´
解:
以负离子为参考离子,同号取“-”,异号取“+”;
令最近邻离子间距离为R,则 ,
设最近邻离子数目为Z
´
2.10 由两种一价离子交替排列组成的一维晶体，若离子总数 为2N，试证明
(1) 平衡时的互作用势能为
(2) 如果晶体被压缩，使
，则外力对每个离子
所作的功
可表示为
解：(1)计入排斥作用，晶体中任意两离子i、j之间的互作用
式中，同号离子取“+”号。异号离子取“－”号。若取负离 子i作为参考离子，并忽略表面效应，则总的互作用能为
能
括号内对正离子取“+”号，对负离子取“－”号。以R表示最近 邻离子间距，并令
01
，则上式可写为
02
式中，
03
为马德隆常数；
04
。对于一维离子晶体，
05
马德隆常数为
06
所以 式中的代定参量B可如下确定：因为平衡时， 故有 从而得到 (1)
(2)如果晶体被压缩，
，则互作用能从
变为
由(1)、(2)两式求得势能的变化
01
解:对于NaCl晶体,V=NR3(N为正负离子总个数),R为最近邻离子距离.
02
晶体中最近邻原子间的距离缩短了约24%.
2.17 采用雷纳德--琼斯势，求体心立方和面心立方Ne的结合能之比(说明Ne取面心立方结构比体心立方结构更稳定)。
01
已知(A12)f=12.13； (A6)f=14.45； (A12)b=9.11； (A6)b=12.25。
今若排斥项 由 来代替，且当晶体处于平衡时，这两者对互作用势能的贡献相同，试求出n与 的关系。
已知
（1）
由
解：晶体平衡时，原子间最近邻距离一定为
（ 不因求解时排斥势选择不同而不同）
得
又
得
由平衡条件
05
得到离子平衡间距作为离子带电状态的函数
从而晶体的内能也作为离子带电状态的函数 由（1）、（2）两式可知，当离子带电量加倍时，则有
3
4
1
体积弹性模量可按下式求出
2.5 有一晶体在平衡时的体积为 ，原子间总的互作用能为 。若原子间互作用能由式 表述，试证明晶 体的体积弹性模量为 。