高三数学一轮复习三角函数、解三角形
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三角函数、解三角形
第一节 第二节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 同角三角函数的基本关系与诱导公式
第三节
第四节 数
三角函用
第五节 第六节 第七节 第八节
两角和与差的正弦、余弦和正切公式 简单的三角恒等变换 正弦定理和余弦定理 正弦定理和余弦定理的应用
答案： B
3．(教材习题改编)若sin α<0且tan α>0，则α是( A．第一象限角 C．第三象限角 B．第二象限角 D．第四象限角
)
解析：由sin α<0，知α在第三、第四象限或α终边在y
轴的负半轴上，由tan α>0，知α在第一或第三象限，
因此α在第三象限． 答案：C
2π 4．若点 P 在 角的终边上，且 P 的坐标为(－1，y)，则 3 y 等于________．
≥2，当且仅当 t＝1 时，tan α 取得最小值 2.
(2)由题意知点 P 在第四象限，根据三角函数的定义 2π 3 π 得 cos α＝sin ＝ ，故 α＝2kπ－ (k∈Z)，所以 α 的 3 2 6 11π 最小正值为 . 6
[答案] (1)B
(2)D
定义法求三角函数值的两种情况
(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解． (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出 终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利 用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角 为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．
位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的 .AT 我们把有
向线段OM、MP、AT叫做α的
正弦线 、 正切线 .
余弦线 、
三角函数线 有向线段 MP 有向线段 OM 有向线段 AT
为正弦线
为余弦线
为正切线
[小题能否全取] 1．－870°的终边在第几象限 A．一 B．二 ( )
C．三
D．四
叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为 正数 ，负角的弧度数为
l 负数 ，零角的弧度数为 零 ，|α|＝ r ，l 是以角 α 作
为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． 比值 l 无关，仅与 角的大小 有关． 与所取的 r 的大小 r
π 弧度． ④弧度与角度的换算：360°＝2π 弧度；180°＝
式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα、
π±α等形式的角范围，然后就k的可能取值讨论所求角 的终边位置．
1．(1)给出下列四个命题： 3π 4π ①－ 是第二象限角；② 是第三象限角；③－400° 4 3 是第四角限角；④－315° 是第一象限角．其中正确的 命题有 ( )
A．1个 C．3个
(2)设圆心角是 θ，半径是 r， 则 2r＋rθ＝40. 1 2 1 S ＝ θ· r ＝ r(40－2r)＝r(20－r) 2 2 ＝－(r－10)2＋100 ≤100， 当且仅当 r＝10 时，Smax＝100. 所以当 r＝10，θ＝2 时，扇形面积最大．
若本例(1)中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方
B． 2 D. 2
则tan α的最小值为
A．1 1 C. 2
)
(2)(2013· 大庆模拟)已知角 α 的终边上一点 P 的坐标
2π 2π 为sin 3 ，cos 3 ，则角
α 的最小正值为
(
)
5π A. 6 5π C. 3
2π B. 3 11π D. 6
[自主解答]
t2＋1 1 (1)根据已知条件得 tan α＝ t ＝t＋ t
三角函数、解三角形
[知识能否忆起]
超链接
1．任意角
(1)角的分类：
[动漫演示更形象，见配套课件]
①按旋转方向不同分为 正角 、 负角 、 零角 ． ②按终边位置不同分为 象限角 和 轴线角 ． (2)终边相同的角： 360°(k∈Z) ． 终边与角α相同的角可写成 α＋k·
(3)弧度制： ①1弧度的角：把长度等于 半径长 的弧所对的圆心角
B．2个 D．4个
(2)如果角α是第二象限角，则π－α角的终边在第________
象限．
3π 4π π 解析：(1)－ 是第三象限角，故①错误. ＝π＋ ，从而 4 3 3 4π 是第三象限角正确．－400° ＝－360° －40° ，从而③正 3 确．－315° ＝－360° ＋45° ，从而④正确．
[答案] －8
1.误认为点P在单位圆上，而直接利用三角函数定 义，从而得出错误结果.
2.利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要
根据定义正确地求得x，y，r的值；然后对于含参数问 题要注意分类讨论.
针对训练
已知角 α 的终边过点 P(－8m， －6sin 30° )， 且 cos α 4 ＝－ ，则 m 的值为 5 ( )
形的边长，则其圆心角的弧度数是________．
解析： 设圆半径为 R， 则圆内接正方形的对角线长为 2R， 2R ∴正方形边长为 2R，∴圆心角的弧度数是 R ＝ 2.
答案： 2
1．在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度
制下更方便、简捷．
1 1 2 2． 记住下列公式： ①l＝αR； ②S＝ lR； ③S＝ αR . 2 2 其中 R 是扇形的半径，l 是弧长，α(0<α<2π)为圆心角， S 是扇形面积．
[典例]
2011· 江西高考已知角 θ 的顶点为坐,标原
点，始边为 x 轴的正半轴.若 P4，y是角 θ 终边上,一点， 且 sin θ＝－
2 5 ，则 y＝ 5
.
[ 尝试解题 ]
r ＝ x2＋y2 ＝ 16＋y2，且 sin θ ＝－
2 5 y y 2 5 ，所以 sin θ＝r ＝ 2＝－ 5 ，所以 θ 为第四象 5 16＋y 限角，解得 y＝－8.
(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何
值时，才使扇形面积最大？
[自主解答]
(1)设圆心角是 θ，半径是 r，
2r＋rθ＝10 r＝4， r＝1， 则1 2 ⇒ (舍)， 1 θ· r ＝4 θ＝ ， θ＝8 2 2 1 故扇形圆心角为 . 2
⑤弧长公式： l＝|α|r ，扇形面积公式：
1 2 1 |α|r lr 2 S 扇形＝ 2 ＝ .
2．任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数定义： 设 α 是一个任意角， 角 α 的终边与单位圆交于点 P(x， y)，那么角 α 的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝ y ，cos
y α＝ x ，tan α＝ x ，它们都是以角为 自变量 ，以单位圆
解析：因－870°＝－2×360°－150°.－150°是 第三象限角． 答案：C
2．已知角 α 的终边经过点( 3，－1)，则角 α 的最小正 值是
2π A. 3 5π C. 6 11π B. 6 3π D. 4
(
)
－1 1 解析：∵sin α＝ ＝－ ，且 α 的终边在第四象限， 2 2 11 ∴α＝ π. 6
π (2)由已知 ＋2kπ<α<π＋2kπ(k∈Z)， 2 π 则－π－2kπ<－α<－ －2kπ(k∈Z)， 2 π 即－π＋2kπ<－α<－ ＋2kπ(k∈Z)， 2 π 故 2kπ<π－α< ＋2kπ(k∈Z)， 2 所以 π－α 是第一象限角．
答案：(1)C (2)一
[例2]
(1)已知角α的终边上有一点P(t，t2＋1)(t>0)， (
2π 解析：因 tan ＝－ 3＝－y，∴y＝ 3. 3
答案： 3
5．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________， 面积为________．
3 解析：弧长 l＝3π，圆心角 α＝ π， 4 l 3π 1 由弧长公式 l＝α· r 得 r＝α＝ ＝4， 面积 S＝ lr＝6π. 3 2 π 4
上点的坐标或坐的标比值为 函数值 的函数．
(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、 二正弦、三正切、四余弦．
3．三角函数线
设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合， 终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三 角函数的定义知，点P的坐标为 (cos α，sin α ) ， MP ，单 即 P(cos α，sin α) ，其中cos α＝ OM ，sin α＝ 终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝
3．若扇形的面积为定值，当扇形的圆心角为多少弧度时，
该扇形的周长取到最小值？
解：设扇形的圆心角为 α，半径为 R，弧长为 l，根据已知 2S扇 1 条件 lR＝S 扇，则扇形的周长为：l＋2R＝ ＋2R≥4 S扇， R 2 2S扇 当且仅当 ＝2R，即 R＝ S扇时等号成立，此时 l＝2 S扇， R l α＝ ＝2， R 因此当扇形的圆心角为 2 弧度时，扇形的周长取到最小值．
2．(1)(2013· 东莞调研)已知角 α 的终边与单位圆的交点
P x，
3 ，则 tan α＝ 2
(
)
A. 3 3 C. 3
B． ± 3 3 D．± 3
(2)(2012· 潍坊质检)已知角α的终边经过点P(m，－3)，且 4 cos α＝－ ，则m等于 5 ( )
11 A．－ 4 C．－4
1 A．－ 2 1 C. 2
3 B．－ 2 3 D. 2
解析：由点 P(－8m，－6sin 30° )在角 α 的终边上且 4 cos α＝－ ，知角 α 的终边在第三象限，则 m>0 ，又 cos 5 －8m 4 1 α＝ ＝－ ，所以 m＝ . 2 5 2 －8m ＋9
答案： C
教师备选题（给有能力的学生加餐）
(2)设集合
k M＝xx＝2 ×180° ＋45° ，k∈Z，
k N＝ x x＝4
×180° ＋45° ，k∈Z， 判断两集合的关系．
[自主解答] (1)所有与角 α 有相同终边的角可表示为： β＝45° ＋k×360° (k∈Z)， 则令－720° ≤45° ＋k×360° <0° ， 765 45 得－765° ≤k×360° <－45° ，解得－ ≤k<－ ， 360 360 从而 k＝－2 或 k＝－1，代入得 β＝－675° 或 β＝－315° .
1．已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，
则在[0,2π]内，α的取值范围是 (
π 3π 5π A.2， 4 ∪π， 4 π 3π 5π 3π C.2， 4 ∪ 4 ， 2
)
π π 5π B.4，2 ∪π， 4 π π 3π D.4，2 ∪ 4 ，π
2．三角函数定义的理解
三角函数的定义中，当 P(x，y)是单位圆上的点时有 y sin α＝y，cos α＝x，tan α＝x，但若不是单位圆时，如 y x y 圆的半径为 r，则 sin α＝r ，cos α＝ r ，tan α＝x.
[例1] 已知角α＝45°， (1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β；
答案：4
6π
1.对任意角的理解 (1)“小于90°的角”不等同于“锐角”“0°～90°的 角”不等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是
{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为
{α|k· 360°<α<k· 360°＋90°，k∈Z}． (2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定 相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．
(2)因为M＝{x|x＝(2k＋1)×45°，k∈Z}表示的是终
边落在四个象限的平分线上的角的集合；
而集合N＝{x|x＝(k＋1)×45°，k∈Z}表示终边落在 坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：M N.
1．利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的 角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合， 然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角． 2．已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形
11 B. 4 D．4
3 解析：(1)由|OP| ＝x ＋ ＝1， 4
2 2
1 得 x＝± ，tan α＝± 3. 2
m 4 (2)由题意可知，cos α＝ ＝－ ， 2 5 m ＋9 又 m<0，解得 m＝－4.
答案：（1）B（2）C
[例3] 圆心角．
(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的
三角函数、解三角形
第一节 第二节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 同角三角函数的基本关系与诱导公式
第三节
第四节 数
三角函用
第五节 第六节 第七节 第八节
两角和与差的正弦、余弦和正切公式 简单的三角恒等变换 正弦定理和余弦定理 正弦定理和余弦定理的应用
答案： B
3．(教材习题改编)若sin α<0且tan α>0，则α是( A．第一象限角 C．第三象限角 B．第二象限角 D．第四象限角
)
解析：由sin α<0，知α在第三、第四象限或α终边在y
轴的负半轴上，由tan α>0，知α在第一或第三象限，
因此α在第三象限． 答案：C
2π 4．若点 P 在 角的终边上，且 P 的坐标为(－1，y)，则 3 y 等于________．
≥2，当且仅当 t＝1 时，tan α 取得最小值 2.
(2)由题意知点 P 在第四象限，根据三角函数的定义 2π 3 π 得 cos α＝sin ＝ ，故 α＝2kπ－ (k∈Z)，所以 α 的 3 2 6 11π 最小正值为 . 6
[答案] (1)B
(2)D
定义法求三角函数值的两种情况
(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解． (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出 终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利 用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角 为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．
位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的 .AT 我们把有
向线段OM、MP、AT叫做α的
正弦线 、 正切线 .
余弦线 、
三角函数线 有向线段 MP 有向线段 OM 有向线段 AT
为正弦线
为余弦线
为正切线
[小题能否全取] 1．－870°的终边在第几象限 A．一 B．二 ( )
C．三
D．四
叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为 正数 ，负角的弧度数为
l 负数 ，零角的弧度数为 零 ，|α|＝ r ，l 是以角 α 作
为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． 比值 l 无关，仅与 角的大小 有关． 与所取的 r 的大小 r
π 弧度． ④弧度与角度的换算：360°＝2π 弧度；180°＝
式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα、
π±α等形式的角范围，然后就k的可能取值讨论所求角 的终边位置．
1．(1)给出下列四个命题： 3π 4π ①－ 是第二象限角；② 是第三象限角；③－400° 4 3 是第四角限角；④－315° 是第一象限角．其中正确的 命题有 ( )
A．1个 C．3个
(2)设圆心角是 θ，半径是 r， 则 2r＋rθ＝40. 1 2 1 S ＝ θ· r ＝ r(40－2r)＝r(20－r) 2 2 ＝－(r－10)2＋100 ≤100， 当且仅当 r＝10 时，Smax＝100. 所以当 r＝10，θ＝2 时，扇形面积最大．
若本例(1)中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方
B． 2 D. 2
则tan α的最小值为
A．1 1 C. 2
)
(2)(2013· 大庆模拟)已知角 α 的终边上一点 P 的坐标
2π 2π 为sin 3 ，cos 3 ，则角
α 的最小正值为
(
)
5π A. 6 5π C. 3
2π B. 3 11π D. 6
[自主解答]
t2＋1 1 (1)根据已知条件得 tan α＝ t ＝t＋ t
三角函数、解三角形
[知识能否忆起]
超链接
1．任意角
(1)角的分类：
[动漫演示更形象，见配套课件]
①按旋转方向不同分为 正角 、 负角 、 零角 ． ②按终边位置不同分为 象限角 和 轴线角 ． (2)终边相同的角： 360°(k∈Z) ． 终边与角α相同的角可写成 α＋k·
(3)弧度制： ①1弧度的角：把长度等于 半径长 的弧所对的圆心角
B．2个 D．4个
(2)如果角α是第二象限角，则π－α角的终边在第________
象限．
3π 4π π 解析：(1)－ 是第三象限角，故①错误. ＝π＋ ，从而 4 3 3 4π 是第三象限角正确．－400° ＝－360° －40° ，从而③正 3 确．－315° ＝－360° ＋45° ，从而④正确．
[答案] －8
1.误认为点P在单位圆上，而直接利用三角函数定 义，从而得出错误结果.
2.利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要
根据定义正确地求得x，y，r的值；然后对于含参数问 题要注意分类讨论.
针对训练
已知角 α 的终边过点 P(－8m， －6sin 30° )， 且 cos α 4 ＝－ ，则 m 的值为 5 ( )
形的边长，则其圆心角的弧度数是________．
解析： 设圆半径为 R， 则圆内接正方形的对角线长为 2R， 2R ∴正方形边长为 2R，∴圆心角的弧度数是 R ＝ 2.
答案： 2
1．在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度
制下更方便、简捷．
1 1 2 2． 记住下列公式： ①l＝αR； ②S＝ lR； ③S＝ αR . 2 2 其中 R 是扇形的半径，l 是弧长，α(0<α<2π)为圆心角， S 是扇形面积．
[典例]
2011· 江西高考已知角 θ 的顶点为坐,标原
点，始边为 x 轴的正半轴.若 P4，y是角 θ 终边上,一点， 且 sin θ＝－
2 5 ，则 y＝ 5
.
[ 尝试解题 ]
r ＝ x2＋y2 ＝ 16＋y2，且 sin θ ＝－
2 5 y y 2 5 ，所以 sin θ＝r ＝ 2＝－ 5 ，所以 θ 为第四象 5 16＋y 限角，解得 y＝－8.
(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何
值时，才使扇形面积最大？
[自主解答]
(1)设圆心角是 θ，半径是 r，
2r＋rθ＝10 r＝4， r＝1， 则1 2 ⇒ (舍)， 1 θ· r ＝4 θ＝ ， θ＝8 2 2 1 故扇形圆心角为 . 2
⑤弧长公式： l＝|α|r ，扇形面积公式：
1 2 1 |α|r lr 2 S 扇形＝ 2 ＝ .
2．任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数定义： 设 α 是一个任意角， 角 α 的终边与单位圆交于点 P(x， y)，那么角 α 的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝ y ，cos
y α＝ x ，tan α＝ x ，它们都是以角为 自变量 ，以单位圆
解析：因－870°＝－2×360°－150°.－150°是 第三象限角． 答案：C
2．已知角 α 的终边经过点( 3，－1)，则角 α 的最小正 值是
2π A. 3 5π C. 6 11π B. 6 3π D. 4
(
)
－1 1 解析：∵sin α＝ ＝－ ，且 α 的终边在第四象限， 2 2 11 ∴α＝ π. 6
π (2)由已知 ＋2kπ<α<π＋2kπ(k∈Z)， 2 π 则－π－2kπ<－α<－ －2kπ(k∈Z)， 2 π 即－π＋2kπ<－α<－ ＋2kπ(k∈Z)， 2 π 故 2kπ<π－α< ＋2kπ(k∈Z)， 2 所以 π－α 是第一象限角．
答案：(1)C (2)一
[例2]
(1)已知角α的终边上有一点P(t，t2＋1)(t>0)， (
2π 解析：因 tan ＝－ 3＝－y，∴y＝ 3. 3
答案： 3
5．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________， 面积为________．
3 解析：弧长 l＝3π，圆心角 α＝ π， 4 l 3π 1 由弧长公式 l＝α· r 得 r＝α＝ ＝4， 面积 S＝ lr＝6π. 3 2 π 4
上点的坐标或坐的标比值为 函数值 的函数．
(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、 二正弦、三正切、四余弦．
3．三角函数线
设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合， 终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三 角函数的定义知，点P的坐标为 (cos α，sin α ) ， MP ，单 即 P(cos α，sin α) ，其中cos α＝ OM ，sin α＝ 终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝
3．若扇形的面积为定值，当扇形的圆心角为多少弧度时，
该扇形的周长取到最小值？
解：设扇形的圆心角为 α，半径为 R，弧长为 l，根据已知 2S扇 1 条件 lR＝S 扇，则扇形的周长为：l＋2R＝ ＋2R≥4 S扇， R 2 2S扇 当且仅当 ＝2R，即 R＝ S扇时等号成立，此时 l＝2 S扇， R l α＝ ＝2， R 因此当扇形的圆心角为 2 弧度时，扇形的周长取到最小值．
2．(1)(2013· 东莞调研)已知角 α 的终边与单位圆的交点
P x，
3 ，则 tan α＝ 2
(
)
A. 3 3 C. 3
B． ± 3 3 D．± 3
(2)(2012· 潍坊质检)已知角α的终边经过点P(m，－3)，且 4 cos α＝－ ，则m等于 5 ( )
11 A．－ 4 C．－4
1 A．－ 2 1 C. 2
3 B．－ 2 3 D. 2
解析：由点 P(－8m，－6sin 30° )在角 α 的终边上且 4 cos α＝－ ，知角 α 的终边在第三象限，则 m>0 ，又 cos 5 －8m 4 1 α＝ ＝－ ，所以 m＝ . 2 5 2 －8m ＋9
答案： C
教师备选题（给有能力的学生加餐）
(2)设集合
k M＝xx＝2 ×180° ＋45° ，k∈Z，
k N＝ x x＝4
×180° ＋45° ，k∈Z， 判断两集合的关系．
[自主解答] (1)所有与角 α 有相同终边的角可表示为： β＝45° ＋k×360° (k∈Z)， 则令－720° ≤45° ＋k×360° <0° ， 765 45 得－765° ≤k×360° <－45° ，解得－ ≤k<－ ， 360 360 从而 k＝－2 或 k＝－1，代入得 β＝－675° 或 β＝－315° .
1．已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，
则在[0,2π]内，α的取值范围是 (
π 3π 5π A.2， 4 ∪π， 4 π 3π 5π 3π C.2， 4 ∪ 4 ， 2
)
π π 5π B.4，2 ∪π， 4 π π 3π D.4，2 ∪ 4 ，π
2．三角函数定义的理解
三角函数的定义中，当 P(x，y)是单位圆上的点时有 y sin α＝y，cos α＝x，tan α＝x，但若不是单位圆时，如 y x y 圆的半径为 r，则 sin α＝r ，cos α＝ r ，tan α＝x.
[例1] 已知角α＝45°， (1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β；
答案：4
6π
1.对任意角的理解 (1)“小于90°的角”不等同于“锐角”“0°～90°的 角”不等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是
{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为
{α|k· 360°<α<k· 360°＋90°，k∈Z}． (2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定 相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．
(2)因为M＝{x|x＝(2k＋1)×45°，k∈Z}表示的是终
边落在四个象限的平分线上的角的集合；
而集合N＝{x|x＝(k＋1)×45°，k∈Z}表示终边落在 坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：M N.
1．利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的 角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合， 然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角． 2．已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形
11 B. 4 D．4
3 解析：(1)由|OP| ＝x ＋ ＝1， 4
2 2
1 得 x＝± ，tan α＝± 3. 2
m 4 (2)由题意可知，cos α＝ ＝－ ， 2 5 m ＋9 又 m<0，解得 m＝－4.
答案：（1）B（2）C
[例3] 圆心角．
(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的