北京市朝阳区达标名校2018年高考三月大联考数学试卷含解析

北京市朝阳区达标名校2018年高考三月大联考数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知实数0,1a b >>满足5a b +＝，则
21
1
a b +-的最小值为（ ） A
．
34
+ B
．
34+ C
．
36
+ D
．
36
+ 2．存在点()00,M x y 在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上，且点M 在第一象限，使得过点M 且与椭圆在此
点的切线
0022
1x x y y a b +=垂直的直线经过点0,2b ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A
．⎛ ⎝⎦
B
．⎫
⎪⎪⎝⎭
C
．⎛ ⎝⎦
D
．⎫
⎪⎪⎝⎭
3．若实数x ，y 满足条件250
24001
x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y =-，则z 的最大值为( )
A ．
5
2
B ．1
C ．2
D ．0
4．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为( ) A
．16
-
B ．
34
C
．
6
D ．
14
5．设函数()21010 0x x x f x lgx x ⎧++≤⎪
=⎨>⎪⎩
，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1
234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ）
A ．(]0101，
B ．(]099，
C ．(]0100，
D ．()0+∞，
6．正方形ABCD 的边长为2，E 是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且2AE AC ⋅=，则()
2
AE AC +的最小值为（ ） A ．
23
2
B ．12
C ．
252
D ．13
7．若双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>的渐近线与圆()2
221x y -+=相切，则双曲线的离心率为( )
A ．2
B ．
3 C ．
23
3
D ．3
8．已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的右焦点为,F O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双 曲线C
的一条渐近线交于点O 及点3
3,
2A ⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭，则双曲线C 的方程为（ ） A ．2
213
y x -=
B ．22126
x y -=
C ．2213
x y -=
D ．22162
x y -=
9．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k 的值是( ) A ．1 B ．-3
C ．1或
53
D ．-3或
173
10．函数
的图象可能是下面的图象( )
A ．
B ．
C ．
D ．
11．1x <是1
2x x
+<-的（ ）条件 A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
12．已知,m n 表示两条不同的直线，αβ，表示两个不同的平面，且,m n αβ⊥⊂，则“αβ⊥”是“//m n ”的( )条件. A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知抛物线()2
20y px p =>的焦点为F ，斜率为22F 且与抛物线交于A B ，两点，O 为
坐标原点，若A 在第一象限，那么
AFO BFO
S S
=_______________．
14．在平面五边形ABCDE 中，60A ∠=︒，63AB AE ==BC CD ⊥，且6BC DE ==.将五边形
ABCDE 沿对角线BE 折起，使平面ABE 与平面BCDE 所成的二面角为120︒，则沿对角线BE 折起后所得几何体的外接球的表面积是______.
15．函数2()log 2f x x =-的定义域是 ．
16．如图，已知圆内接四边形ABCD ，其中6AB =，3BC =，4CD =，5AD =，则
22sin sin A B
+=__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数123()()()()f x x x x x x x =---，123,,x x x R ∈，且123x x x <<． （1）当123012x x x ===，，时，求函数()f x 的减区间； （2）求证：方程()0f x '=有两个不相等的实数根；
（3）若方程()0f x '=的两个实数根是()αβαβ<，，试比较12
2
x x +，23
2
x x +与αβ，的大小，并说明理由．
18．{}2*
112n 11=1=,.n 2
n n n n
n a a a a n N n ++++∈+已知数列满足， (Ⅰ)证明：22n n a ≥≥当时， ()
*
n N ∈；
(Ⅱ)证明：()1121111
=21223
12
n n n a a a a n n ++++-⋅⋅⋅+(*n N ∈)；
(Ⅲ)证明：43
1,42
n a e e <
为自然常数. 19．（6分）已知函数()2
x x f x e
= ，
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）当240m e <<时，判断函数()2
x x g x m e
=-，（0x ≥）有几个零点，并证明你的结论；
（3）设函数()()()2
111122
h x x f x x f x cx x x ⎡⎤=-+----⎢⎥⎣⎦，若函数()h x 在()0+∞，为增函数，求实数c 的取值范围．
20．（6分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ()23sin 4sin
2
C
A B +=. （1）求cosC ；
（2）若b ＝7，D 是BC 边上的点，且△ACD 的面积为63sin ∠ADB.
21．（6分）已知离心率为12的椭圆22
22:1x y M a b
+=(0)a b >>经过点31,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭.
(1)求椭圆M 的方程；
(2)荐椭圆M 的右焦点为F ，过点F 的直线AC 与椭圆M 分别交于,A B ，若直线DA 、DC 、DB 的斜率成等差数列，请问DCF ∆的面积DCF S ∆是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 22．（8分）在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示: 试销价格
x (元)
4 5 6 7 8 9
产品销量y (件)
89 83 82 79 74 67
已知变量,x y 且有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲
453y x =+； 乙4105y x =-+；丙 4.6104y x =-+，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.
（1）试判断谁的计算结果正确？
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据”的个数X 的分布列和数学期望. 23．（8分）已知函数，记
的最小值为.
（Ⅰ）解不等式
；
（Ⅱ）若正实数，满足
，求证：
.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。

1．A 【解析】 【分析】
所求
211
a b +-的分母特征，利用5a b +＝变形构造(1)4a b +-=，再等价变形121
()[(1)]41a b a b +
+--，利用基本不等式求最值. 【详解】
解：因为0,1a b >>满足5a b +＝， 则
()21211
()1114
a b a b a b +=++-⨯⎡⎤⎣⎦-- (
)21113(3414
b a a b -⎡⎤=++≥+⎢⎥-⎣⎦， 当且仅当
()211
b a
a b -=
-时取等号， 故选：A ． 【点睛】
本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 2．D 【解析】 【分析】
根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可. 【详解】
因为过点M 椭圆的切线方程为00221x x y y
a b
+=,所以切线的斜率为2020b x a y -,
由
20020021b y b x x a y +
⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭
,解得3
022b
y b c =<,即222b c <,所以2222a c c -<,
所以
3
c a >
. 故选：D 【点睛】
本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题. 3．C 【解析】 【分析】
画出可行域和目标函数，根据平移得到最大值. 【详解】
若实数x ，y 满足条件25024001
x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y =-
如图：
当
3
,12
x y =
=时函数取最大值为2 故答案选C 【点睛】
求线性目标函数(0)z ax by ab =+≠的最值:
当0b >时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小； 当0b <时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大. 4．A 【解析】 【分析】
求出满足条件的正ABC ∆的面积，再求出满足条件的正ABC ∆内的点到顶点A 、B 、C 的距离均不小于
2的图形的面积，然后代入几何概型的概率公式即可得到答案．
【详解】
满足条件的正ABC ∆如下图所示：
其中正ABC ∆的面积为2
3443ABC S ∆=
= 满足到正ABC ∆的顶点A 、B 、C 的距离均不小于2的图形平面区域如图中阴影部分所示，
阴影部分区域的面积为21
222
S ππ=
⨯⨯=. 则使取到的点到三个顶点A 、B 、C 的距离都大于2
的概率是116P ==-. 故选：A. 【点睛】
本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题． 5．B 【解析】 【分析】
画出函数图像，根据图像知：1210x x +=-，341x x =，
31
110
x ≤<，计算得到答案. 【详解】
()2
1010 lg 0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩
，，，画出函数图像，如图所示：
根据图像知：1210x x +=-，34lg lg x x =-，故341x x =，且
31
110
x ≤<. 故()()(]1234330110,99x x x x x x ⎛⎫
∈ ⎪⎭
-
⎝+-=-. 故选：B .
【点睛】
本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键. 6．C 【解析】 【分析】
分别以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴建立平面直角坐标系，设(,)E x y ，根据2AE AC ⋅=，可求
1x y +=，而2
2
2()(2)(2)AE
AC x
y
，化简求解.
【详解】
解：建立以A 为原点，以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴的平面直角坐标系.设(,)E x y ，(0,2)x ∈，
(0,2)y ∈，则(,)AE x y =，(2,2)AC =，由2AE AC ⋅=，即222x y +=，得1x y +=.所以
2
2
2
()(2)(2)AE
AC x
y 22
4()8x y x y
22213x x =21252()2
2
x
，所以当1
2x =时，2()AE
AC 的最小值为
25
2
. 故选：C. 【点睛】
本题考查向量的数量积的坐标表示，属于基础题. 7．C 【解析】 【分析】
利用圆心(2,0)到渐近线的距离等于半径即可建立,,a b c 间的关系. 【详解】
由已知，双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，故圆心(2,0)到渐近线的距离等于1
1=，
所以223a b ，c e a =
===
故选：C. 【点睛】
本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立,,a b c 三者间的方程或不等关系，本题是一道基础题. 8．C 【解析】 【分析】
根据双曲线方程求出渐近线方程：b y x a =
，再将点32A ⎛ ⎝⎭
代入可得3b a =，连接FA ，根据圆的
3=
，从而可求出c ，再由222c a b =+即可求解. 【详解】
由双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>，
则渐近线方程：b
y x a
=±
，
b ∴=
，
连接FA ，则23333
FA
c b AO a -===，解得2c =， 所以2224c a b =+=，解得2
2
3,1a b ==.
故双曲线方程为2
213
x y -=.
故选：C 【点睛】
本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题. 9．D 【解析】 【分析】 由题得
2
2
2512645(12)
k ⨯-+=+-，解方程即得k 的值.
【详解】 由题得
22
2512645(12)k ⨯-+=+-，解方程即得k=-3或173
.
故答案为：D 【点睛】
(1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 点
00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离002
2
Ax By C d A B
++=
+.
10．C 【解析】 因为
，所以函数
的图象关于点（2,0）对称，排除A ，B ．当时，
，所以，排除D ．选C ．
11．B 【解析】 【分析】
利用充分条件、必要条件与集合包含关系之间的等价关系，即可得出。

【详解】
设:p 1x <对应的集合是(,1)A =-∞，由1
2x x
+<-解得0x <且1x ≠-
:q 12x x
+<-对应的集合是()
(),11,0B =-∞-- ，所以
B
A ，
故1x <是1
2x x
+<-的必要不充分条件，故选B 。

【点睛】
本题主要考查充分条件、必要条件的判断方法——集合关系法。

设{}{}
B A x x p x x q =∈=∈， ， 如果A B ⊆，则p 是q 的充分条件；如果
A B 则p 是q 的充分不必要条件；
如果B A ⊆，则p 是q 的必要条件；如果
B A ，则p 是q 的必要不充分条件。

12．B 【解析】 【分析】
根据充分必要条件的概念进行判断. 【详解】
对于充分性：若αβ⊥，则,m n 可以平行，相交，异面，故充分性不成立； 若//m n ，则,n n αβ⊥⊂，可得αβ⊥，必要性成立. 故选：B 【点睛】
本题主要考查空间中线线，线面，面面的位置关系，以及充要条件的判断，考查学生综合运用知识的能力.解决充要条件判断问题，关键是要弄清楚谁是条件，谁是结论. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．2 【解析】 【分析】
如图所示，先证明
||||
AFO BFO
S AF S
BF =
，再利用抛物线的定义和相似得到
||
2||
AFO BFO
S
AF S BF =
=. 【详解】
由题得1||||sin 2AFO S OF AF AFO ∆=
⋅∠,1
||||sin 2
BFO S OF BF BFO ∆=⋅∠. 因为,sin sin AFO BFO AFO BFO π∠+∠=∴∠=∠.
所以
||
||
AFO BFO
S
AF S
BF =
, 过点A 、B 分别作准线的垂线，垂足分别为M ，N ，过点B 作BE AM ⊥于点E, 设|BF|=m ，|AF|=n ，则|BN|=m ，|AM|=n ， 所以|AE|=n-m ，因为22AB k =所以|AB|=3(n-m)， 所以3(n-m)=n+m ， 所以
2n
m
=. 所以
||=2||AFO BFO
S AF n
S
BF m
=
=. 故答案为：2 【点睛】
本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14．252π 【解析】 【分析】
设ABE ∆的中心为1O ，矩形BCDE 的中心为2O ，过1O 作垂直于平面ABE 的直线1l ，过2O 作垂直于平面BCDE 的直线2l ，得到直线1l 与2l 的交点O 为几何体ABCDE 外接球的球心，结合三角形的性质，求得球的半径，利用表面积公式，即可求解.
【详解】
设ABE ∆的中心为1O ，矩形BCDE 的中心为2O ，
过1O 作垂直于平面ABE 的直线1l ，过2O 作垂直于平面BCDE 的直线2l ， 则由球的性质可知，直线1l 与2l 的交点O 为几何体ABCDE 外接球的球心， 取BE 的中点F ，连接1O F ，2O F ，
由条件得123O F O F ==，12120O FO ∠=︒，连接OF ， 因为12OFO OFO ∆≅∆，从而133OO =， 连接OA ，则OA 为所得几何体外接球的半径，
在直角1AOO ∆中，由16O A =，133OO =，可得222
11273663OA OO O A =+=+=，
即外接球的半径为63R OA ==，
故所得几何体外接球的表面积为24252S R ππ==. 故答案为：252π.
【点睛】
本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及多面体的外接球的表面积的计算，其中解答中熟记空间几何体的结构特征，求得外接球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力与运算求解能力，属于中档试题.
15．[4,)+∞ 【解析】
解：因为2log 204x x -≥∴≥，故定义域为[4,)+∞ 16410 【解析】 【分析】
由题意可知A C π+=，B D π+=，在ABD ∆和BCD ∆中，利用余弦定理建立 方程求cos A ，同理求cos B ，求sin ,sin A B ，代入求值. 【详解】
由圆内接四边形的性质可得180C A ∠=︒-∠,180D B ∠=︒-∠．连接BD ，在ABD ∆中， 有2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅．在BCD ∆中，2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅． 所以22222cos 2cos AB AD AB AD A BC CD BC CD A +-⋅=++⋅,
则2222222265343
cos 2()2(6534)7AB AD BC CD A AB AD BC CD +--+--=
==⋅+⋅⨯+⨯，所以
sin A ===
连接AC ，同理可得2222222263541
cos 2()2(6354)19
AB BC AD CD B AB BC AD CD +--+--=
==⋅+⋅⨯+⨯,
所以sin
B ===
22sin sin A B +=+=
【点睛】
本题考查余弦定理解三角形，同角三角函数基本关系，意在考查方程思想，计算能力，属于中档题型，本题的关键是熟悉圆内接四边形的性质，对角互补.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）(1+（2）详见解析（3）231222x x x x αβ++<<<
【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（1）当123012x x x ===，，时，322()(1)(2)=32,()362,f x x x x x x x f x x x =---+=-+'，
由()0f x <得()f x 减区间(133
-
+；
（2）因为32123122331123()()()f x x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，所以
2123122331()32()()f x x x x x x x x x x x x =-+++'++，因为2221223312[()()()]0
x x x x x x ∆=-+-+->所以，方程()0f x '=有两个不相等的实数根；（3）因为2
1221
()()024
x x x x f +-=-<'，
2
2323()()0
24
x x x x f +-=-<'，所以231222x x x x αβ++<<< 试题解析：（1）当123012x x x ===，，时，322()(1)(2)=32,()362,f x x x x x x x f x x x =---+=-+'，由()0f x <得()f x 减区间33
(1,1)33
-
+； （2）法1：32
123122331123()()()f x x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，
2123122331()32()()f x x x x x x x x x x x x =-+++'++
2221223312[()()()]0x x x x x x ∆=-+-+->，123x x x <<，
所以，方程()0f x '=有两个不相等的实数根；
法2：122331()()()()()()()f x x x x x x x x x x x x x =--+---'-+，
22321()()()0f x x x x x -'=-<，
()f x 是开口向上的二次函数，
所以，方程()0f x '=有两个不相等的实数根；
（3）因为2
1221()()024x x x x f +-=-<'，
2
2323()()024
x x x x f +-=-<'，
又()f x 在(,)α-∞和(,)β+∞增，()f x 在(,)αβ减， 所以23
1222
x x x x αβ++<
<<． 考点：利用导数求函数减区间，二次函数与二次方程关系 18． (Ⅰ)见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析 【解析】 【分析】
()1运用数学归纳法证明即可得到结果
()2化简21211
2
n n n n n a a n n +++=++，运用累加法得出结果
()3运用放缩法和累加法进行求证
【详解】
（Ⅰ）数学归纳法证明
时，
①当时，成立；
②当时，假设成立，则时
所以时，成立
综上①②可知，时，
（Ⅱ）由
得
所以；；
故，又所以
(Ⅲ)
由累加法得：
所以故
【点睛】
本题考查了数列的综合，运用数学归纳法证明不等式的成立，结合已知条件进行化简求出化简后的结果，利用放缩法求出不等式，然后两边同时取对数再进行证明，本题较为困难。

19．（1）单调增区间()0,2,单调减区间为(),0-∞,()2,+∞;（2）有2个零点，证明见解析;（3）3
1
2c e ≤- 【解析】 【分析】
()1对函数()f x 求导,利用导数()'f x 的正负判断函数()f x 的单调区间即可;
()2函数2
(),(0)x x g x m x e
=-≥有2个零点.根据函数的零点存在性定理即可证明;
()3记函数2
11()()(),0x x F x f x x x x x e x
=--=-+>,求导后利用单调性求得(1)(2)0F F ⋅<,由零点存在
性定理及单调性知存在唯一的0(1,2)x ∈,使0()0F x =，求得()h x 为分段函数,求导后分情况讨论：①当
0x x >时，利用函数的单调性将问题转化为()min 2c u x ≤的问题;②当00x x <<时，当0c ≤时,()0
h x '>在0(0,)x 上恒成立，从而求得c 的取值范围. 【详解】
（1）由题意知,222(2)
()()x x x x x e x e x x f x e e ⋅-⋅-=='，列表如下：
所以函数()f x 的单调增区间为()0,2，单调减区间为(),0-∞,()2,+∞.
（2）函数2
(),(0)x x g x m x e
=-≥有2个零点.证明如下：
因为240m e <<时，所以2
4
(2)0g m e
=->， 因为()()'2x
x x g x e
-=
,所以()'
0g x >在()0,2恒成立,()g x 在()0,2上单调递增， 由(2)0g >，(0)0g m =-<，且()g x 在()0,2上单调递增且连续知, 函数()g x 在()0,2上仅有一个零点，
由（1）可得0x ≥时,()()2f x f ≤()max f x =，
即224
1x x e e
≤<，故0x ≥时，2x e x >，
所以2444
1616
16m m m g m m
--=-==，
由2x e x >
得4
m
>
，平方得2
16m
>
，所以0g <， 因为()()'2x
x x g x e
-=
，所以()'
0g x <在()2,+∞上恒成立, 所以函数()g x 在()2,+∞上单调递减,因为2
4
0m e
<<
,
2>, 由(2)0g >
，0g <，且()g x 在()2,+∞上单调递减且连续得 ()g x 在()2,+∞上仅有一个零点，
综上可知：函数2
(),(0)x x g x m x e =-≥有2个零点.
（3）记函数211
()()(),0x x F x f x x x x x e x
=--=-+>，下面考察()F x 的符号．
求导得2
(2)1
()1,0x x x F x x e x
-'=
-->． 当2x ≥时()0F x '<恒成立．
当02x <<时，因为2
(2)(2)[
]12
x x x x +--≤=， 所以2222
(2x)11111
(x)11110x x x F e x e x x x
-'=--≤--<--=-<． ∴()0F x '<在(0,)+∞上恒成立，故()F x 在(0,)+∞上单调递减． ∵2143
(1)0,(2)02
F F e e =
>=-<，∴(1)(2)0F F ⋅<，又因为()F x 在[1,2]上连续， 所以由函数的零点存在性定理得存在唯一的0(1,2)x ∈，使0()0F x =， ∴00(0,),()0;(,),()0x x F x x x F x ∈>∈+∞<,
因为()()1F x x f x x =--,所以2
02
20
10(),x
x cx x x x
h x x cx x x e
⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，
∴02
1120()(2)2,x
cx x x x h x x x cx x x e
⎧+-<≤⎪⎪=⎨-⎪-'>⎪⎩，
因为函数()h x 在(0,)+∞上单调递增,()02
000010x x F x x x e
=-
-=, 所以()0h x '
≥在0(0,)x ，0(,)x +∞上恒成立．
①当0x x >时，
(2)20x
x x cx e --≥在0
(,)x +∞上恒成立，即22x x
c e -≤在0(,)x +∞上恒成立． 记02(),x x u x x x e -=>，则03
(),x x u x x x e
-'=>，
当x 变化时，()u x '，()u x 变化情况如下表：
∴min 3
()()(3)u x u x u e ===-极小， 故min 312()c u x e ≤=-，即31
2c e
≤-．
②当00x x <<
时，21()12h x cx x
'
=+-，当0c ≤时，()0h x '>在0(0,)x 上恒成立．
综合（1）（2）知， 实数c 的取值范围是31
2c e
≤-．
【点睛】
本题考查利用导数求函数的单调区间、极值、最值和利用零点存在性定理判断函数零点个数、利用分离参数法求参数的取值范围;考查转化与化归能力、逻辑推理能力、运算求解能力;通过构造函数()F x ,利用零点存在性定理判断其零点,从而求出函数()h x 的表达式是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.
20．（1）17；（2）
13
. 【解析】 【分析】
（1）根据诱导公式和二倍角公式，将已知等式化为角2
C
关系式，求出tan 2C ，再由二倍角余弦公式，即
可求解；
（2）在ACD 中，根据面积公式求出CD 长，根据余弦定理求出AD ，由正弦定理求出
sin ADC ∠，即可求出结论.
【详解】
（1
(
)224sin cos 4sin 2222C C C
C A B +==，
0,sin 0,tan 22222
C C C π<
<∴>∴=
， 2
22
22222cos sin 1tan 1222cos cos sin 227
cos sin 1tan 222
C C C
C C C C C C --=-===
++； （2）在ACD 中，由（1
）得sin
7
C =
， 17327
ACD
S
CD CD =⨯⨯⨯=∴=， 由余弦定理得
2221
2cos 499273527
AD b CD b CD C =+-
⋅⋅=+-⨯⨯⨯
=，
AD ∴=
ACD 中，
7,sin sin sin AD AC
ADC C ADC ⨯
=∴∠==∠， sin sin 13
ADB ADC ∴∠=∠=
. 【点睛】
本题考查三角恒等变换求值、面积公式、余弦定理、正弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.
21． (1)22
1
43
x y +=；(2)是，94 【解析】 【分析】 (1)根据12c e a =
=及222a b c =+可得2243b a =，再将点31,2D ⎛⎫
⎪⎝⎭
代入椭圆的方程与2243b a =联立解出22,a b ，即可求出椭圆的方程；
(2) 可设AC 所在直线的方程为(1)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,(1))C t k t -，将直线AC 的方程与椭圆的方程联立，用根与系数的关系求出1212,x x x x +，然后将直线DA 、DB 、DC 的斜率1k 、2k 、3k 分别用12,,x x t 表示，利用1232k k k +=可求出4t =，从而可确定点C 恒在一条直线4x =上，结合图形
即可求出DCF ∆的面积DCF S ∆．
【详解】
(1)因为椭圆的离心率为12，所以12c e a ==，即12
c a =， 又222a b c =+，所以2243b a =，① 因为点31,2D ⎛⎫
⎪⎝⎭在椭圆上，所以22
1914a b +=，② 由①②解得2243a b ⎧=⎨=⎩
，所以椭圆C 的方程为22
143x y +=． (1)可知1c =，(1,0)F ，可设AC 所在直线的方程为(1)y k x =-， 由22(1)14
3y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(34)84(3)0k x k x k +-+-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,(1))C t k t -，则2122834k x x k +=+，2
1224(3)34k x x k -+=， 设直线DA 、DB 、DC 的斜率分别为1k 、2k 、3k ，
因为,,A B F 三点共线，所以AF BF k k k ==，即
121211
y y k x x ==--， 所以12121212121233311221111211y y y y k k x x x x x x -
-⎛⎫+=+=+-+ ⎪------⎝⎭121212()2322121x x k k x x x x +-=-⋅=--++， 又33(1)21k t k t --
=-，
因为直线DA 、DC 、DB 的斜率成等差数列，所以1232k k k +=，
即(21)(1)2(1)3k t k t --=--，化简得4t =，即点C 恒在一条直线4x =上，
又因为直线DF 方程为1x =，且3||2DF =
， 所以DCF S ∆是定值1393224
DCF S ∆=
⨯⨯=. 【点睛】
本题主要考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系及椭圆中的定值问题，属于中档题．
22．（1）乙同学正确
（2）分布列见解析， ()32E X = 【解析】 【分析】 （1）由已知可得甲不正确，求出样本中心点(,)x y 代入验证，即可得出结论；
（2）根据（1）中得到的回归方程，求出估值，得到“理想数据”的个数，确定“理想数据”的个数X 的可能值，并求出概率，得到分布列，即可求解.
【详解】
（1）已知变量,x y 具有线性负相关关系，故甲不正确，
6.5,79x y ==，代入两个回归方程，验证乙同学正确，
故回归方程为：4105y x =-+
（2）由（1）得到的回归方程，计算估计数据如下表：
x 4 5 6
7 8 9 y
89 83 82 79 74 67 y 89 85 81 77 73
69 “理想数据”有3个，故“理想数据”的个数X 的取值为:
0,1,2,3. ()0333361020C C P X C ===，()1233369120
C C P X C === ()2133369220C C P X C ===，()3033361120
C C P X C === 于是“理想数据”的个数X 的分布列
X
0 1 2 3 P 120
920 920 120 ()0123202020202
E X ∴=⨯
+⨯+⨯+⨯= 【点睛】 本题考查样本回归中心点与线性回归直线方程关系，以及离散型随机变量的分布列和期望，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
23．（Ⅰ）
（Ⅱ）见证明
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意结合不等式的性质零点分段求解不等式的解集即可；
(Ⅱ)首先确定m的值，然后利用柯西不等式即可证得题中的不等式.
【详解】
（Ⅰ）①当时，，即，
∴；
②当时，，
∴；
③当时，，即，
∴.
综上所述，原不等式的解集为.
（Ⅱ）∵，
当且仅当时，等号成立.
∴的最小值.
∴，
即，
当且仅当即时，等号成立.
又，∴，时，等号成立.
∴.
【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式及其应用，绝对值三角不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。