黑龙江省双鸭山一中2014届高三上学期期中数学文试题(含答案)

1A
1D
1
C 1B
D B
C A 双鸭山第一中学高三上学期期中考试数学文试题
考试时间：120分钟 满分：150分
说明：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和班级、考号、座位号等填写在答题卡的侧面相应的空格内。

2．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。

答案必须写在答题卷上，收卷时只交答题卷。

一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．
1．设集合{}1|3,|
04x A x x B x x -⎧⎫
=>=<⎨⎬-⎩⎭
，则A B =( ) A ．∅ B ．()3,4 C ．()2,1- D ． ()4,+∞ 2．已知向量a ()2,1+=m ，b ()1,-=m ，且a //b ，则b 等于( )
A
B ．2
C ．
320 D ．3
25
3．“数列{}n a 为常数列”是“数列{}n a 既是等差数列又是等比数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若()
m P ,3-是角θ终边上的一点，且
13
13
sin =
θ，则m 的值为( ) A ．
21 B ．6 C ．21-或2
1
D ． 6-或6 5．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =， 则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为( )
A ．1
5
B ．25
C ．35
D ．45
6．已知直角梯形的上底和下底长分别为1和2，较短腰长为1，若以较长的底为旋转轴将该梯形旋转
一周，则该旋转体的体积为( ) A ．π4 B ．π3 C ．
34π D ．3
2π 7．各项均为正数的等比数列{}n a 中，若965=⋅a a ，则=
+++1032313log log log a a a ( )
A ．8
B ．10
C ．12
D ．5log 23+
8．已知函数()
x x x x f cos 3sin cos )(-=，则( )
A ．函数()x f 的周期为π2
B ．函数()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,6ππ上单调递增
C ．函数()x f 的图象关于直线12
π
-
=x 对称 D ．函数()x f 的图象关于点⎪
⎭
⎫ ⎝⎛
0,6
π对称 9．已知直线,l m ，平面,αβ，且l α⊥，m β⊂，给出下列四个命题： ①若α∥β，则l m ⊥；②若l m ⊥，则α∥β； ③若αβ⊥，则l ∥m ；④若l ∥m ，则αβ⊥．
其中真命题的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．等比数列{a n }中，a 1 =1，公比q=2，则数列{a n 2}的前4项和为S 4 =（ ）
A ．85
B ．225
C ．15
D ．7225 11．函数(
)
432log 2
2
1+-=x x y 的递减区间为 （ ）
A. ()+∞,1
B.⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-43,
C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21
D. ⎪⎭⎫
⎢⎣⎡+∞,43
12．已知等差数列{}n a 中，359,17a a ==，记数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n a 1的前n 项和为n S ，若)(,10
12Z m m
S S n n ∈≤
-+，对任意的*N n ∈成立，则整数m 的最小值为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．已知数列{}n a 是等差数列，3410118
a a a =+=，，
则首项1a = ．
14.已知sin 2cos αα=，则cos 2α的值是 . 15. 函数=y 2
x x
+
的值域为 . 16．函数(
)
a ax x y --=2
2
1log 在区间()
31,-∞-上为增函数，则a 的取值范围是 __________．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．（10分）设两向量12,e e 满足12||2,||1e e == ，1e 、2e
的夹角为60 ，
(1）试求|3|21e e +
(2)若向量1227te e + 与向量12e te +
的夹角余弦值为非负值，求实数t 的取值范围．
18.（12分）
已知函数()sin()(0,0),f x A x a x R ϕϕπ=+><<∈的最大值是1，其图像经过点1
(,)32
M π。

（1） 求()f x 的解析式； （2） 已知,(0,)2π
αβ∈，且312
(),(),513
f f αβ==求()f αβ-的值。

19．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知 a=2bsinA ，．
（1）求B 的值；
（2）若△ABC 的面积为，求a ，b 的值．
20．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，且S 3+S 5=50，a 1，a 4，a 13成等比数列．
（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的前n 项和T n ．
21．（12分）直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =5，AC =4，BC =3，AA 1=4，D 是AB 的中点．
（1）求证：AC ⊥B 1C ；
（2）求证：AC 1∥平面B 1CD ；
22.(12分)已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是1(30)F -，
，一条渐近线的方程是
20y -=。

（1）求双曲线C 的方程；
（2）若以(0)k k ≠为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点N M ,，且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
81
2
，求k 的取值范围。

双鸭山第一中学高一第一学期期中考试
数学试题（文）
参考答案：
1-5 BABAD 6-10 CBCBA 11-12 DB 13.-3 14. 3
5
-
15. ),22()22,(+∞--∞ 16. ]2,322[- 17.【答案】（1）由题意知160cos 20
==⋅e e
21|3|e e =+∴
=431636=++
(2)7152))(72(2
2121++=++t t e t e e e t 因为它们的夹角余弦值为非负值 所以(]⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡+∞-
-∞-,217, 。

18. （1）依题意有1=A ,则),sin()(ϕ+=x x f 将点代入，)21
,3(
πM 2
1
)3sin(=+ϕπ，
而2
,653,0π
ϕπϕπ
πϕ=∴=+∴
<< 故;cos )2
sin()(x x x f =+
=π
（2）依题意有,1312cos ,53cos ==
βα，而),2
,0(,π
βα∈ ,13513121sin ,54531sin 2
2
=⎪⎭⎫
⎝⎛-==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴βα
56
sin sin cos cos )cos()(=
+=-=-βαβαβαβαf ，…②
①②③（Ⅰ）依题意得
，（Ⅱ）
A
A 1
B C
D
B 1
C 1
E
21.证明：（Ⅰ）在△ABC 中，因为 AB =5，AC =4，BC =3， 所以 AC ⊥BC ．
因为 直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，所以 C C 1⊥AC ． 因为 BC ∩AC =C ， 所以 AC ⊥平面B B 1C 1C ． 所以 AC ⊥B 1C ． （Ⅱ）连结BC 1，交B 1C 于E ．
因为 直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，
所以 侧面B B 1C 1C 为矩形，且E 为B 1C 中点． 又D 是AB 中点，所以 DE 为△ABC 1的中位线， 所以 DE // AC 1． 因为 DE ⊂平面B 1CD ， AC 1⊄平面B 1CD ， 所以 AC 1∥平面B 1CD ．
22.解：（1）设双曲线C 的方程为22
221(00)x y a b a b
-=>>，，
由题设得229a b b a
⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得2
245.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
，
所以双曲线C 的方程为22
145
x y -
=；
（2）解：设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠，点11()M x y ，，22()N x y ，的坐标满足方程
组2
2
1.45y kx m x y =+⎧⎪⎨-
=⎪⎩， ① ②，
将①式代入②式，得22
()145x kx m +-=， 整理得222(54)84200k x kmx m ----=， 此方程有两个不等实根，于是2540k -≠， 且222(8)4(54)(420)0km k m ∆=-+-+>， 整理得22540m k +->......③
由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标00()x y ，满足1202
4254x x km
x k
+=
=-，002
554m
y kx m k
=+=
-， 从而线段MN 的垂直平分线的方程为225145454m km y x k k k ⎛⎫
-
=-- ⎪--⎝⎭，
此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为29054km k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，，29054m k ⎛
⎫ ⎪-⎝⎭
，， 由题设可得22
199********
km m k k =-- ，整理得222
(54)k m k -=，0k ≠， 将上式代入③式得22
2(54)540k k k -+->，
整理得22(45)(45)0k k k --->，0k ≠
，解得0k <<
或54
k >， 所以k
的取值范围是55004224⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫
---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭ ∞，，，∞。