《余弦定理》课件八(21张PPT)(人教A版必修5)
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△ABC是锐角三角形 a 2 b2 c 2
△ABC是直角角三角形 a 2 b2 c 2
例4、 △ABC中，a 3, b 7, c 2求B，并判断 △ABC的形状。
24
小结： 余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山
脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即
线段BC的张角），最后通过计算求出山脚的长度BC。
已测的：ＡＢ＝１千米，
AＣ＝
3 2
千米
角Ａ＝６０Ｏ
求山脚ＢＣ的长度．
解：BC2 | AB |2 | AC |2 2 | AB | AC | cos A
∴ AB= 13
3.定理的证明
A
B
C
证明： 在三角形ABC中，AB、BC、 CA的长分别为c,a,b.
AB AC CB
AB AB ( AC CB) ( AC CB)
2
2
AC 2AC CB CB
2
AC
2
AC
CB
c os (1800
C)
2
解斜三角形
余弦定理
1.创设问题情境
A
B
A
BCຫໍສະໝຸດ 600Ac
B
b
a
C
2.特殊到一般,发现定理
令∠C=600,AC=4,BC=3,求AB.
A
B
D
C
看看答案
解: 过A作BC边上的高AD,则 AD=4sin600,CD=4cos600, BD=3－4cos600,
∴ AB2=AD2+BD2=(4sin600)2+(3－4 cos600)2 =42+32－2×3×4cos600
求角A、Ｂ、Ｃ。
例２、在△ABC中，已知 a 2 3, c 6 2, B 45O 求b及Ａ
例３、在△ABC中，a 2 b2 c2 ，那么Ａ是（ ）
Ａ、钝角
Ｂ、直角
Ｃ、锐角
Ｄ、不能确定
那a 2 b2 c 2呢?
23
提炼：设a是最长的边，则
△ABC是钝角三角形 a 2 b2 c 2
b2=a2+c2－2accosB= a2+c2－2accos600 = a2+c2－ac (a －c)2=0 a=c ∵B=600, ABC 是正三角形.
5.巩固小结
(1)掌握化归的思想和特殊到一般的思 想方法,学会观察,分析,归纳,猜想,抽象, 概括等逻辑方法;
(2)注重过程,更好地发现问题的实质;
18
研究：在三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝c，BC=a，CA=b,
∵ BC AC AB
2
BC
(AC
AB) 2
2
2
2
BC AC AB 2AC AB
| AC |2 | AB |2 2 | AC | | AB | cosA
即： a 2 b2 c2 2bc cos A
CB
b2 2abcosC a2 即c2 a2 b2 2ab cosC
a2=b2+c2－2bccosA
b2= a2+c2－2accosB c2 =a2+ b2－2abcosC
b2 c2 a2
cosA=
2bc
a2 c2 b2
cosB=
2ac
cosC= a 2 b2 c2 2ab
（2）在 ABC中，已知 a= 2 6 ，b= 2 2 ， c= 6 2 ，求 A、B、C 的值。
26
解：（1） a 2 = b 2 + c 2 －2 b c ·cos A=84
a= 2 21
（2）解：
cos
A
b2
c2 2bc
a2
=
1 2
cos B
a2
c2 b2 2ac
=
2 2
A= 600 ，B= 450
则 C=1800 A B 750
27
余弦定理 三角形任何一
边的平方等于其他两边平方的 和减去这两边与它们的夹角的 余弦的积的两倍。
利用余弦定理，可以解决以 下两类有关三角形的问题：
（1）已知两边和它们的夹角，求 第三边和其他两个角；
（2）已知三边，求三个角。
4.定理的应用
例.已知b=8,c=3,A=600求a.
解： ∵a2=b2+c2－2bccosA =64+9－2×8×3cos600 =49
a=7
变式练习： 1.已知:a=7,b=8,c=3,求A. 2.已知:a=7,b=8,c=3,试判断
此三角形的形状.
综合题:已知 : ABC的三 内角成等差数列,而A,B,C 三内角的对边a,b,c成等比 数列,试证明: ABC为正三 角形.
证明: ∵A,B,C成等差, 2B=A+C, 又由于A+B+C=1800, 3B=1800,B=600,A+C=1200 ∵a,b,c成等比, b2=ac, 又由余弦定理知:
19
由此可得：余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
三角形任一边的平方等于其他两边平方的和 减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
应用：已知两边和一个夹角，求第三边．
20
隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程
cos A b 2 c 2 a 2 2bc
cos B c 2 a 2 b 2 2ac
cos C a 2 b 2 c 2 2ab
应用： １、已知两条边和一个夹角，求第三条边。 ２、已知三条边，求三个角。判断三角形的形状。
25
练习；（1）在 ABC中，已知 b= 4 3 ，c= 2 3 ， A=1200 ，求 a.
(3)向量化解题及证明有效,快捷;
(4)数学来源于现实生活,应用于现实生 活。
问题：
隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程 技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山 脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即 线段BC）的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC。
已知：AB、 AC、角Ａ (两条边、一个夹角)
12 ( 3)2 21 3 1 7
2
22 4
BC 7
2
21
由余弦定理变型得： cos A b 2 c 2 a 2 2bc
cos B a2 c2 b2 2ac
cos C a 2 b 2 c 2 2ab
应用：已知三条边求角度．
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例1、在△ABC中，已知 a 6, b 2, c 3 1
△ABC是直角角三角形 a 2 b2 c 2
例4、 △ABC中，a 3, b 7, c 2求B，并判断 △ABC的形状。
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小结： 余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山
脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即
线段BC的张角），最后通过计算求出山脚的长度BC。
已测的：ＡＢ＝１千米，
AＣ＝
3 2
千米
角Ａ＝６０Ｏ
求山脚ＢＣ的长度．
解：BC2 | AB |2 | AC |2 2 | AB | AC | cos A
∴ AB= 13
3.定理的证明
A
B
C
证明： 在三角形ABC中，AB、BC、 CA的长分别为c,a,b.
AB AC CB
AB AB ( AC CB) ( AC CB)
2
2
AC 2AC CB CB
2
AC
2
AC
CB
c os (1800
C)
2
解斜三角形
余弦定理
1.创设问题情境
A
B
A
BCຫໍສະໝຸດ 600Ac
B
b
a
C
2.特殊到一般,发现定理
令∠C=600,AC=4,BC=3,求AB.
A
B
D
C
看看答案
解: 过A作BC边上的高AD,则 AD=4sin600,CD=4cos600, BD=3－4cos600,
∴ AB2=AD2+BD2=(4sin600)2+(3－4 cos600)2 =42+32－2×3×4cos600
求角A、Ｂ、Ｃ。
例２、在△ABC中，已知 a 2 3, c 6 2, B 45O 求b及Ａ
例３、在△ABC中，a 2 b2 c2 ，那么Ａ是（ ）
Ａ、钝角
Ｂ、直角
Ｃ、锐角
Ｄ、不能确定
那a 2 b2 c 2呢?
23
提炼：设a是最长的边，则
△ABC是钝角三角形 a 2 b2 c 2
b2=a2+c2－2accosB= a2+c2－2accos600 = a2+c2－ac (a －c)2=0 a=c ∵B=600, ABC 是正三角形.
5.巩固小结
(1)掌握化归的思想和特殊到一般的思 想方法,学会观察,分析,归纳,猜想,抽象, 概括等逻辑方法;
(2)注重过程,更好地发现问题的实质;
18
研究：在三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝c，BC=a，CA=b,
∵ BC AC AB
2
BC
(AC
AB) 2
2
2
2
BC AC AB 2AC AB
| AC |2 | AB |2 2 | AC | | AB | cosA
即： a 2 b2 c2 2bc cos A
CB
b2 2abcosC a2 即c2 a2 b2 2ab cosC
a2=b2+c2－2bccosA
b2= a2+c2－2accosB c2 =a2+ b2－2abcosC
b2 c2 a2
cosA=
2bc
a2 c2 b2
cosB=
2ac
cosC= a 2 b2 c2 2ab
（2）在 ABC中，已知 a= 2 6 ，b= 2 2 ， c= 6 2 ，求 A、B、C 的值。
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解：（1） a 2 = b 2 + c 2 －2 b c ·cos A=84
a= 2 21
（2）解：
cos
A
b2
c2 2bc
a2
=
1 2
cos B
a2
c2 b2 2ac
=
2 2
A= 600 ，B= 450
则 C=1800 A B 750
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余弦定理 三角形任何一
边的平方等于其他两边平方的 和减去这两边与它们的夹角的 余弦的积的两倍。
利用余弦定理，可以解决以 下两类有关三角形的问题：
（1）已知两边和它们的夹角，求 第三边和其他两个角；
（2）已知三边，求三个角。
4.定理的应用
例.已知b=8,c=3,A=600求a.
解： ∵a2=b2+c2－2bccosA =64+9－2×8×3cos600 =49
a=7
变式练习： 1.已知:a=7,b=8,c=3,求A. 2.已知:a=7,b=8,c=3,试判断
此三角形的形状.
综合题:已知 : ABC的三 内角成等差数列,而A,B,C 三内角的对边a,b,c成等比 数列,试证明: ABC为正三 角形.
证明: ∵A,B,C成等差, 2B=A+C, 又由于A+B+C=1800, 3B=1800,B=600,A+C=1200 ∵a,b,c成等比, b2=ac, 又由余弦定理知:
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由此可得：余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
三角形任一边的平方等于其他两边平方的和 减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
应用：已知两边和一个夹角，求第三边．
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隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程
cos A b 2 c 2 a 2 2bc
cos B c 2 a 2 b 2 2ac
cos C a 2 b 2 c 2 2ab
应用： １、已知两条边和一个夹角，求第三条边。 ２、已知三条边，求三个角。判断三角形的形状。
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练习；（1）在 ABC中，已知 b= 4 3 ，c= 2 3 ， A=1200 ，求 a.
(3)向量化解题及证明有效,快捷;
(4)数学来源于现实生活,应用于现实生 活。
问题：
隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程 技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山 脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即 线段BC）的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC。
已知：AB、 AC、角Ａ (两条边、一个夹角)
12 ( 3)2 21 3 1 7
2
22 4
BC 7
2
21
由余弦定理变型得： cos A b 2 c 2 a 2 2bc
cos B a2 c2 b2 2ac
cos C a 2 b 2 c 2 2ab
应用：已知三条边求角度．
22
例1、在△ABC中，已知 a 6, b 2, c 3 1