充分条件与必要条件的解题技巧
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充分条件与必要条件
1. 定义：
对于“若p 则q ”形式的命题：
①若p
q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； ②若p q ，但q p ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；
③若且≠>，则是成立的必要不充分条件；
④若既有p q ，又有q p ，记作p q ，则p 是q 的充分必要条件（充要条件）.
⑤若≠>且≠>，则是成立的既不充分也不必要条件．
从集合的观点上
关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定在于判断、相应的集合关系．
建立与、相应的集合，即成立
，成立． 若，则是的充分条件，若，则是成立的充分不必要条件； 若，则是的必要条件，若，则是成立的必要不充分条件；
若，则是成立的充要条件；
若A B 且B A ，则是成立的既不充分也不必要条件． 例1已知p ：x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根，q ：x 1＋x 2＝－5，则p 是q 的
[ ]
A ．充分但不必要条件
B ．必要但不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解∵x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根∴x 1，x 2的值分别为1，－6，
∴x 1＋x 2＝1－6＝－5．
因此选A ．
变式1设命题甲为：0＜x ＜5，命题乙为|x －2|＜3，那么甲是乙的
[ ]
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
例2 p 是q 的充要条件的是
[ ]
A ．p ：3x ＋2＞5，q ：－2x －3＞－5
B ．p ：a ＞2，b ＜2，q ：a ＞b
C ．p ：四边形的两条对角线互相垂直平分，q ：四边形是正方形
q p ⇒p q p q p q q p p q p q p q (){:p A x p x =}(){:q B x q x =}A B ⊆p q A
B p q B A ⊆p q B
A p q A
B =p q ⊆/⊇/p
q
D ．p ：a ≠0，q ：关于x 的方程ax ＝1有惟一解
解对A ．p ：x ＞1，q ：x ＜1，所以，p 是q 的既不充分也不必要条件；
对B ．p q 但q p ，p 是q 的充分非必要条件；
对C ．p q 且q p ，p 是q 的必要非充分条件；
说明：当a ＝0时，ax ＝0有无数个解
例3（年北京）“”是“”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
分解：当时，，即．反之，当时，有， 或，即≠>． 综上所述，“”是“”的充分不必要条件，故选A ． 变式3 ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是
[ ]
A ．0＜a ≤1
B ．a ＜1
C ．a ≤1
D ．0＜a ≤1或a ＜0
例4（2008福建)设集合,,那么“”是“”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
分析：本题条件与结论的形式都是集合形式，只要理清集合之间的关系，按照充要条件与集合的对应关系即可作出判断．
解：∵，
∴.
故选A ． 例5．已知p ：40x m +<，q ：220x x -->，若p 是q 的一个充分不必要条件，求m 的取值范围
解：由p ：40x m +<得4
m x <-；由q ：220x x -->得1x <-或2x > ∵p 是q 的一个充分不必要条件，∴只有p ⇒q 成立，∴14
m -≤-，∴4m ≥ 对．且，即，是的充要条件．选．D p q q p p q p q D ⇒⇒⇔20092()6k k Z π
απ=+∈1cos 22
α=2()6k k Z παπ=+∈1cos 2cos 4cos 332k ππαπ⎛⎫=+== ⎪⎝
⎭p q ⇒1cos 22α=()2236
k k k Z ππαπαπ=+⇒=+∈()2236
k k k Z ππαπαπ=-⇒=-∈q p 2()6k k Z παπ=+∈1cos 22
α=01x A x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭