高中数学 同步教学 点到直线的距离
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1
若 l∥AB,由于 kAB=− 2 , 则直线l 的方程为 x+2y=0.
若l过AB的中点N(1,1),则直线l的方程为y=1.
故直线l的方程为y=1或x+2y=0.
题型一
题型二
题型三
题型三
易错辨析
易错点:求直线方程时忽略斜率不存在的情况致错
【例3】 求过点A(2,1),且与原点距离为2的直线方程.
|6 +16-2|
62 +82
8
22
= |2 + 1|, 解得a= 3 或a=− 3 .
题型一Biblioteka 题型二题型三题型二 点到直线的距离公式的应用
3
【例 2】求垂直于直线 x+3y-5=0,且与点 P(-1,0)的距离是 5 10
的直线的方程.
分析:设出直线l的方程,再利用点到直线的距离公式列方程求解.
错解:设所求直线的方程为 y-1=k(x-2),即 kx-y-2k+1=0.
所以原点到该直线的距离 d=
|-2+1|
2
= 2.
+1
3
解得 k=− 4,
所以所求直线的方程为 3x+4y-10=0.
错因分析:错解中忽略了斜率不存在的情况,只得到了一条直线
3x+4y-10=0.事实上符合题意的直线有两条.
综上所述,所求直线方程为x=2或3x+4y-10=0.
反思当用待定系数法确定直线的斜率时,一定要对斜率是否存在
进行讨论,否则容易犯解析不全的错误.
题型一
题型二
题型三
正解:若直线与x轴垂直,则直线方程为x=2,
所以原点到直线的距离d=|2-0|=2.故x=2符合题意.
当直线不与x轴垂直时,设直线方程为y-1=k(x-2),
即kx-y-2k+1=0.
所以原点到直线的距离 d=
|-2+1|
2
= 2.
+1
3
4
所以 k=− , 所以直线方程为3x+4y-10=0.
题型一
题型二
题型三
反思利用点到直线的距离公式,列方程求出与x轴不垂直时直线的
斜率.这种用公式列方程(组)的方法是解析几何中的一种重要方法,
在今后的学习中会经常用到.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 求过点M(-2,1),且与A(-1,2),B(3,0)两点距离相等
的直线l的方程.
解:方法1:当直线的斜率不存在时,不存在符合题意的直线l.
|2×1-(-5)-2|
22 +(-1)2
= 5.
.
理解点到直线的距离公式
剖析:(1)点到直线的距离是直线上的点与直线外一点间的最短
距离.
(2)公式的形式是:分母是直线方程Ax+By+C=0的x,y项系数平方
和的算术平方根,分子是用x0,y0替换直线方程中x,y所得实数的绝对
值.要注意直线方程必须是一般式,若给出其他形式,则应化成一般
式再用公式.
(3)当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用,故应
用公式时不必判定点P0与直线l的位置关系.
(4)直线方程Ax+By+C=0中A=0或B=0时,公式也成立,但由于直
线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可采用数形结合法求点到直线
的距离.
题型一
题型二
题型三
题型一
求点到直线的距离
(1)将直线方程化为一般式 Ax+By+C=0;
(2)将点(x0,y0)代入公式 d=
| 0 +0 +|
2 + 2
, 计算可得.
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 若点P(a,2)到直线l:6x+8y-2=0的距离等于点P到
直线y+1=0的距离,则a=
.
解析:由题意可得
8
22
3
3
答案: 或 −
3.3.3
点到直线的距离
1.掌握点到直线的距离公式,明确公式中各字母表示的含义.
2.能利用点到直线的距离公式解决相关问题.
点到直线的距离
定
义
点到直线的垂线段的长度
图
示
公
式
点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d=
|Ax 0 +By 0 +C|
A 2 +B 2
归纳总结点到几种特殊直线的距离:
(1)点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|;
(2)点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|;
(3)点P(x0,y0)到直线y=a的距离d=|y0-a|;
(4)点P(x0,y0)到直线x=b的距离d=|x0-b|.
【做一做】 点(1,-5)到直线2x-y-2=0的距离d=
解析:d=
答案: 5
【例1】 求点P0(-1,2)到下列直线的距离:
(1)2x+y-10=0;(2)x=2;(3)y-1=0.
解:(1)由点到直线的距离公式,知
d=
|2×(-1)+2-10|
22 +12
=
10
5
= 2 5.
题型一
题型二
题型三
(2)(方法一)把直线方程化为一般式为x-2=0.
由点到直线的距离公式,
得 d=
解:设与直线x+3y-5=0垂直的直线l的方程为3x-y+m=0,则由点到
直线的距离公式知,点P到直线3x-y+m=0的距离
d=
|3×(-1)-0+|
32 +(-1)
2
=
|-3|
10
=
3
5
10.
所以|m-3|=6,即m-3=±6,得m=9或m=-3,
故所求直线l的方程为3x-y+9=0或3x-y-3=0.
|-1+0×2-2|
12 +02
= 3.
(方法二)因为直线x=2与y轴平行,
所以由下图知d=|-1-2|=3.
(3)(方法一)由点到直线的距离公式,
|-1×0+2-1|
得 d=
02 +12
=1.
(方法二)因为直线y-1=0与x轴平行,
所以由下图知d=|2-1|=1.
题型一
题型二
题型三
反思求点到直线的距离的步骤:
当直线l的斜率存在时,设直线的方程为y-1=k(x+2),
即kx-y+2k+1=0.
|--2 + 2 + 1| |3 + 2 + 1|
由
=
,
2
2
+1
+1
1
解得 k=0 或 k=− .
2
故直线的方程为y=1或x+2y=0.
方法2:当l∥AB或l过AB的中点时,满足点A,B到l的距离相等.
若 l∥AB,由于 kAB=− 2 , 则直线l 的方程为 x+2y=0.
若l过AB的中点N(1,1),则直线l的方程为y=1.
故直线l的方程为y=1或x+2y=0.
题型一
题型二
题型三
题型三
易错辨析
易错点:求直线方程时忽略斜率不存在的情况致错
【例3】 求过点A(2,1),且与原点距离为2的直线方程.
|6 +16-2|
62 +82
8
22
= |2 + 1|, 解得a= 3 或a=− 3 .
题型一Biblioteka 题型二题型三题型二 点到直线的距离公式的应用
3
【例 2】求垂直于直线 x+3y-5=0,且与点 P(-1,0)的距离是 5 10
的直线的方程.
分析:设出直线l的方程,再利用点到直线的距离公式列方程求解.
错解:设所求直线的方程为 y-1=k(x-2),即 kx-y-2k+1=0.
所以原点到该直线的距离 d=
|-2+1|
2
= 2.
+1
3
解得 k=− 4,
所以所求直线的方程为 3x+4y-10=0.
错因分析:错解中忽略了斜率不存在的情况,只得到了一条直线
3x+4y-10=0.事实上符合题意的直线有两条.
综上所述,所求直线方程为x=2或3x+4y-10=0.
反思当用待定系数法确定直线的斜率时,一定要对斜率是否存在
进行讨论,否则容易犯解析不全的错误.
题型一
题型二
题型三
正解:若直线与x轴垂直,则直线方程为x=2,
所以原点到直线的距离d=|2-0|=2.故x=2符合题意.
当直线不与x轴垂直时,设直线方程为y-1=k(x-2),
即kx-y-2k+1=0.
所以原点到直线的距离 d=
|-2+1|
2
= 2.
+1
3
4
所以 k=− , 所以直线方程为3x+4y-10=0.
题型一
题型二
题型三
反思利用点到直线的距离公式,列方程求出与x轴不垂直时直线的
斜率.这种用公式列方程(组)的方法是解析几何中的一种重要方法,
在今后的学习中会经常用到.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 求过点M(-2,1),且与A(-1,2),B(3,0)两点距离相等
的直线l的方程.
解:方法1:当直线的斜率不存在时,不存在符合题意的直线l.
|2×1-(-5)-2|
22 +(-1)2
= 5.
.
理解点到直线的距离公式
剖析:(1)点到直线的距离是直线上的点与直线外一点间的最短
距离.
(2)公式的形式是:分母是直线方程Ax+By+C=0的x,y项系数平方
和的算术平方根,分子是用x0,y0替换直线方程中x,y所得实数的绝对
值.要注意直线方程必须是一般式,若给出其他形式,则应化成一般
式再用公式.
(3)当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用,故应
用公式时不必判定点P0与直线l的位置关系.
(4)直线方程Ax+By+C=0中A=0或B=0时,公式也成立,但由于直
线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可采用数形结合法求点到直线
的距离.
题型一
题型二
题型三
题型一
求点到直线的距离
(1)将直线方程化为一般式 Ax+By+C=0;
(2)将点(x0,y0)代入公式 d=
| 0 +0 +|
2 + 2
, 计算可得.
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 若点P(a,2)到直线l:6x+8y-2=0的距离等于点P到
直线y+1=0的距离,则a=
.
解析:由题意可得
8
22
3
3
答案: 或 −
3.3.3
点到直线的距离
1.掌握点到直线的距离公式,明确公式中各字母表示的含义.
2.能利用点到直线的距离公式解决相关问题.
点到直线的距离
定
义
点到直线的垂线段的长度
图
示
公
式
点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d=
|Ax 0 +By 0 +C|
A 2 +B 2
归纳总结点到几种特殊直线的距离:
(1)点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|;
(2)点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|;
(3)点P(x0,y0)到直线y=a的距离d=|y0-a|;
(4)点P(x0,y0)到直线x=b的距离d=|x0-b|.
【做一做】 点(1,-5)到直线2x-y-2=0的距离d=
解析:d=
答案: 5
【例1】 求点P0(-1,2)到下列直线的距离:
(1)2x+y-10=0;(2)x=2;(3)y-1=0.
解:(1)由点到直线的距离公式,知
d=
|2×(-1)+2-10|
22 +12
=
10
5
= 2 5.
题型一
题型二
题型三
(2)(方法一)把直线方程化为一般式为x-2=0.
由点到直线的距离公式,
得 d=
解:设与直线x+3y-5=0垂直的直线l的方程为3x-y+m=0,则由点到
直线的距离公式知,点P到直线3x-y+m=0的距离
d=
|3×(-1)-0+|
32 +(-1)
2
=
|-3|
10
=
3
5
10.
所以|m-3|=6,即m-3=±6,得m=9或m=-3,
故所求直线l的方程为3x-y+9=0或3x-y-3=0.
|-1+0×2-2|
12 +02
= 3.
(方法二)因为直线x=2与y轴平行,
所以由下图知d=|-1-2|=3.
(3)(方法一)由点到直线的距离公式,
|-1×0+2-1|
得 d=
02 +12
=1.
(方法二)因为直线y-1=0与x轴平行,
所以由下图知d=|2-1|=1.
题型一
题型二
题型三
反思求点到直线的距离的步骤:
当直线l的斜率存在时,设直线的方程为y-1=k(x+2),
即kx-y+2k+1=0.
|--2 + 2 + 1| |3 + 2 + 1|
由
=
,
2
2
+1
+1
1
解得 k=0 或 k=− .
2
故直线的方程为y=1或x+2y=0.
方法2:当l∥AB或l过AB的中点时,满足点A,B到l的距离相等.