高中物理 第十一章 机械振动 第2节 简谐运动的描述教学案 新人教版选修34

第2节简谐运动的描述
一、描述简谐运动的物理量 1．振幅
(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，用A 表示。

(2)物理意义：表示振动的强弱，是标量。

2．全振动
图11­2­1
类似于O →B →O →C →O 的一个完整振动过程。

3．周期(T )和频率(f )
描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。

1.振幅A 表示振动物体离开平衡位置的最大距离，表示振动的强弱，是标量。

2．振子完成一次全振动的时间总是相等的，一次全振动中通过的总路程为4A 。

3．相位是描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。

4．简谐运动的表达式为：x ＝A sin(ωt ＋φ)。

位移随时间变化的关系满足x ＝A sin(ωt ＋φ)的运动是简谐运动。

二、简谐运动的表达式
简谐运动的一般表达式为x ＝A sin(ωt ＋φ) 1．x 表示振动物体相对于平衡位置的位移。

2．A 表示简谐运动的振幅。

3．ω是一个与频率成正比的量，表示简谐运动的快慢，ω＝2π
T
＝2πf 。

4．ωt ＋φ代表简谐运动的相位，φ表示t ＝0时的相位，叫做初相。

1．自主思考——判一判 (1)振幅就是指振子的位移。

(×) (2)振幅就是指振子的路程。

(×)
(3)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动过程。

(×) (4)振子完成一次全振动的路程等于振幅的4倍。

(√)
(5)简谐运动表达式x ＝A sin(ωt ＋φ)中，ω表示振动的快慢，ω越大，振动的周期越小。

(√)
2．合作探究——议一议
(1)两个简谐运动有相位差Δφ，说明了什么？甲、乙两个简谐运动的相位差为3
2π，
意味着什么？
提示：两个简谐运动有相位差，说明其步调不相同。

甲、乙两个简谐运动的相位差为3
2π，
意味着乙(甲)总比甲(乙)滞后34个周期或3
4
次全振动。

(2)简谐运动的表达式一般表示为x ＝A sin(ωt ＋φ)，那么简谐运动的函数表达式能否用余弦函数表示？
提示：简谐运动的位移和时间的关系既可以用正弦函数表示，也可以用余弦函数表示，只是对应的初相位不同。

1．对全振动的理解
(1)全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，叫作一次全振动。

(2)全振动的四个特征：
①物理量特征：位移(x )、加速度(a )、速度(v )三者第一次同时与初始状态相同。

②时间特征：历时一个周期。

③路程特征：振幅的4倍。

④相位特征：增加2π。

2．简谐运动中振幅和几个物理量的关系
(1)振幅和振动系统的能量：对一个确定的振动系统来说，系统能量仅由振幅决定。

振幅越大，振动系统的能量越大。

(2)振幅与位移：振动中的位移是矢量，振幅是标量。

在数值上，振幅与振动物体的最大位移相等，但在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化。

(3)振幅与路程：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的。

其中常用的定量关系是：一个周期内的路程为4倍振幅，半个周期内的路程为2倍振幅。

(4)振幅与周期：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关。

[典例] 弹簧振子以O 点为平衡位置在B 、C 两点间做简谐运动，BC 相距20 cm ，某时刻振子处于B 点，经过0.5 s ，振子首次到达C 点，求：
(1)振子的振幅； (2)振子的周期和频率；
(3)振子在5 s 内通过的路程及位移大小。

[解析] (1)振幅设为A ，则有2A ＝BC ＝20 cm ，所以A ＝10 cm 。

(2)从B 首次到C 的时间为周期的一半，因此T ＝2t ＝1 s ； 再根据周期和频率的关系可得f ＝1
T
＝1 Hz 。

(3)振子一个周期通过的路程为4A ＝40 cm ，即一个周期运动的路程为40 cm ，
s ＝t
T
4A ＝5×40 cm＝200 cm 5 s 的时间为5个周期，又回到原始点B ，位移大小为10 cm 。

[答案] (1)10 cm (2)1 s 1 Hz (3)200 cm 10 cm
振动物体路程的计算方法
(1)求振动物体在一段时间内通过路程的依据：
①振动物体在一个周期内通过的路程一定为四个振幅，则在n 个周期内通过的路程必为
n ·4A 。

②振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅。

③振动物体在T
4内通过的路程可能等于一倍振幅，还可能大于或小于一倍振幅，只有当
初始时刻在平衡位置或最大位移处时，T
4
内通过的路程才等于振幅。

(2)计算路程的方法是：先判断所求时间内有几个周期，再依据上述规律求路程。

1．如图11­2­2所示，弹簧振子在BC 间振动，O 为平衡位置，BO ＝OC ＝5 cm ，若振子从B 到C 的运动时间为1 s ，则下列说法正确的是( )
图11­2­2
A ．振子从
B 经O 到
C 完成一次全振动 B ．振动周期是1 s ，振幅是10 cm
C ．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm
D ．从B 开始经过3 s ，振子通过的路程是30 cm
解析：选D 振子从B →O →C 仅完成了半次全振动，所以周期T ＝2×1 s＝2 s ，振幅A ＝BO ＝5 cm ，A 、B 错误；振子在一次全振动中通过的路程为4A ＝20 cm ，所以两次全振动振子通过的路程为40 cm ，C 错误；3 s 的时间为1.5T ，所以振子通过的路程为30 cm ，D 正确。

2．质点沿x 轴做简谐运动，平衡位置为坐标原点O 。

质点经过a 点(x a ＝－5 cm)和b 点(x b ＝5 cm)时速度相同，时间t ab ＝0.2 s ；此时质点再由b 点回到a 点所用的最短时间t ba ＝0.4 s ；则该质点做简谐运动的频率为( )
A ．1 Hz
B ．1.25 Hz
C ．2 Hz
D ．2.5 Hz
解析：选B 由题意可知，a 、b 两点关于平衡位置O 对称，质点经a 点和b 点时速度相同，则质点由b 点回到a 点所用的最短时间t ba ＝0.4 s 为质点振动周期的1
2
，故T ＝2t b a ＝
0.8 s ，质点做简谐运动的频率为f ＝1
T
＝1.25 Hz ，B 正确。

3．一个质点做简谐运动，振幅是4 cm ，频率为2.5 Hz ，该质点从平衡位置起向正方向运动，经2.5 s ，质点的位移和路程分别是( )
A ．4 cm 、24 cm
B ．－4 cm 、100 cm
C ．0、100 cm
D ．4 cm 、100 cm
解析：选D 由f ＝1T 得T ＝1f ＝0.4 s ，Δt ＝2.5 s ＝614T 。

每个周期质点通过的路程为4×4
cm ＝16 cm ，故质点的总路程s ＝61
4×16 cm＝100 cm ，质点0时刻从平衡位置向正向位移运
动，经过1
4
周期运动到正向最大位移处，即位移x ＝4 cm ，故D 项正确。

做简谐运动的物体位移x 随时间t 变化的表达式：
x ＝A sin(ωt ＋φ)
(1)x ：表示振动质点相对于平衡位置的位移。

(2)A ：表示振幅，描述简谐运动振动的强弱。

(3)ω：圆频率，它与周期、频率的关系为ω＝2π
T
＝2πf 。

可见ω、T 、f 相当于一个量，描述的都是振动的快慢。

(4)ωt ＋φ：表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量。

它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。

(5)φ：表示t ＝0时振动质点所处的状态，称为初相位或初相。

(6)相位差：即某一时刻的相位之差。

两个具有相同ω的简谐运动，设其初相分别为φ1和φ2，其相位差Δφ＝(ωt ＋φ2)－(ωt ＋φ1)＝φ2－φ1。

[典例] 物体A 做简谐运动的振动位移为x A ＝3cos ⎝
⎛⎭⎪⎫100t ＋π2m ，物体B 做简谐运动的
振动位移为x B ＝5cos ⎝
⎛⎭⎪⎫100t ＋π6m 。

比较A 、B 的运动( ) A ．振幅是矢量，A 的振幅是6 m ，B 的振幅是10 m B ．周期是标量，A 、B 周期相等为100 s C ．A 振动的频率f A 等于B 振动的频率f B D ．A 振动的频率f A 大于B 振动的频率f B [思路点拨]
(1)物体的振幅、角速度可以直接由简谐运动表达式得出。

(2)角速度与周期、频率的关系：ω＝2π
T
＝2πf 。

[解析] 振幅是标量，A 、B 的振动范围分别是6 m 、10 m ，但振幅分别是3 m 、5 m ，选项A 错误。

周期是标量，A 、B 的周期T ＝2πω＝2π100 s ＝6.28×10－2
s ，选项B 错误。

因为
ωA ＝ωB ，故f A ＝f B ，选项C 正确，选项D 错误。

[答案] C
用简谐运动表达式解答振动问题的方法
应用简谐运动的表达式x ＝A sin(ωt ＋φ)解答简谐运动问题时，首先要明确表达式中各物理量的意义，找到各物理量对应的数值，根据ω＝2π
T
＝2πf 确定三个描述振动快慢的
物理量间的关系，有时还需要通过画出其振动图像来解决有关问题。

1．某振子做简谐运动的表达式为x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6cm ，则该振子振动的振幅和周期
为( )
A ．2 cm 1 s
B ．2 cm 2π s
C ．1 cm
π
6
s D ．以上全错
解析：选A 由x ＝A sin(ωt ＋φ)与x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6对照可得：A ＝2 cm ，ω＝2π＝2π
T
，所以T ＝1 s ，A 选项正确。

2．有一弹簧振子，振幅为0.8 cm ，周期为0.5 s ，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是( )
A ．x ＝8×10－3
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4πt ＋π2m
B ．x ＝8×10－3
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4πt －π2m
C ．x ＝8×10－1
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πt ＋3π2m
D ．x ＝8×10－1
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4t ＋π2m
解析：选A 由题意知，A ＝0.8 cm ＝8×10－3
m ，T ＝0.5 s ，ω＝2πT
＝4π，t ＝0时，
弹簧振子具有负方向的最大加速度，即t ＝0时，x ＝A ＝8×10－3
m ，故A 选项正确。

3．(多选)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x ＝A sin π
4t ，则质点( )
A ．第1 s 末与第3 s 末的位移相同
B ．第1 s 末与第3 s 末的速度相同
C ．第3 s 末与第5 s 末的位移相同
D ．第3 s 末与第5 s 末的速度相同
解析：选AD 根据x ＝A sin π
4t 可求得该质点振动周期为T ＝8 s ，则该质点振动图像如
图所示，图像的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1 s 末和第3 s 末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项A 正确，B 错误；第3 s 末和第5 s 末的位移方向相反，但两点的斜率均为负，故速度方向相同，选项C 错误，D 正确。

1．周期为2 s 的简谐运动，在半分钟内通过的路程是60 cm ，则在此时间内振子经过平衡位置的次数和振子的振幅分别为( )
A．15次，2 cm B．30次，1 cm
C．15次，1 cm D．60次，2 cm
解析：选B 在半分钟内振子完成15次全振动，经过平衡位置的次数为30次，通过的路程s＝4A×15＝60A＝60 cm，故振幅A＝1 cm，B项正确。

2.物体做简谐运动，其图像如图1所示，在t1和t2两时刻，物体的( )
图1
A．相位相同
B．位移相同
C．速度相同
D．加速度相同
解析：选C 由图可知物体做简谐运动的振动方程为x＝A sin ωt，其相位为ωt，故t1与t2的相位不同，A错；t1时刻位移大于零，t2时刻位移小于零，B、D错；由振动图像知t1、t2时刻物体所处位置关于平衡位置对称，速率相同，且均向下振动，方向相同，C对。

3．如图2甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，周期T＝2 s，从最低点位置向上运动时开始计时，在一个周期内的振动图像如图乙所示，关于这个图像，下列哪些说法正确( )
甲乙
图2
A．t＝1.25 s时，振子的加速度为正，速度也为正
B．t＝1.7 s时，振子的加速度为负，速度也为负
C．t＝1.0 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值
D．t＝1.5 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值
解析：选C 由x­t图像可知，t＝1.25 s时，振子的加速度和速度均沿－x方向，A 错误；t＝1.7 s时，振子的加速度沿＋x方向，B错误；t＝1.0 s时，振子在最大位移处，加速度为负向最大，速度为零，C正确；t＝1.5 s时，振子在平衡位置，速度最大，加速度为零，D错误。

4．(多选)一个弹簧振子的振幅是A，若在Δt的时间内物体运动的路程是s，则下列关
系中可能正确的是(包括一定正确的)( )
A ．Δt ＝2T ，s ＝8A
B ．Δt ＝T 2，s ＝2A
C ．Δt ＝T
4
，s ＝2A
D ．Δt ＝T
4
，s >A
解析：选ABD 因每个全振动所通过的路程为4A ，故A 、B 正确，C 错误；又因振幅为振子的最大位移，而s 为T
4
时的路程，故s 有可能大于A ，故D 正确。

5．有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x 后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x 后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为( )
A ．1∶1 1∶1
B ．1∶1 1∶2
C ．1∶4 1∶4
D ．1∶2 1∶2
解析：选B 弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1∶2，而对同一振动系统，其周期与振幅无关，则周期之比为1∶1。

振动周期由振动系统的性质决定，与振幅无关。

6. (多选)如图3所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。

以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y ＝0.1sin(2.5πt )m 。

t ＝0时刻，一小球从距物块h 高处自由落下；t ＝0.6 s 时，小球恰好与物块处于同一高度。

取重力加速度的大小g ＝10 m/s 2。

以下判断正确的是( )
图3
A ．h ＝1.7 m
B ．简谐运动的周期是0.8 s
C ．0.6 s 内物块运动的路程为0.2 m
D ．t ＝0.4 s 时，物块与小球运动方向相反
解析：选AB 由物块简谐运动的表达式y ＝0.1sin(2.5πt )m 知，ω＝2.5π，T ＝2π
ω＝
2π2.5π s ＝0.8 s ，选项B 正确；t ＝0.6 s 时，y ＝－0.1 m ，对小球：h ＋|y |＝12gt 2
，解得h ＝1.7 m ，选项A 正确；物块0.6 s 内路程为0.3 m ，t ＝0.4 s 时，物块经过平衡位置向下运动，与小球运动方向相同。

故选项C 、D 错误。

7．一物体沿x 轴做简谐运动，振幅为12 cm ，周期为2 s 。

当t ＝0时，位移为6 cm ，且向x 轴正方向运动，求：
(1)初相位；
(2)t ＝0.5 s 时物体的位置。

解析：(1)设简谐运动的表达式为x ＝A sin(ωt ＋φ)，A ＝12 cm ，T ＝2 s ，ω＝2π
T
，t
＝0时，x ＝6 cm 。

代入上式得，6＝12sin(0＋φ) 解得sin φ＝12，φ＝π6或5
6π。

因这时物体向x 轴正方向运动， 故应取φ＝π6，即其初相为π
6。

(2)由上述结果可得：
x ＝A sin(ωt ＋φ)＝12sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
πt ＋π6
cm ，
所以x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6cm ＝12sin 46π cm ＝6 3 cm 。

答案：(1)π
6
(2)6 3 cm 处
8．(1)(多选)有两个简谐运动，其表达式分别是x 1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3cm ，x 2＝5sin ⎝
⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6cm ，下列说法正确的是( )
A ．它们的振幅相同
B ．它们的周期相同
C ．它们的相位差恒定
D ．它们的振动步调一致
E ．它们的圆频率相同
(2)一竖直悬挂的弹簧振子，下端装有一记录笔，在竖直面内放置有一记录纸。

当振子上下振动时，以速率v 水平向左匀速拉动记录纸，记录笔在纸上留下如图4所示的图像，y 1、
y 2、x 0、2x 0为纸上印迹的位置坐标。

由此图求振动的周期和振幅。

图4
解析：(1)它们的振幅分别是4 cm 、5 cm ，故不同，选项A 错误；ω都是100π rad/s ，
11 所以周期⎝ ⎛⎭⎪⎫T ＝2πω都是150 s ，选项B 、E 正确；由Δφ＝⎝
⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6＝π6得相位差⎝ ⎛⎭
⎪⎫为π6恒定，选项C 正确；Δφ≠0，即振动步调不一致，选项D 错误。

(2)设振动的周期为T ，由题意可得：在振子振动的一个周期内，纸带发生的位移大小为2x 0，故T ＝2x 0v 。

设振动的振幅为A ，则有：
2A ＝y 1－y 2，故A ＝y 1－y 22。

答案：(1)BCE (2)2x 0v y 1－y 22。