初二上册第11章三角形总结

初二上册第11章三角形知识点总结归纳
一、三角形的基本概念与性质
三角形的定义：由三条线段首尾顺次连接所围成的封闭图形叫做三角形。

这三条线段分别称为三角形的三边，相邻两边所组成的角称为三角形的内角。

三角形的分类：
按角的大小分类：锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）、钝角三角形（有一个角是钝角）。

按边的长短分类：不等边三角形（三边都不相等）、等腰三角形（有两边相等）、等边三角形（三边都相等）。

三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

举例：若三角形的三边分别为a、b、c，则必须满足a + b > c, a + c > b, b + c > a，以及|a - b| < c, |a - c| < b, |b - c| < a。

三角形的内角和：三角形的三个内角之和等于180°。

举例：在△ABC中，∠A + ∠B + ∠C = 180°。

三角形的稳定性：三角形具有稳定性，即三角形的形状和大小在其三边长度确定后就不会改变。

举例：建筑中的钢架结构、桥梁的支撑结构等常利用三角形的稳定性。

二、等腰三角形与等边三角形的性质与判定
等腰三角形的性质：
等腰三角形的两底角相等。

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。

举例：在等腰△ABC中，若AB = AC，则∠B = ∠C，且AD（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高）重合。

等腰三角形的判定：
有两边相等的三角形是等腰三角形。

有两个角相等的三角形是等腰三角形。

举例：若△ABC中，AB = AC或∠B = ∠C，则△ABC是等腰三角形。

等边三角形的性质：
等边三角形的三个内角都相等，且每个角都为60°。

等边三角形的三条边都相等。

等边三角形的每条边上的中线、高线和对角的平分线三线合一。

举例：在等边△ABC中，AB = BC = AC，∠A = ∠B = ∠C = 60°，且AD、BE、CF三线合一。

等边三角形的判定：
三边相等的三角形是等边三角形。

三个角都相等的三角形是等边三角形。

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

举例：若△ABC中，AB = BC = AC或∠A = ∠B = ∠C或△ABC为等腰三角形且有一个60°角，则△ABC是等边三角形。

三、直角三角形的性质与判定
直角三角形的性质：
直角三角形的两直角边互相垂直。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

举例：在Rt△ABC中，∠C = 90°，则AB^2 = AC^2 + BC^2，且CD（斜边上的中线）= 1/2AB，若∠A = 30°，则BC = 1/2AB。

直角三角形的判定：
有一个角是直角的三角形是直角三角形。

若三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。

举例：若△ABC中，∠C = 90°或AC^2 + BC^2 = AB^2，则△ABC是直角三角形。

四、全等三角形的性质与判定p
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

p
全等三角形的判定：
SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。

SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的两个三角形
全等。

ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。

AAS（角角边）：两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等。

RHS（直角、斜边、边）（又称HL定理(斜边、直角边)：在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等，则两三角形全等。

举例：若△ABC与△DEF满足上述任意一种全等条件，则△ABC ≌△DEF。

五、三角形的面积计算p
一般三角形的面积计算公式：面积= (底×高) ÷2。

其中，底和高必须是垂直的。

举例：若△ABC的底为BC，高为AD，则△ABC的面积= (BC ×AD) ÷2。

直角三角形的面积计算公式：面积= (直角边1 ×直角边2) ÷2。

这里，直角边1和直角边2是构成直角的两边。

举例：在Rt△ABC中，∠C = 90°，则△ABC的面积= (AC ×BC) ÷2。

六、三角形的角平分线、中线和高线
角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的线段叫做这个角的角平分线。

中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。

高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。

七、三角形的中位线
三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

举例：在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则DE 是△ABC的中位线，且DE ∥BC，DE = 1/2BC。

总结：初二上册第11章三角形涉及了三角形的基本概念、等腰三角形与等边三角形的性质与判定、直角三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、三角形的面积计算、三角形的角平分线、中线和高线以及三角形的中位线等多个知识点。

通过掌握这些知识点，学生能够更深入地理解三角形的性质和特点，为解决相关问题提供坚实的基础。

同时，通过大量的例题和练习，学生能够熟悉各种定理和公式的应用，提高解题能力和数学思维能力。