近年九年级数学上册第二章一元二次方程3用公式法求解一元二次方程第1课时用公式法求解一元二次方程教案

2.3 用公式法求解一元二次方程
第1课时用公式法求解一元二次方程
教学目标
（一）教学知识点
1．一元二次方程的求根公式的推导。

2．会用求根公式解一元二次方程。

（二）能力训练要求
1．通过公式推导，加强推理技能训练,进一步发展逻辑思维能力．
2．会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程．
(三)情感与价值观要求
通过运用公式法解一元二次方程的训练,提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯．教学重点
一元二次方程的求根公式
教学难点
求根公式的条件：b2—4ac≥0
教学方法
讲练相结合
教具准备
投影片五张
第一张:复习练习(记作投影片§2．3 A）
第二张：试一试(记作投影片§2．3B）
第三张:小亮的推导过程（记作投影片§2．3 C）
第四张:求根公式(记作投影片§2．3 D)
第五张：例题（记作投影片§2．3 E ） 教学过程
Ⅰ．巧设现实情景，引入课题
［师]我们前面学习了一元二次方程的解法．下面来做一练习以巩固其解法．（出示投影片§2．3 A ）
1．用配方法解方程2x 2
-7x+3＝0．
[生甲]解：2x 2
-7x+3＝0，
两边都除以2，得x 2
27-x+23
＝0．
移项,得;x 2—27x=—23
．
配方，得x 2—27x+(-47）2＝-23+（-47）2
．
两边分别开平方,得
x-47＝±45
即x —47=45或x-47=—45
．
∴x 1=3，x 2=21
．
［师］同学们做得很好，接下来大家来试着做一做下面的练习．（出示投影片§2．3 B ）试一试，肯定行：
1．用配方法解下列关于x 的方程： (1）x 2
+ax ＝1；(2）x 2
+2bx+4ac ＝0． [生乙]（1)解x 2
+ax ＝1，
配方得x 2+ax+（2a ）2＝1+(2a
）2
,
(x+2a ）2
=442a ．
两边都开平方，得
x+2a ＝±2
42
a +，
即x+2a ＝242a +，x+2a =-242
a +。

∴x 1=2
42a a ++-, x 2＝242
a a +--
［生丙］(2)解x 2
—2bx+4ac ＝0， 移项，得x 2
+2bx ＝—4ac ． 配方，得x 2
-2bx+b 2
＝—4ac+b 2
， (x+b ）2
=b 2—4ac ． 两边同时开平方，得 x+b ＝±ac b 42-，
即 x+b ＝ac b 42-,x+b ＝-ac b 42- ∴x 1=—b+ac b 42-，x 2＝—b-ac b 42-
［生丁]老师，我觉得丁同学做错了，他通过配方得到（x+b ）2
＝b 2
—4ac ．根据平方根 的性质知道：只有正数和零才有平方根，即只有在b 2
-4ac ≥0时,才可以用开平方法解出x 来．所以,在这里应该加一个条件:b 2
—4ac ≥0．
[师］噢，同学们来想一想,讨论讨论，戊同学说得有道理吗？
[生齐声］戊同学说得正确．因为负数没有平方根，所以，解方程x 2
+2bx+4ac ＝0 时，必须有条件：b 2
—4ac ≥0，才有丁同学求出的解．否则，这个方程就没有实数解． ［师]同学们理解得很正确，那解方程x 2
+ax ＝1时用不用加条件呢？ ［生齐声]不用． [师]那为什么呢?
[生齐声］因为把方程x 2
+ax ＝1配方变形为（x+2a ）2=442
a
+ ，右边4
42a +就是一个正数，
所以就不必加条件了．
［师]好，从以上解题过程中，我们发现:利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的．因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程ax 2
+bx+c ＝0(a ≠0)，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多． 这节课我们就来探讨一元二次方程的求根公式． Ⅱ．讲授新课
[师］刚才我们已经利用配方法求解了四个一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步骤解方程ax 2
+bx+c ＝0(a ≠0）呢?
大家可参照解方程2x 2
-7x+3＝0的步骤进行．
[生甲]因为方程的二次项系数不为1，所以首先应把方程的二次项系数变为1，即方程两边都除以二次项系数a ，得
x 2
+ a
c x a b +=0．
［生乙］因为这里的二次项系数不为0，所以，方程ax 2
+bx+c ＝0(a ≠0）的两边都除以a 时,需要说明a ≠0．
[师]对，以前我们解的方程都是数字系数，显然就可以看到：二次项系数不为0，所以无需特殊说明，而方程ax 2
+bx+c ＝0（a ≠0）的两边都除以a 时，必须说明a ≠0． 好,接下来该如何呢?
[生丙]移项，得x 2+a c x a b
-=
配方，得x 2+22)2()2(a
b a
c a b x a b
+-=+，
(x+2
2244)2a ac
b a b -=。

[师]这时，可以直接开平方求解吗?
［生丁]不，还需要讨论．
因为a ≠0，所以4a 2
>0．当b 2
—4ac ≥0时，就可以开平方．
［师]对，在进行开方运算时，被开方数必须是非负数，即要求2
244a ac b -≥0．因为4a 2
〉0
恒成立，所以只需b 2
—4ac 是非负数即可．
因此，方程(x+a b 2)2＝2244a ac b -的两边同时开方，得x+a b 2=±2
244a
ac
b -。

大家来想一想,讨论讨论：
±2
244a
ac
b -=±a a
c b 242-吗？ ……
[师]当b 2
—4ac ≥0时，
x+a b 2=±2
244a
ac b -=±||242a ac
b - 因为式子前面有双重符号“±”,所以无论a 〉0还是a 〈0，都不影响最终的结果：±a a
c b 242-
所以x+a b
2=±a ac b 242-，
x=-a b
2±a ac b 242-
=a
ac
b b 242-±-
好,我们来看小亮的推导过程．(出示投影片§2．3 C)
−−−−→−a
两边都除以
−−→−配方
x 2
+2
222
244)2(22a ac b a b x a b a c a b x a b -=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭
⎫
⎝⎛+
x=a
ac
b b 242-±-
这样，我们就得到一元二次方程ax 2
+bx+c ＝0(a ≠0）的求根公式：
x=a
ac b b 242-±- (b 2—4ac ≥0)，
即（出示投影片§2．3 D ）
一般地，对于一元二次方程ax 2
+bx+c ＝0(a ≠0)，当b 2
—4ac ≥0时,它的根是
x=a
ac b b 242-±-
［师]用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．（Solving by formular ）
由此我们可以看到：一元二次方程ax 2
+bx+c ＝0（a ≠0）的根是由方程的系数a 、b 、c 确定的．因此，在解一元二次方程时，先将方程化为一般形式,然后在b 2
—4ac ≥0的前提条件下，把各项系数a 、b 、c 的值代入,就可以求得方程的根．
注:(1)在运用求根公式求解时，应先计算b 2
-4ac 的值；当b 2
-4ac ≥0时，可以用公式求出两个不相等的实数解；当b 2
-4ac ＜0时，方程没有实数解．就不必再代入公式计算了． （2)把方程化为一般形式后,在确定a 、b 、c 时，需注意符号． 接下来，我们来看一例题．（出示投影片§2．3 E) [例题］解方程x 2
—7x-18＝0．
分析:要求方程x 2—7x —18＝0的解，需先确定a 、b 、c 的值．注意a 、b 、c 带有符号． 解:这里a ＝1，b ＝—7，c ＝-18． ∵b 2
—4ac=(—7）2—4×1×(—18）
−−→
−≥-如果0
42ac b
＝121＞0, ∴x=
2
11
7121217±=⨯±，
却x 1＝9，x 2＝—2．
[师]好，我们来共同总结一下用公式法解一元二次方程的一般步骤． [师生共析］其一般步骤是:
(1)把方程化为一般形式，进而确定a 、b ，c 的值．（注意符号) (2）求出b 2
-4ac 的值．(先判别方程是否有根）
（3）在b 2—4ac ≥0的前提下,把a 、b 、c 的直代入求根公式，求出a
ac
b b 242-±-的值，
最后写出方程的根．
［师］接下来我们通过练习来巩固用公式法求解一元二次方程的方法． Ⅲ．课堂练习
(一）课本P 43随堂练习 1、2、3 (二)看课本P41~P43，然后小结． Ⅳ．课时小结
这节课我们探讨了一元二次方程的另一种解法——公式法．
（1）求根公式的推导，实际上是“配方"与“开平方”的综合应用．对于a ≠0,b 2
—4ac ≥0以及由a ≠0,知4a 2
〉0等条件在推导过程中的应用,也要弄清其中的道理．
(2)应用求根公式解一元二次方程，通常应把方程写成一般形式，并写出a 、b 、c 的数值以及计算b 2
-4ac 的值，当熟练掌握求根公式后，可以简化求解过程． Ⅴ．课后作业
(一)课本P 43习题2．5 1、2 （二）预习内容：P44
Ⅵ．活动与探究
1．阅读材料，解答问题：
阅读材料：
为解方程(x2—1)2—5（x2—1)+4＝0,我们可以将(x2—1）视为一个整体,然后设x2-1＝y,则（x2-1）2＝y2，原方程化为y2—5y+4=0．①
解得y1=4，y2＝1．
当y1＝4时,x2-1＝4，
∴x2＝5，∴x=±5．
当y＝1时，x2-1＝1，
∴x2＝2，∴x=±2．
∴原方程的解为x1＝2，x2＝-2，
x3=5 ,x4=-5.
解答问题：
（1)填空:
在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到了降次的目的，体现了的数学思想．
（2）解方程x4—x2-6＝0．
[过程］通过对本题的阅读，让学生在获取知识的同时，来提高学生的阅读理解和解
决问题的能力．
[结果]
解：(1）换元转化
（2）设x2＝y，则x4=y2，
原方程可以化为y2-y—6＝0．
解得y1=3，y2＝-2．
当y1=3时，x2＝3，∴x＝±3．
当y2＝-2时，x2=—2，此方程无实根．∴原方程的解为x1＝3，x2＝-3．。