高中数学 第2章 数列 2.1.1 数列学案 新人教B版必修5

——————————新学期新成绩新目标新方向——————————
2.1.1 数列
1.理解数列的概念.(重点)
2.掌握数列的通项公式及应用.(重点)
3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.(难点、易错点)
[基础·初探]
教材整理1 数列的定义及分类
阅读教材P25第一行～P25倒数第5行，及P26例1上面倒数第一、二自然段，完成下列问题.
1.数列的概念及一般形式
2.数列的分类
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1,7,0,11，－3，…，－1 000不构成数列.( ) (2){a n }与a n 是一样的，都表示数列.( ) (3)数列1,0,1,0,1,0，…是常数列.( )
(4)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一个数列.( )
【解析】 (1)×.因为只要按一定次序排成的一列数就是一个数列，所以1,7,0,11，－3，…，－1 000是一个数列.
(2)×.因为{a n }代表一个数列，而a n 只是这个数列中的第n 项，故{a n }与a n 是不一样的. (3)×.因为各项相等的数列为常数列，而1,0,1,0,1,0，…为摆动数列，而非常数列. (4)×.两个数列只有项完全相同，且排列的次序也完全相同才称为同一个数列，数列1,2,3,4与1,2,4,3虽然所含项相同，但各项排列次序不同，故不是同一个数列.
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)× 教材整理2 数列与函数的关系
阅读教材P 25倒数第5行～P 26倒数第
4自然段，完成下列问题
. 1.数列的通项公式
如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个函数式a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
2.数列与函数的关系
从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：
1.下列四个数中，哪个是数列{n (n ＋1)}中的一项( )
A.380
B.392
C.321
D.232
【解析】 因为19×20＝380，
所以380是数列{n (n ＋1)}中的第19项.应选A. 【答案】 A
2.数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的通项公式是a n ＝( ) A.19(10n
－1) B.13⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－110n
C.29
(10n
－1) D.
310
(10n
－1) 【解析】 1－1101＝0.9,1－1102＝0.99，…，故原数列的通项公式为a n ＝13⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－110n .应
选B.
【答案】 B
3.观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1, 3， 5， 7，________，11，…. 【解析】 据规律填写可知通项为a n ＝2n －1，∴a 5＝3. 【答案】 3
4.数列{a n }满足a n ＝log 2(n 2
＋3)－2，则log 23是这个数列的第________项. 【解析】 令a n ＝log 2(n 2＋3)－2＝log 23，解得n ＝3. 【答案】 3
[小组合作型]
①2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016； ②1，12，14，…，1
2
n －1，…；
③1，－23，35，…，－n －1
·n 2n －1，…；
④1,0，－1，…，sin
n π
2
，…；
⑤2,4,8,16,32，…；
⑥－1，－1，－1，－1.
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________.(填序号)
【精彩点拨】紧扣有穷数列，无穷数列，递增数列，递减数列，常数列及摆动数列的定义求解.
【自主解答】①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；
⑥为有穷数列，也是常数列.
【答案】①⑥②③④⑤①⑤②⑥③④
1.与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：
①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；
②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)；
③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；
④数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物.
2.判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点.对于递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列则看项的个数有限还是无限.
[再练一题]
1.给出下列数列：
(1)2006～2013年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82,93,105,119,129,130,132,135.
(2)无穷多个3构成数列3，3，3，3，….
(3)－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2,4，－8,16，－32，….
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________.
【解析】(1)为有穷数列；(2)(3)是无穷数列，同时(1)也是递增数列；(2)为常数列；
(3)为摆动数列.
【答案】(1) (2)(3) (1) (2) (3)
(1)12，2，92，8，25
2，…； (2)9,99,999,9 999，…；
(3)22
－11，32
－23，42
－35，52
－47，…；
(4)－11×2，12×3，－13×4，14×5
，….
【精彩点拨】 先观察各项的特点，注意前后项间的关系，分子与分母的关系，项与序号的关系，每一项符号的变化规律，然后归纳出通项公式.
【自主解答】 (1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，所以，它的一个通项公式为a n ＝n
2
2
(n ∈N ＋).
(2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…此数列的通项公式为10n
，可得原数列的通项公式为a n ＝10n
－1(n ∈N ＋).
(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n －1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n ＋1)2
表示，分子的后一部分是减去一个自然
数，可用n 表示，综上，原数列的通项公式为a n ＝n ＋2－n 2n －1
(n ∈N ＋).
(4)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是a n ＝(－1)
n
1n
n ＋
(n ∈N ＋).
1.据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征： ①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征；
③拆项后的特征；
④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想.
2.观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n
或(－1)
n ＋1
来调整.
[再练一题]
2.写出下列数列的一个通项公式：
【导学号：18082015】
(1)0,3,8,15,24，…；
(2)1，－3,5，－7,9，…； (3)112，223，334，44
5，…；
(4)1,11,111,1 111，….
【解】 (1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是a n ＝n 2
－1(n ∈N ＋).
(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)
n ＋1
(2n －1)(n ∈N ＋).
(3)此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n ，分数部分与序号n 的关系为
n
n ＋1
，故
所求的数列的一个通项公式为a n ＝n ＋n
n ＋1＝n 2＋2n
n ＋1
(n ∈N ＋).
(4)原数列的各项可变为19×9，19×99，19×999，1
9×9 999，…，易知数列9,99,999,9
999，…的一个通项公式为a n ＝10n
－1.所以原数列的一个通项公式为a n ＝19
(10n －1)(n ∈N ＋).
[探究共研型]
探究1 数列2，4，8，16，32，…的通项公式是什么？该数列的第7项是什么？256是
否为该数列中的一项？为什么？
【提示】 由数列各项的特点可归纳出其通项公式为a n ＝2n －12n ，当n ＝7时，a 7＝27
－1
27
＝127128，若255256为该数列中的一项，则2n
－12n ＝255256，解得n ＝8，所以255
256
是该数列中的第8项. 探究2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2
＋2n ＋1，该数列的图象有何特点？ 试利用图象说明该数列的单调性及所有的正数项.
【提示】 由数列与函数的关系可知，数列{a n }的图象是分布在二次函数y ＝－x 2
＋2x ＋1图象上的离散的点，如图所示，从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从第3项往后各项为负数项.
已知数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
9n 2
－9n ＋29n 2
－1. (1)求这个数列的第10项；
(2)98
101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内.
【精彩点拨】 (1)将n ＝10代入数列的通项公式即可.(2)由9n 2
－9n ＋29n 2
－1＝98
101求得n (n ∈N ＋)是否有正整数解即可.(3)求函数a n ＝9n 2
－9n ＋2
9n 2
－1
的值域即可. 【自主解答】 设f (n )＝9n 2
－9n ＋2
9n 2
－1 ＝
n －n －n －n ＋＝3n －23n ＋1
. (1)令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝28
31.
(2)令3n －23n ＋1＝98101
，得9n ＝300.
此方程无正整数解，所以98
101不是该数列中的项.
(3)证明：∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－3
3n ＋1，
又n ∈N ＋，
∴0<3
3n ＋1
<1，∴0<a n <1.
即数列中的各项都在区间(0,1)内.
1.由通项公式写出数列的某几项.主要是对n 进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值.
2.判断一个数是否为该数列中的项.其方法是由通项公式等于这个数解出n ，根据n 是否为正整数便可确定这个数是否为数列中的项.
3.在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N ＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n })这一约束条件.
[再练一题]
3.已知数列的通项公式为a n ＝n 2
＋2n －5. (1)写出数列的前三项；
【导学号：18082016】
(2)判断数列{a n }的单调性.
【解】 (1)数列的前三项：a 1＝12＋2×1－5＝－2；
a 2＝22＋2×2－5＝3； a 3＝32＋2×3－5＝10.
(2)∵a n ＝n 2
＋2n －5，
∴a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2
＋2(n ＋1)－5－(n 2
＋2n －5) ＝n 2
＋2n ＋1＋2n ＋2－5－n 2
－2n ＋5 ＝2n ＋3.
∵n ∈N ＋，∴2n ＋3>0，∴a n ＋1>a n . ∴数列{a n }是递增数列.
1.下列说法正确的是( )
A.数列1,3,5,7，…，2n －1可以表示为1,3,5,7，…
B.数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列
C.数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫n ＋1n 的第k 项为1＋1
k
D.数列0,2,4,6,8，…可记为{2n }
【解析】 A 错，数列1,3,5,7，…，2n －1为有穷数列，而数列1,3,5,7，…为无穷数列；B 错，数的次序不同就是两个不同的数列；C 正确，a k ＝1＋k k ＝1＋1
k
；D 错，a n ＝2n －2.
【答案】 C
2.在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x 等于( ) A.11 B.12 C.13
D.14
【解析】 观察数列可知，后一项是前两项的和，故x ＝5＋8＝13. 【答案】 C
3.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝
1＋－
n ＋1
2
，则该数列的前4项依次为
( )
A.1,0,1,0
B.0,1,0,1
C.12，0，12
，0 D.2,0,2,0
【解析】 当n 分别等于1,2,3,4时，a 1＝1，a 2＝0，a 3＝1，a 4＝0. 【答案】 A
4.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝
2n 2＋n ，那么1
10
是它的第________项. 【导学号：18082017】
【解析】 令2n 2＋n ＝110，解得n ＝4或n ＝－5(舍去)，所以110
是该数列的第4项. 【答案】 4
5.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2
－28n . (1)写出数列的第4项和第6项；
(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由. 【解】 (1)因为a n ＝3n 2
－28n ， 所以a 4＝3×42
－28×4＝－64，
a 6＝3×62－28×6＝－60.
(2)令3n 2
－28n ＝－49，即3n 2
－28n ＋49＝0， ∴n ＝7或n ＝7
3(舍).
∴－49是该数列的第7项， 即a 7＝－49.
令3n 2
－28n ＝68，即3n 2
－28n －68＝0， ∴n ＝－2或n ＝34
3.
∵－2∉N ＋，34
3∉N ＋，
∴68不是该数列的项.。