高等数学A2 答案详解

考试科目： 高等数学A2 考试班级： 理工类2015级班级 考试方式： 闭 卷
命题人签字： 命题组 教研室主任签字： 教学院长签字：
考生班级： 考生姓名： 考生学号：
一、单项选择题（每小题2分，共28分）。

1.D
2.A
3.D
4.C
5.A
6.D
7.C
8.B
9.B 10.D 11.A 12.C 13.C 14.B
二、填空题（每小题2分，共12分）。

15．42123y x C x C x C =+++ 16. 2 17. 3 18. 1(1,,2)4- 19.2sin 2x y xy
e y +- 20.
23012!3!!!n n n x x x x n x n ∞==+++++∑L L 三、解答题（每小题5分，共15分）。

21. 解：分离变量sin sin
cos cos x y
dx dy x y =------------------------------- 1分 两端积分ln cos ln cos ln x y C =+--------------------------- 2分
可得通解 cos cos y C x =-------------------------------- 3分
由初始值确定常数得
2C =----------------------------- 4分
于是问题的特解为：cos cos 2y x =
cos y x =------ 5分
22、解：特征方程为2340r r --=，---------------- 1分
即(1)(4)0r r +-= 特征根为 121,4r r =-=，------------------ 2分
通解为 412x
x y C e C e -=+，----------------------------------- 3分
可得 4124x
x
y C e C e -'=-+ 由初始值得 121,1C C ==-，---- 4分
故问题的特解为：4x x y e e -=-.--------------------------------5分
23、取()()2,5,2,1,3,8AB AC =---=--u u u r u u u r -------------1分 所求平面法向量为252138
i j k
n AB AC =⨯=-----r
r r u u u r u u u r r ----------------- 2分
()34,18,11=-------------- 3分
代入A B C (,,),(,,),(,,)135123203---其中任意一点，得到点法式方程------- 4分
整理可得所求平面的一般式方程为：------------- 5分
四、计算题（每小题5分，共15分）。

24. 3248u
x xy x ∂∂=- -------------1分 222
2128u x y x ∂∂=- ------------- 2分
216u xy x y ∂∂∂=--------- 3分 3248u
y x y y ∂∂=- ------- 4分 2222128u
y x y ∂∂=------------- 5分
25、解：积分区域可表示成0,124r π
θ≤≤≤≤-------------1分 所以2
401
arctan D y d d rdr x πσθθ=⎰⎰⎰⎰——————3分 211(41)242
π=⋅-⎛⎫ ⎪⎝⎭-------- 4分 2364π=
——————————5分 26、11122000x x y I dx dy zdz ---=⎰⎰⎰1122
001(12)2
x
dx x y dy -=--⎰⎰ ------------- 4分 148
=----------------------------- 5分
五、计算题（每小题5分，共15分）。

27. 解：由已知(,)24,(,)536P x y x y Q x y y x =-+=+-，----------------------------------- 1分
则 (,)(,)1,3y x
P x y Q x y ∂∂∂∂=-=--------------------------------------------------- 2分 由格林公式可得
(24)(536)L x y dx y x dy -+++-⎰Ñ(,)(,)D Q x y P x y dxdy x y ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭∂∂-∂∂⎰⎰
--------------------- 3分 ()()13D
dxdy -=-⎰⎰-------------------------------- 4分
124D
dxdy ==⎰⎰----------------------------------- 5分
28、解 ∑在xOy 面的投影为零, 故0=∑
⎰⎰zdxdy . ---------------- 1分
∑可表示为21y x -=, (y , z )∈D yz ={(y , z )|0≤y ≤1, 0≤z ≤3}, 故⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-=∑30101
02221311dy y dy y dz dydz y xdyz yz D ----------- 2分
∑可表示为21x y -=, (z , x )∈D zx ={(z , x )|0≤z ≤3, 0≤x ≤1}, 故dzdx x ydzdx zx D 21-=⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰⎰-=-=30101
022131dx x dx x dz .--------- 3分
因此 ydzdx xdydz zdxdy ++∑⎰⎰)13(2102dx x ⎰-=---------------- 4分
ππ2
346=⨯=. ----- 5分 29、解 易得收敛域为11x -<<，--------- 1分
设和函数为S (x ) , 则
()[()]x
S x S x dx '=⎰------------ 2分 101[]x n n nx dx ∞-='=∑⎰101[]x n n nx dx ∞-='=∑⎰--------- 3分
11[][1]1n n x x
∞
=''==--∑----------------- 4分
21
(11)(1)x x =-<<- ------ 5分
六、应用题（每小题5分，共15分）。

30. 解：由420
4
20x y z x z y =-=⎧⎪⎨=--=⎪⎩----------- 1分
得驻点(2,2)- ------------------ 2分
在驻点(2,2)-处计算可得2A =- 0B = 2C =-------- 3分
20AC B -> 且20A =-<------------------------- 4分
函数z 在点(2,2)-处取极大值(2,2)8z -=—---————5分
31. 解：设水池的长、宽、高分别为,,x y z
则水池的表面积为：22S xy xz yz =++ ()0,,0x y z >>>
本题目即为在32xyz =的条件下，求S 的最小值------------ 1分 构造拉格朗日函数
()(,,)2232F x y z xy xz yz xyz λ=+++---------------- 2分 则(,,)F x y z 分别对,,x y z 求偏导数可得(由拉格朗日乘数法可得) 20
20220
32
F
x F
y F
z x z yz x z xz x y xy xyz λλλ∂⎧⎪∂⎪∂⎪⎪∂⎨⎪∂⎪∂⎪⎪⎩=++==++==++==------------------------------- 3分 可解得4,2x y z ===， ------------------------- 4分
为惟一驻点； 又由问题本身可知S 一定存在最小值，
所以当长、宽都是4，而高为2时，表面积最小。

------ 5分
32. 解 ∑∑∞=-∞=--=-11
1113|3)1(|n n n n n n n
. ----------- 1分
因为131
331
lim 1
<=+-∞→n n
n n n , ----------------- 2分
所以正项级数∑∞=-11
3n n n 是收敛的, --------- 3分
从而原级数收敛, -------------------- 4分
并且绝对收敛. ---------------------- 5分。