2019高考文科数学第二章命题及其关系充分条件必要条件考纲

2019高考文科数学第二章命题及其关系充分条件必要条件考纲
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[知识梳理]
1．命题
2(1)四种命题间的相互关系：
(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于 逆否命题 ，原命题的否命题等价于 逆命题 .在四种形式的命题中真命题的个数只能是 0,2,4 .
3．充要条件
[知识感悟]
1．四种命题间关系的两条规律
(1)逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假．
(2)当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．同时要关注“特例法”的应用．
2．命题的充要关系的判断方法
(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．
(2)等价法：利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ，B ⇒A 与綈A ⇒綈B ，A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
(3)集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．
[知识自测]
1．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题 B ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若x 2＞0，则x ＞1”的逆否命题
[解析] 对于A ，其逆命题是若x ＞|y |，则x ＞y ，则真命题，这是因为x ＞|y |≥y ，必有x ＞y .
[答案] A
2．(2017·天津)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜1
2”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
[解析] ⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇔0＜θ＜π6⇒sin θ＜12，但θ＝0，sin θ＜12，不满足⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π
12，所以是充分不必要条件，选A.
[答案] A
3．在下列三个结论中，正确的是 ________ .(写出所有正确结论的序号) ①若A 是B 的必要不充分条件，则綈B 也是綈A 的必要不充分条件；
②“⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＞0，
△＝b 2
－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件；
③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件．
[解析]易知①②正确．对于③，若x＝－1，则x2＝1，充分性不成立，故③错误．[答案]①②
题型一四种命题及相互关系(基础拿分题——自主练透)
(1)(2018·广东肇庆一模)原命题：“设a、b、c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有()
A．0个B．1个
C．2个D．4个
[解析]原命题：若c＝0则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题：∵ac2＞bc2知c2＞0，由不等式的基本性质得a＞b，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴有2个真命题．
[答案] C
(2)(2018·宿州模拟)下列命题：
①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题；
②“全等三角形面积相等”的逆命题；
③“若a＞1，则ax2－2ax＋a＋3＞0的解集为R”的逆否命题；
④“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题．
其中正确的命题是()
A．③④B．①③
C．①②D．②④
[解析]对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于③，当a＞1时，Δ＝－12a＜0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确，故选A.
[答案] A
思维升华
1．写一个命题的其他三种命题时，需注意：
(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．
2．判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．3．根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假
方法感悟
1．写一个命题的其他三种命题时，需注意：
(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．
2．判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．3．根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
【针对补偿】
1．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()
A．“若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数”
B．“若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数”
C．“若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数”
D．“若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数”
[解析]由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数”．
[答案] C
2．已知：命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()
A．否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”，是真命题
B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数，是真命题”
[解析]由f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝e x－m≥0恒成立，∴m≤1.∴命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题
“若m >1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．
[答案] D
题型二 充分条件，必要条件的判断(高频考点题、共同探讨)
充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点，常以选择题的形式出现，作为一个重要载体，考查的知识面很广，几乎涉及数学知识的各个方面．
高考对充要条件的考查主要有以下三个命题角度： (1)判断指定条件与结论之间的关系；
(2)探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件； (3)与命题的真假性相交汇命题． 考向一 与不等式有关的题型
1．(2018·山西省大同市豪洋中学四模试卷)“m ≤－12”是“∀x ＞0，使得x 2＋12x －3
2＞m
是真命题”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
[解析] 若∀x ＞0，使得x 2＋12x －3
2＞m 是真命题，
则m ＜⎝⎛⎭⎫
x 2＋12x －32min ， 令f (x )＝x 2＋12x －3
2，则f (x )≥2
x 2·12x －32＝1－32＝－12，故m ＜－12，故m ≤－1
2
”是“m ＜－1
2
”的必要不充分条件，故选B.
[答案] B
考向二 与三角有关的题型
2．(2018·石家庄一模)若命题p ：φ＝π
2＋k π，k ∈Z ，命题q ：f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶
函数，则p 是q 的( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
[解析] 当φ＝π
2＋k π，k ∈Z 时，f (x )＝±cos ωx 是偶函数，所以p 是q 的充分条件；若函
数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则sin φ＝±1，即φ＝π
2＋k π，k ∈Z ，所以p 是q 的必要
条件，故p 是q 的充要条件，故选A.
[答案] A
考向三 与向量有关的题型
3．(2018·甘肃省兰州市二模)设向量a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)，则“a ⊥b ”是“x ＝2”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
[解析] ∵a ⊥b ，∴(x －1)(x ＋2)＋x (x －4)＝0，化为：2x 2－3x －2＝0，解得x ＝－1
2或2.
∴“a ⊥b ”是“x ＝2”的必要不充分条件．故选：B. [答案] B
考向四 与数列有关的题型
4．(2018·北京市西城区一模)数列{a n }的通项公式为a n ＝|n －c |(n ∈N *)．则“c ≤1”是“{a n }为递增数列”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
[解析] 数列{a n }的通项公式为a n ＝|n －c |(n ∈N *)，
若“{a n }为递增数列”，则a n ＋1－a n ＝|n ＋1－c |－|n －c |＞0，即(n ＋1－c )2＞(n －c )2，解得c ＜n ＋12，∵n ＋12≥3
2
，∴c ≤1是{a n }为递增数列充分不必要条件，故选A.
[答案] A
考向五 与几何问题有关的题型
5．(2016·山东卷)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
[解析] 若a ，b 相交则α，β一定相交．若α，β相交则不能得出a ，b 相交．故选A. [答案] A
考向六 与函数有关的题型
6．(2018·合肥一模)函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2x ，x ＞0，2x －a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是
( )
A ．a ≤0或a ＞1
B ．0＜a ＜1
2
C.1
2
＜a ＜1 D ．a ＜0
[解析] 因为f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2x ，x ＞0
2x
－a ，x ≤0有且只有一个零点的充要条件为a ≤0或a ＞1.由选
项可知，使“a ≤0或a ＞1”成立的充分条件为选项D.
[答案] D
方法感悟
充分、必要条件判定的常见题型与求解策略：
提醒：解答充分条件、必要条件的判断题，必须从正、逆两个方面进行判断． 【针对补偿】
3．(2018·东北三省四市联考)“x ＜2”是“x 2－3x ＋2＜0”成立的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
[解析] 由x 2－3x ＋2＜0，解得1<x <2，因为{x |1<x <2}{x |x <2}，所以“x <2”是“x 2－3x ＋2<0”成立的必要不充分条件，故选A.
[答案] A
4．(2018·广西名校联考)在△ABC 中，命题p ：“B ≠60°”，命题q ：“△ABC 的三个内角A ，B ，C 不成等差数列”，那么p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
[解析] 命题p ：“B ≠60°”则(A ＋C )－2B ＝π－B －2B ≠0，⇔命题q ：“△ABC 的三个内角A ，B ，C 不成等差数列”，故选C.
[答案] C
5．(2016·浙江卷)已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
[解析] 由题意知f (x )＝x 2
＋bx ＝⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b 2
4，最小值为－b 2
4.令t ＝x 2
＋bx ，则f (f (x ))＝f (t )＝t 2
＋bt ＝⎝⎛⎭⎫t ＋b 22－b 2
4，t ≥－b 2
4，当b <0时，f (f (x ))的最小值为－b
2
4
，所以“b <0”能推出“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”；当b ＝0时，f (f (x ))＝x 4的最小值为0，f (x )的最小值也为0，所以“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”不能推出“b <0”．故选A.
[答案] A
题型三 充分必要条件的应用(重点保分题，共同探讨)
(1)(2018·皖北第一次联考)已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1
＜1，如果p 是q 的充分不必要
条件，则实数k 的取值范围是( )
A ．[2，＋∞)
B ．(2，＋∞)
C ．[1，＋∞)
D ．(－∞，－1)
[解析] ∵3x ＋1＜1，∴3
x ＋1－1＝2－x x ＋1＜0，即(x －2)(x ＋1)＞0，∴x ＞2或x ＜－1，∵p 是q
的充分不必要条件，∴k ＞2.
[答案] B
(2)已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ________ .
[解析] 命题p 为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x |12≤x ≤1，
命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．
綈p 对应的集合A ＝⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫x |x ＞1或x ＜12，
綈q 对应的集合B ＝{x |x ＞a ＋1或x ＜a }．
∵綈p 是綈q 的必要不充分条件．
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1＞1，a ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋1≥1，a ＜12，
∴0≤a ≤1
2.故答案为⎣⎡⎦⎤0，12. [答案] ⎣⎡⎦
⎤0，1
2 方法感悟
根据充要条件求解参数范围的注意点
1．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．
2．求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
【针对补偿】
6．已知条件p ：x 2－3x －4≤0；条件q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是( )
A ．[－1,1]
B ．[－4,4]
C ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)
D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
[解析] p ：－1≤x ≤4，q ：3－m ≤x ≤3＋m (m ＞0)或3＋m ≤x ≤3－m (m <0)，
依题意，
⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＞0，
3－m ≤－1，3＋m ＞4
或
⎩⎪⎨⎪
⎧
m >0，
3－m <－1，3＋m ≥4
或
⎩⎪⎨⎪
⎧
m <0，
3＋m ≤－1，3－m ＞4
或
⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＜0，
3＋m ＜－1，3－m ＞4，
解得m ≤－4或m ≥4，选C.
[答案] C
7．已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <1
2，则m 的取值范围是______．
[解析] 由|x －m |<1得m －1<x <m ＋1，
若13<x <1
2
是|x －m |<1成立的充分不必要条件， 则⎩⎨⎧
m －1≤
13
m ＋1>1
2
或⎩⎨⎧
m －1<
13
m ＋1≥1
2
得－12≤m ≤43
.
[答案] ⎣⎡⎦⎤－12，4
3。