八年级上册数学 全等三角形单元测试题(Word版 含解析)

八年级上册数学全等三角形单元测试题（Word版含解析）
一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
∥，1．如图所示，ABC为等边三角形，P是ABC内任一点，PD AB，PE BC
++=____cm．
∥，若ABC的周长为12cm，则PD PE PF
PF AC
【答案】4
【解析】
【分析】
先说明四边形HBDP是平行四边形，△AHE和△AHE是等边三角形，然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可．
【详解】
∥
解：∵PD AB，PE BC
∴四边形HBDP是平行四边形
∴PD=HB
∵ABC为等边三角形,周长为12cm
∴∠B=∠A=60°,AB=4
∥
∵PE BC
∴∠AHE=∠B=60°
∴∠AHE=∠A=60°
∴△AHE是等边三角形
∴HE=AH
∵∠HFP=∠A=60°
∴∠HFP=∠AHE=60°
∴△AHE是等边三角形，
∴FP=PH
∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm
故答案为4cm．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解答本题的关键．
2．如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5，点 P 是 AD 上的一动点，则 PE+PF 的最小值是_____．
【答案】10
【解析】
利用正多边形的性质，可得点B 关于AD 对称的点为点E ，连接BE 交AD 于P 点，那么有PB=PF ，PE+PF=BE 最小，根据正六边形的性质可知三角形APB 是等边三角形，因此可知BE 的长为10，即PE+PF 的最小值为10.
故答案为10.
3．在ABC ∆中，边AB 、AC 的垂直平分线分别交边BC 于点D 、点E ，20DAE ∠=︒，则BAC ∠=______°.
【答案】80或100
【解析】
【分析】
根据题意，点D 和点E 的位置不确定，需分析谁靠近B 点，则有如下图（图见解析）两种情况：（1）图1中，点E 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，
,BD AD AE CE ==，从而有1,2B DAE C DAE ∠=∠+∠∠=∠+∠，再根据三角形的内角和定理可得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，联立即可求得；（2）图2中，点D 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，从而有3,4B C ∠=∠∠=∠，由三角形的内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，联立即可求得.
【详解】
由题意可分如下两种情况：
（1）图1中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，
1,2B DAE C DAE ∴∠=∠+∠∠=∠+∠
（等边对等角），
两式相加得12B C DAE DAE ∠+∠=∠+∠+∠+∠，
又12DAE BAC ∠+∠+∠=∠
20B C BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠+∠=∠+︒
，
由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，
20180BAC BAC ∴∠+︒+∠=︒
，
80BAC ∴∠=︒
；
（2）图2中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，
3,4B C ∴∠=∠∠=∠
（等边对等角），
两式相加得34B C ∠+∠=∠+∠，
又34DAE BAC ∠+∠+∠=∠，
3420BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠-∠=∠-︒
，
20B C BAC ∴∠+∠=∠-︒
由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，
20180BAC BAC ∴∠-︒+∠=︒
，
100BAC ∴∠=︒
.
故答案为80或100.
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）、等腰三角形的定义和性质（等边对等角）、以及三角形内角和定理，本题的难点在于容易漏掉第二种情况，出现漏解.
4．在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，
∆为等腰三角形，符合条件的C点有36
∠=︒，在x轴或y轴上取点C，使得ABC
ABO
__________个．
【答案】8
【解析】
【分析】
观察数轴，按照等腰三角形成立的条件分析可得答案．
【详解】
解：如下图所示，若以点A为圆心，以AB为半径画弧，与x轴和y轴各有两个交点，
但其中一个会与点B重合，故此时符合条件的点有3个；
若以点B为圆心，以AB为半径画弧，同样与x轴和y轴各有两个交点，
但其中一个与点A重合，故此时符合条件的点有3个；
线段AB的垂直平分线与x轴和y轴各有一个交点，此时符合条件的点有2个．
∴符合条件的点总共有：3＋3＋2=8个．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，可以观察图形，得出答案．
5．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，点D在边AB上，∠ACD=15°，则AD
BC
____．
【答案】
2
2
．
【解析】
【分析】
根据题意作CE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，在CF上截取一点H，使得CH＝DH，连接DH，并设AD＝2x，解直角三角形求出BC（用x表示）即可解决问题．
【详解】
解：作CE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，在CF上截取一点H，使得CH=DH，连接DH．
设AD=2x，
∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，DF 12=AD=x ，AF 3=x ， ∵∠ACD=15°，HD=HC ，
∴∠HDC=∠HCD=15°， ∴∠FHD=∠HDC+∠HCD=30°，
∴DH=HC=2x ，FH 3=x ，
∴AB=AC=2x+23x ，
在Rt △ACE 中，EC 12
=AC=x 3+x ，AE 3=EC 3=x+3x ， ∴BE=AB ﹣AE 3=x ﹣x ，
在Rt △BCE 中，BC 22BE EC =
+=22x ， ∴22
22AD BC x ==． 故答案为：
22． 【点睛】
本题考查的等腰三角形的性质和解直角三角形以及直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
6．如图，在Rt ABC △中，AC BC =，D 是线段AB 上一个动点，把ACD 沿直线CD 折叠，点A 落在同一平面内的A '处，当A D '平行于Rt ABC △的直角边时，ADC ∠的大小为________．
【答案】112.5︒或67.5︒
【解析】
【分析】
当A D '平行于Rt ABC △的直角边时，有两种情况，一是当A D BC '时，二是当A D AC '时，两种情况根据折叠的性质及等腰三角形的性质进行角度的计算即可．
【详解】
如图1，当点D 在线段AB 上，且A D BC '时，45A DB B '∠=∠=︒，
45180ADC A DC '∴∠+∠-=︒︒
，解得112.5A DC ADC '∠=∠=︒.
图1
如图2，当A D AC '时，45A DB A '∠=∠=︒，
45180ADC A DC '∴∠+∠+=︒︒
，解得67.5A DC ADC '∠=∠=︒.
图2
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质，等腰直角三角形的性质，掌握折叠的性质是解题关键．
7．如图，已知每个小方格的边长为1，A 、B 两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C ，使△ABC 是等腰三角形，这样的格点C 有________个。

【答案】8
【解析】
【分析】
分别以A 、B 点为圆心，AB 为半径作圆，找到格点即可（A 、B 、C 共线除外）；此外加上在AB 的垂直平分线上有两个格点，即可得到答案.
【详解】
解：以A 点为圆心，AB 为半径作圆，找到格点即可，（A 、B 、C 共线除外）；以B 点为圆心，AB 为半径作圆，在⊙B 上的格点为C 点；在AB 的垂直平分线上有两个格点．故使△ABC 是等腰三角形的格点C 有8个．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．
8．如图，在第一个△A 1BC 中，∠B ＝30°，A 1B ＝CB ，在边A 1B 上任取一D ，延长CA 2到A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第2个△A 1A 2D ，在边A 2B 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第三个△A 2A 3E ，…按此做法继续下去，第n 个等腰三角形的底角的度数是_____度．
【答案】
1752n - 【解析】
【分析】
先根据∠B ＝30°，AB ＝A 1B 求出∠BA 1C 的度数，在由A 1A 2＝A 1D 根据内角和外角的关系求出∠DA 2A 1的度数，同理求出∠EA 3A 2＝754，∠FA 4A 3＝758,即可得到第n 个等腰三角形的底角的度数＝
1752n ． 【详解】
∵在△ABA 1中，∠B ＝30°，AB ＝A 1B ，
∴∠BA 1C ＝1802
B ︒-∠＝75°， ∵A 1A 2＝A 1D ，∠BA 1
C 是△A 1A 2
D 的外角， ∴∠DA 2A 1＝
12∠BA 1C ＝12×75°＝37.5°； 同理可得，
∠EA 3A
2＝754，∠FA 4A 3＝758
, ∴第n 个等腰三角形的底角的度数＝
1752n ． 故答案为
1
752n -． 【点睛】 此题考查等腰三角形的性质，利用等边对等角求出等腰三角形底角的度数.
9．已知等边△ABC 中，点D 为射线BA 上一点，作DE=DC ，交直线BC 于点E,∠ABC 的平分线BF 交CD 于点F ，过点A 作AH ⊥CD 于H ，当EDC=30︒，CF=43
，则DH=______．
【答案】
23
【解析】
连接AF.
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=BC ，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°.
∵DE=DC ，∠EDC=30°，
∴∠DEC=∠DCE=75°，
∴∠ACF=75°-60°=15°.
∵BF 平分∠ABC ，
∴∠ABF=∠CBF.
在△ABF 和△CBF 中，AB BC ABF CBF BF BF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝， ∴△ABF ≌△CBF ，
∴AF=CF ，
∴∠FAC=∠ACF=15°，∴∠AFH=15°+15°=30°.∵AH⊥CD，
∴AH=1
2
AF=
1
2
CF=
2
3
.
∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，∴∠BDE=75°-60°=15°，∴∠ADH=15°+30°=45°，∴∠DAH=∠ADH=45°，
∴DH=AH=2 3 .
故答案为2 3 .
点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键，注意辅助线的作法.
10．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm，DE=2cm，则BC=_____cm．
【答案】8cm.
【解析】
【详解】
解：如图，延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN=CN，
∵∠EBC=∠E=60°，
∴△BEM 为等边三角形，
∴△EFD 为等边三角形，
∵BE=6cm ，DE=2cm ，
∴DM=4，
∵△BEM 为等边三角形，
∴∠EMB=60°，
∵AN ⊥BC ，
∴∠DNM=90°，
∴∠NDM=36°，
∴NM=2，
∴BN=4，
∴BC=8．
二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）
11．如图，ABC ，分别以AB 、AC 为边作等边三角形ABD 与等边三角形ACE ，连接BE 、CD ，BE 的延长线与CD 交于点F ，连接AF ，有以下四个结论：①BE CD =；②FA 平分EFC ∠；③FE FD =；④FE FC FA +=．其中一定正确的结论有（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】 根据等边三角形的性质证出△BAE ≌△DAC ，可得BE =CD ，从而得出①正确；
过A 作AM ⊥BF 于M ，过A 作AN ⊥DC 于N ，由△BAE ≌△DAC 得出∠BEA =∠ACD ，由等角的补角相等得出∠AEM =∠CAN ，由AAS 可证△AME ≌△ANC ，得到AM =AN ，由角平分线的判定定理得到FA 平分∠EFC ，从而得出②正确；
在FA 上截取FG ，使FG =FE ，根据全等三角形的判定与性质得出△AGE ≌△CFE ，可得AG =CF ，即可求得AF =CF +EF ，从而得出④正确；
根据CF +EF =AF ，CF +DF =CD ，得出CD ≠AF ，从而得出FE ≠FD ，即可得出③错误．
【详解】
∵△ABD 和△ACE 是等边三角形，
∴∠BAD =∠EAC =60°，AE =AC =EC ．
∵∠BAE +∠DAE =60°，∠CAD +∠DAE =60°，
∴∠BAE =∠DAC ，
在△BAE和△DAC中，
∵
AB AD
BAE DAC
AE AC
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BAE≌△DAC（SAS），
∴BE=CD，①正确；
过A作AM⊥BF于M，过A作AN⊥DC于N，如图1．
∵△BAE≌△DAC，
∴∠BEA=∠ACD，
∴∠AEM=∠ACN．
∵AM⊥BF，AN⊥DC，
∴∠AME=∠ANC．
在△AME和△ANC中，∵∠AEM=∠CAN，∠AME=∠ANC，AE=AC，∴△AME≌△ANC，
∴AM=AN．
∵AM⊥BF，AN⊥DC，AM=AN，FA平分∠EFC，②正确；
在FA上截取FG，使FG=FE，如图2．
∵∠BEA=∠ACD，∠BEA+∠AEF=180°，
∴∠AEF+∠ACD=180°，
∴∠EAC+∠EFC=180°．
∵∠EAC=60°，
∴∠EFC=120°．
∵FA平分∠EFC，
∴∠EFA=∠CFA=60°．
∵EF=FG，∠EFA=60°，
∴△EFG是等边三角形，
∴EF=EG．
∵∠AEG+∠CEG=60°，∠CEG+∠CEF=60°，
∴∠AEG=∠CEF，
在△AGE和△CFE中，
∵
AE AC
AEG CEF
EG EF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△AGE≌△CFE（SAS），
∴AG=CF．
∵AF=AG+FG，
∴AF=CF+EF，④正确；
∵CF+EF=AF，CF+DF=CD，CD≠AF，
∴FE≠FD，③错误，
∴正确的结论有3个．
故选C．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作辅助线是解答本题的关键．
12．如图，30
MON
∠=︒．点
1
A，
2
A，
3
A，⋯，在射线ON上，点
1
B，
2
B，
3
B，
⋯，在射线OM上，
112
A B A
∆，
223
A B A
∆，
334
A B A
∆，⋯均为等边三角形，若
1
1
OA=，则201920192020
A B A
∆的边长为（）
A．2017
2B．2018
2C．2019
2D．2020
2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质和30
MON
∠=︒，可求得
11
30
∠=︒
OB A，进而证得
11
OA B
∆是等腰三角形，可求得2
OA的长，同理可得
22
OA B
∆是等腰三角形，可得
222
=
A B OA，同理得规律333、、
=⋅⋅⋅=
n n n
A B OA A B OA，即可求得结果．
【详解】 解：∵30MON ∠=︒，112A B A ∆是等边三角形，
∴11260∠=︒B A A ，1112A B A A =
∴1111230∠=∠-∠=︒OB A B A A MON ，
∴11∠=∠OB A MON ，则11OA B ∆是等腰三角形，
∴111=A B OA ，
∵11OA =，
∴11121==A B A A OA =1，21122=+=OA OA A A ，
同理可得22OA B ∆是等腰三角形，可得222=A B OA =2，
同理得23342==A B 、34482==A B ，
根据以上规律可得：2018201920192=A B ，即201920192020A B A ∆的边长为20182，
故选：B ．
【点睛】
本题属于探索规律题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握等边三角形的三个内角都是60°、等角对等边和探索规律并归纳公式是解题的关键．
13．如图所示，等边三角形的边长依次为2，4，6，8，……，其中1(0,1)A ，
()21,13A --，()31,13A -，4(0,2)A ，()
52,223A --，……，按此规律排下去，则2019A 的坐标为（ ）
A ．(673,6736733-
B ．(673,6736733--
C ．(0,1009)
D ．(674,6746743- 【答案】A
【解析】
【分析】 根据等边三角形的边长依次为2，4，6，8，……，及点的坐标特征，每三个点一个循环，2019÷3=673，A 2019的坐标在第四象限即可得到结论．
【详解】
∵2019÷3=673，
∴顶点A 2019是第673个等边三角形的第三个顶点，且在第四象限．
第673个等边三角形边长为2×673=1346，
∴点A 2019的横坐标为 12⨯1346=673．
点A 2019的纵坐标为673-134632
⨯=673﹣6733．故点A 2019的坐标为：()673,6736733-．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了点的坐标、等边三角形的性质，是点的变化规律，主要利用了等边三角形的性质，确定出点A 2019所在三角形是解答本题的关键．
14．如图，在ABC ∆中，120BAC ︒∠=，点,E F 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的中点，边BC 分别与DE 、DF 相交于点,H G ，且,DE AB DF AC ⊥⊥，连接AD 、AG 、AH ，现在下列四个结论：
①60EDF ︒∠=，②AD 平分GAH ∠，③B ADF ∠=∠，④GD GH =.
则其中正确的结论有（ ）.
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】A
【解析】
【分析】
利用,DE AB DF AC ⊥⊥及四边形的内角和即可得到①正确；；根据三角形内角和与线段的垂直平分线性质得到∠BAH+∠GAC=60︒，无条件证明∠GAD=∠HAD,故②错误；由等量代换得B ADF ∠≠∠，故③错误；利用三角形的内角和与对顶角相等得到GD GH ≠，故④错误.
【详解】
∵,DE AB DF AC ⊥⊥，
∴∠DEA=∠DFA=90︒，
∵120BAC ︒∠=,
∴∠EDF=360︒-∠DEA-∠DFA-∠BAC=60︒，故①正确；
∵120BAC ︒∠=，
∴∠B+∠C=60︒，
∵点,E F 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的中点，,DE AB DF AC ⊥⊥，
∴BH=AH ，AG=CG ，
∴∠BAH=∠B ，∠GAC=∠C ，
∴∠BAH+∠GAC=60︒，
∵无条件证明∠GAD=∠HAD,
∴AD 不一定平分GAH ∠，故②错误；
∵∠ADF+∠DAF=90︒，∠B=∠BAH,
90BAH DAF ∠+∠≠,
∴B ADF ∠≠∠，故③错误；
∵90B BHE ∠+∠=，30B ∠≠ ，
∴ 60BHE ∠≠，
∴60DHG ∠≠，
∴DHG HDG ∠≠∠,
∴GD GH ≠，故④错误，
故选：A.
【点睛】
此题考查线段的垂直平分线的性质，利用三角形的内角和，四边形的内角和求角度，利用对顶角相等，等角对等边推导边的关系.
15．如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=6,∠BAC=120°，点P 、Q 分别是线段BC 、射线BA 上一点，则CQ+PQ 的最小值为（ ）
A ．6
B ．7.5
C ．9
D ．12
【答案】C
【解析】
【分析】 通过作点C 关于直线AB 的对称点，利用点到直线的距离垂线段最短，即可求解.
【详解】
解：如图，作点C 关于直线AB 的对称点1C ，1CC 交射线BA 于
H ，过点1C 作BC 的垂线，垂足为P ，与AB 交于点Q ，CQ+PQ 的长即为1PC 的长.
∵AB=AC=6,∠BAC=120°，
∴∠ABC=30°，
易得BC=63，
在Rt △BHC 中，∠ABC=30°，
∴HC=33，∠BCH=60°，
∴163CC =，
在1Rt △PCC 中，1PCC ∠=60°，
∴19PC =
∴CQ+PQ 的最小值为9，
故选：C.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质以及利用对称点求最小值的问题，认真审题作出辅助线是解题的关键.
16．如图，四边形ABCD 中，∠C=，∠B=∠D=，E ，F 分别是BC ，DC 上的点，当△AEF 的周长最小时，∠EAF 的度数为（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
作点A 关于直线BC 和直线CD 的对称点G 和H ，连接GH ，交BC 、CD 于点E 、F ，连接AE 、AF ，则此时△AEF 的周长最小，由四边形的内角和为360°可知，∠BAD=360°-90°-90°-50°=130°，即∠1+∠2+∠3=130°①，由作图可知，∠1=∠G ，∠3=∠H ，△AGH 的内角和为180°，则2（∠1+∠3）+ ∠2=180°②，又①②联立方程组，解得∠2=80°．
故选D ．
考点：轴对称的应用；路径最短问题．
17．如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，3AC =，4BC =，5AB =,将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段EF 的长为（ ）
A ．52
B ．125
C ．4
D ．53
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用折叠的性质证明出△ECF 是一个等腰直角三角形，因此EF=CE ，然后再根据文中条件综合得出S △ABC =
12AC∙BC=12AB∙CE ，求出CE 进而得出答案即可. 【详解】
根据折叠性质可知：CD=AC=3，BC=B C '=4，∠ACE=∠DCE ，∠BCF=∠B 'CF ，CE ⊥AB ， ∴∠DCE+∠B 'CF=∠ACE+∠BCF ，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECF=45°，
又∵CE ⊥AB ，
∴△ECF 是等腰直角三角形，
∴EF=CE ，
又∵S △ABC =12AC∙BC=12
AB∙CE ， ∴AC∙BC=AB∙CE ，
∵3AC =，4BC =，5AB =,
∴
12
5 CE=，
∴EF
12 5 =.
所以答案为B选项.
【点睛】
本题主要考查了直角三角形与等腰三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
18．如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，下面四个结
论:①BP＝CM；②△ABQ≌△CAP；③∠CMQ的度数不变，始终等于60°；④当第4
3
秒或第
8
3
秒时，△PBQ为直角三角形，正确的有几个 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
①等边三角形ABC中，AB=BC，而AP=BQ，所以BP=CQ．
②根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；
③由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠CMQ=60°；
④设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，当∠PQB=90°时，因为∠B=60°，所以PB=2BQ，即4-t=2t故可得出t的值，当∠BPQ=90°时，同理可得BQ=2BP，即t=2（4-t），由此两种情况即可得出结论．
【详解】
①在等边△ABC中，AB=BC．
∵点P、Q的速度都为1cm/s，
∴AP=BQ，
∴BP=CQ．
只有当CM=CQ时，BP=CM．
故①错误；
②∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP=BQ
，
在△ABQ与△CAP中，
∵
AB CA
ABQ CAP AP BQ
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）．
故②正确；
③点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，
∴∠CMQ=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°．
故③正确；
④设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，即4-t=2t，t=4
3，
当∠BPQ=90°时，∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，得t=2（4-t），t=8
3，
∴当第4
3
秒或第
8
3
秒时，△PBQ为直角三角形．
故④正确．
正确的是②③④，
故选C．
【点睛】
此题是一个综合性题目，主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．熟知等边三角形的三个内角都是60°是解答此题的关键．
19．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②AP＝BQ；③PQ∥AE；④DE＝DP；⑤∠AOE＝120°；其中正确结论的个数为（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【解析】
【分析】
①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE，故①正确；
②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ （ASA），所以AP=BQ；故②正确；
③根据②△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由
∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知③正确；
④根据∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，可知PD≠CD，可知④错误；
⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是
∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，由平角的性质可得∠AOE=120°，可知⑤正确；
【详解】
①∵△ABC和△CDE为等边三角形
∴AC＝BC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCB＝60°
∴∠ACD＝∠BCE
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD＝BE，故①正确；
由（1）中的全等得∠CBE＝∠DAC，且BC＝AC，∠ACB＝∠BCQ＝60°
∴△CQB≌△CPA（ASA），
∴AP＝BQ，故②正确；
∵△CQB≌△CPA，
∴PC＝PQ，且∠PCQ＝60°
∴△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC＝∠DCE＝60°，
∴PQ∥AE，故③正确，
∵∠QCP＝60°，∠DPC＝∠BCA+∠PAC＞60°，
∴PD≠CD，
∴DE≠DP，故④DE＝DP错误；
∵BC∥DE，
∴∠CBE＝∠BED，
∵∠CBE＝∠DAE，
∴∠AOB＝∠OAE+∠AEO＝60°，
∴∠AOE＝120°，故⑤正确，
故选C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判
定与性质，平行线的判定与性质，综合性较强，题目难度较大．
20．如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上的一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC于点D，下列结论中不一定正确的是（）
A．PD=DQ B．DE=1
2
AC C．AE=
1
2
CQ D．PQ⊥AB
【答案】D
【解析】
过P作PF∥CQ交AC于F，∴∠FPD=∠Q，∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，∴∠A=∠AFP=60°，∴AP=PF，∵PA=CQ，∴PF=CQ，在△PFD与△DCQ
中，
FPD Q
PDE CDQ
PF CQ
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，∴△PFD≌△QCD，∴PD=DQ，DF=CD，∴A选项正确，
∵AE=EF，∴DE=1
2
AC，∴B选项正确，∵PE⊥AC，∠A=60°，∴AE=
1
2
AP=
1
2
CQ，∴C选项
正确，故选D．。