2021-2022学年新高一数学暑期衔接讲义-第6讲 集合的基本运算(解析版)

2021-2022学年新高一暑假衔接数学讲义六
集合的基本运算（解析版）
学习目标
1、理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集
2、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集
3、能使用Venn 图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用
教学内容
进门测试
建议5min
1、已知集合(){}
0121|2
=+--=x x m x A 中至多含有一个元素，求实数m 的取值范围．
2、设A={x | x=m 2 –n 2，m 、n ∈ Z}，问8、9、10与集合A 有什么关系？并证明你的结论．
3、已知集合⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧=1,,
m n m M ，{}
0,,2n m m N +=，若M=N ，求m 2008+n 2009． 4、已知集合A={0，1}，B={x | x ∈A ，x ∈N ﹡
} ，C={x | x ⊆ A } 则A 、B 、C 之间有怎样的关系？ 5、已知集合A={x |－2k+6< x <k 2－3}，B={x |－k < x < k }，若A B ，求实数k 的取值范围．
答案：
1、m ≥2；
2、8∈A ，9 ∈ A ，10∉ A ；
3、1；
4、B A ，A ∈C ，B ∈C ；
5、2
13
10+≤
<k ．
课堂导入
建议10min
悖论
悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”．这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比．悖论是自相矛盾的命题．即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立 如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的．
记作A ∩B ，读作“A 交B ”，即A ∩B=｛x |x ∈A 且x ∈B ｝．
用文氏图可以直观地表示A ∩B 的一般情况． 由交集运算的定义，容易得到以下一些基本性质： （1）A ∩B= B ∩A ；（2）A ∩A=A ；（3）A ∩∅=∅；
（4）A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B ；（5）若A ∩B=A ，则有A ⊆B ；反之若A ⊆B ，则A ∩B=A ． 2、并集
一般地，由所有属于集合A 或者属于集合B 的元素组成的集合,叫做A 与B 的并集(union)． 记作A ∪B ，读作“A 并B ”，即A ∪B=｛x |x ∈A 或x ∈B ｝．
用文氏图可以直观地表示A ∪B 的一般情况． 由并集运算的定义，容易得到以下一些基本性质： （1）A ∪B= B ∪A ；（2）A ∪A=A ；（3）A ∪∅= A ；
（4）A ⊆A ∪B ，B ⊆A ∪B ；（5）若A ∪B=B ，则有A ⊆B ；反之若A ⊆B ，则A ∪B=B ． 3、补集
在给定的问题中，若研究的所有集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集(universe)．若A 是全集U 的子集，由U 中不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 在全集U 中的补集(complementary set)，记作A C U ，读作“A 补”，即{}
A x U x x A C U ∉∈=,．
用文氏图可以直观地表示A C U 的一般情况． 由并集运算的定义，容易得到以下一些基本性质：
（1）=A C A U ∅；（2）U A C A U = ；（3）A A C C U U =)(．
4、容斥原理及其应用
在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是： 先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理．对于有限集合P ，我们用n (P )表示P 中的元素个数． 容斥原理（1）
如果被计数的事物有A 、B 两类，那么，A 类或B 类元素个数= A 类元素个数+B 类元素个数－既是A 类又是B 类的元素个数．即 )()()()(B A n B n A n B A n ⋂-+=⋃． 容斥原理（2）
看球赛，38人喜欢看电影，52人喜欢听音乐，既喜欢看球赛又喜欢看电影的有18人，既喜欢听音乐又 喜欢看电影的有16人，三种都喜欢的有12人，问有多少人只喜欢听音乐？
解：设A ＝｛x | x 为喜欢看球赛的人｝，B ＝｛x | x 为喜欢看电影的人｝，C ＝｛x | x 为喜欢听音乐的人｝， 则A ∩B ＝｛x | x 为既喜欢看球赛的人又喜欢看电影的人｝，
B ∩
C ＝｛x | x 为既喜欢听音乐又喜欢看电影的人｝，A ∩B ∩C ＝｛x | x 为三种都喜欢的人｝， A ∪B ∪C ＝｛x | x 为看球赛和电影、听音乐至少喜欢一种｝．
则)(A n =58，)(B n =38，)(C n =52，)(B A n =18，)(C B n =16，)(C B A n =12，
)(C B A n =100，
由)()()()()()()()(C B A n A C n C B n B A n C n B n A n C B A n +---++= 得)()()()()()()()(C B A n C B n B A n C B A n C n B n A n A C n +---++= ＝148－（100＋18＋16－12）＝26，
所以，只喜欢听音乐的人共有n (C )－n (B ∩C )－n (C ∩A )＋n (A ∩B ∩C )＝52－16－26＋12＝22．
【巩固练习】
1．分别用集合符号表示下图的阴影部分：
解：（1）()U
A
B
A B 、（2）()U
U
C
A
B
A B C ．
2．设集合(){}37A x y x y =-=，，集合(){}23B x y x y =+=，，求A B ．
解：联立37
23x y x y -=⎧⎨+=⎩
，可得：{}21A
B =-，．
3．集合{}21A x y x x ==+∈R ，，{}
29B y y x x ==-+∈R ，，则A
B =__________．
解：A =R ，(]9B =-∞，，则(]9A B =-∞，．
4．设(){}
221210B x a x x =--+=，111123C ⎧
⎫=--⎨⎬⎩
⎭，，，
，若B C ，求实数a 的所有值．
解：12a =
时，不符合题意．12a ≠时，有B =∅或113B ⎧
⎫=-⎨⎬⎩
⎭，，进而得1a ≥或1a =-．
{}2U
B =6=- B ，又
C 为单元素集合，
{}2B =，)(
){19U U
A B =，){4U
A B =，(
)U
B =__________解：A ={2，3，B ={2，3，4{3，5，7}．已知集合}
20A x =≥，}1B m =-，当B =∅时，实数m 是__________．解：当B =∅时，B ≠∅时，m ()4+∞，．
，若{}3M
N =-，则3-或213m +=-（舍），故，则A B 中的最小元素是名学生进行调查，了解他们喜欢看球赛、看电影和听音乐的情况．其中人喜欢听音乐，既喜欢看球赛又喜欢看电影的有人，问有多少人只喜欢听音乐？
()
A B．
U
()
A B．
U
f x的“不动点”，若
为()
的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为
{}2B =B A =，求实数R =，U
A B A =，求实数）由于A ={1，2}，{}2A
B =，则301a +=⇒=-或3a =-．
时，{
}
{}24012B x x =-==-，}
{}2
4402x x
x -+==B A =，则U
B A =，则U
B ，则B =∅；=∅，则3∆<<-适合；②若B ≠∅1或3=-，将代入B 的方程得22a a +-a 的取值范围是3-或313-<<--．非空集合M N ⊆，且同时满足条件“若a ∈
（2）只有3个元素的集合M 是否存在？若存在，写出集合M ，若不存在，请说明理由， 并适当改变题目的条件，使满足题意的集合M 可以只有3个元素． （3）用()s M 表示集合M 中所有元素之和，求()s M 的最大值． （4）从以上的工作中你可以得到哪些一般性的结论（规律）？ 解：（1）{1，30}，{2，15}，{3，10}，{5，6}． （2）不存在．若M 中有3个元素，则有30
a a
=
成立，这显然是不符题意的．如将30改成36 （合理情形均可），此时M 的一种情形为{1，6，36}符合条件． （3）M = {1，2，3，5，10，15，30}时，()s M 最大，此时()72s M =． （4）如：正整数n 为完全平方数的充分必要条件是n 的所有正因子个数为奇数．
3．设集合M ={1，2，3，4，5，6}，1S ，2S ，…，k S 都是M 的含两个元素的子集，且满足：
对任意的{}i i i S a b =，，{}
{}()123j j j S a b i j i j k ⋯=≠∈，，、，，，，，都有
min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪
≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭
，，（{}min x y ，表示两个数x ，y 中的较小者），求k 的最大值．
解：对每一个{}{}()123i i i S a b i k ⋯=∈，，，，，min i i i i a b b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
，的取值只有11种，故k 的最大值为11．
当堂检测
建议15min
1、分别用集合符号表示下图的阴影部分：
2、设A={x | x ＞－2}, B={x |x ＜3}, 求A ∩B , A ∪B ．
3、已知A={2，－1，x 2－x +1}，B={2y ，－4，x +4}，C={－1，7}， 且A ∩B=C ，求A ∪B ．
4、若A 、B 、C 为三个集合，C B B A =，则一定有（ ）
(A)C A ⊆ (B)A C ⊆ (C)C A ≠ (D)=A ∅ 5、已知集合A={x ︱x ≤ 2}，B ={x ︱x > a }，在下列条件下分别求实数a 的取值范围：
课后巩固
1、将本节课错题进行组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯；
2、对笔记本进行复习，培养复习习惯。

预习思考
陈二请客，请了张三、李四、王五、赵六一起吃饭。

看看时间过了，赵六还没来没来。

陈二心里很焦急，便说：“怎么搞的，该来的还不来？”张三听到了，心想：“该来的没来，那我是不该来的啰？”于是悄悄地走了。

陈二一看，越发着急了，便说：“怎么不该走的，反倒走了呢？”李四一听，又想：“走了的是不该走的，那我没走的倒是该走的了！”于是也走了，最后只剩下王五，看了这种尴尬的场面，就劝陈二说：“你说话前应该先考虑一下，否则说错了，就不容易收回来了。

”陈二大叫冤枉，急忙解释说：“我并不是叫他们走哇！”王五听了大为光火，说：“不是叫他们走，那就是叫我走了。

”说完，头也不回地离开了。

这个小故事其实还暗含一个数学原理，你知道是什么吗？请听下节课。