2021-2022学年北师大版七年级数学上册第二章 有理数及其运算 章末专题复习练习题(教师版)

2021-2022学年北师大版七年级数学上册第二章 有理数及其运算 章末专题复习练习题
专题课1 绝对值的应用
类型1 绝对值的非负性
①|a |≥0.
①若|a |＋|b |＝0，则a ＝b ＝0.
1．若|x |＝x ，则x 的取值范围是( )
A ．x ＞0
B ．x ≤0
C ．x ≥0
D ．x ＜0 2．若|x －2|＝2－x ，则x 的取值范围是__________． 3．已知|x －3|＋|y －1|＝0，求2x ＋3y 的值．
4．已知有理数|x －2|与|y －3|互为相反数，求x ＋y ＋xy 的值．
类型2 绝对值的最值问题
5．当a ＝2时，|2－a |＋2会有最小值，且最小值是________． 6．当b ＝1
2 时，5－|2b －1|会有最大值，最大值是________．
7．已知x 为有理数，则|x －5|＋|x －3|的最小值是________．
8．同学们都知道：|5－(－2)|表示5与－2之差的绝对值，实际上也可以理解成5和－2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：
(1)若|x －2|＝5，则x ＝________；
(2)由以上探索猜想对于任何有理数x ，|x －3|＋|x －6|有最小值，请写出当x 在什么范围时|x
－3|＋|x －6|有最小值，并求出最小值；
(3)当x 取何值时，|x －2|＋|x －(－3)|＋|x －4|有最小值，最小值是多少？
专题课2 有理数的大小比较
类型1 利用数轴比较有理数的大小
1．如图，数轴上的四个点分别表示有理数a ，b ，c ，d ，则下列说法正确的是( )
A ．a >b
B ．c <0
C ．b <c
D ．－1>d
2．已知有理数在数轴上对应的点如图所示，则a ，－a ，－1，1的大小关系是( )
A ．a ＜－1＜1＜－a
B ．－a ＜－1＜a ＜1
C ．a ＜－1＜－a ＜1
D ．－a ＜－1＜1＜a 3．大于－2.5而小于3.5的整数共有( )
A ．6个
B ．5个
C ．4个
D ．3个
4．已知a ，b 两数在数轴上的位置如图所示，试在数轴上找出表示－a ，－b 的点，并用“＜”连接a ，b ，－a ，－b .
5．在数轴上表示下列各数，并把这些数用“＞”连接起来： 3．5，3.5的相反数，－1
2 ，绝对值等于3的数，最大的负整数．
类型2 利用比较大小的法则比较有理数的大小 6．下列各数中：－1，0，12，0.5，最小的数是( )
A ．0.5
B ．0
C ．12
D ．－1 7．下列比较大小结果正确的是( )
A ．－3＜－4
B ．－(－3)＜|－3|
C ．－12 ＞－13
D ．|－16 |＞－17
8．比较大小：1100 ________－0.009；－2 0192 020 ________－2 0202 019 .
9．已知数：0，－2，1，－3，5.用“＞”把各数连接起来．
类型3 利用绝对值比较大小 10．比较下列各对数的大小： (1)－0.1与－0.2；
(2)－45 与－5
6 ；
(3)－821 与－|－17 |.
类型4 利用特殊值比较有理数的大小
11．如图，数轴上的点表示的有理数是a ，b ，则下列式子正确的是( )
A ．－a ＜b
B ．a ＜b
C ．|a |＜|b |
D ．－a ＜－b 12．如果a >0，b <0，a <|b |，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．－b >a >－a >b B ．a >b >－a >－b C ．－b >a >b >－a D ．b >a >－b >－a
专题课3 一线串起有理数
类型1 数轴与有理数
1．数轴上，如果表示数a 的点在原点的左边，那么a 是( )
A ．正数
B ．负数
C ．零
D ．以上皆有可能
2．点M 为数轴上表示－2的点，将点M 沿数轴向右平移5个单位到点N ，则点N 表示的数是( )
A ．3
B ．5
C ．－7
D ．3或－7
【变式】 在数轴上，点A ，B 分别表示数a ，2，若将点B 在数轴上平移3个单位长度后与点A 重合，则数a 为( )
A ．5
B ．－1
C ．5或－1
D ．5或－2 3．在数轴上，点A 表示数－4，距A 点3个单位长度的点表示的数是________．
4．请在数轴上表示下列各数：－|－3|，4，－1.5，－5，21
2 并将它们用“＞”连接起来，并回
答表示最大数与最小数两点之间相距多少个单位长度？
5．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C.
(1)画出数轴，标出A，B，C三点在数轴上的位置，并写出A，B，C三点表示的数；
(2)根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度得到的？
(3)若蚂蚁从点D出发，先向右爬了7个单位长度，再向左爬了4个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点D表示的数．
类型2数轴与相反数
6．已知数轴上A，B两点间的距离是6，它们分别表示的两个数a、b互为相反数(a＞b)，那么a＝________，b＝________．
7．在数轴上，点A表示1，点B、点C所表示的数互为相反数，且点C与点A间的距离为3，则点B所表示的数是________．
8．小明做题时，画了一个数轴，在数轴上原有一个点A，其表示的数是－3，由于粗心，把数轴的原点标错了位置，使点A正好落在了－3的相反数的位置，想想，要把数轴画正确，原点要向哪个方向移动几个单位长度？( )
A．向右移6个单位长度
B．向右移3个单位长度
C．向左移6个单位长度
D．向左移3个单位长度
9．如图，图中数轴的单位长度为1.请回答下列问题：
(1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？
(2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C、D表示的数是多少？
类型3数轴与绝对值
10．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中所对应的数的绝对值最大的点是( )
A．点A B．点B C．点C D．点D 11．如图，已知数轴的单位长度为1，如果点A，B表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是( )
A．－4 B．0 C．－2 D．4 12．已知a，b是不为0的有理数，且|a|＝－a，|b|＝b，|a|>|b|，那么用数轴上的点来表示a，b时，正确的是( )
13．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，则a＝________，b＝________．
14．如图，奥运福娃在5×5的方格(每小格边长为1 m)上沿着网格线运动．贝贝从A处出发去寻找B，C，D处的其他福娃，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B 记为：A→B(＋1，＋4)，从B到A记为：B→A(－1，－4)，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中
(1)B→D(________)，C→________(－3，－4)；
(2)若贝贝的行走路线为A→B→C→D，请计算贝贝走过的路程．
类型4利用数轴探究问题
15．根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题：
(1)已知点A ，B ，C 表示的数分别为1，－5
2 ，－3，观察数轴，与点A 的距离3的点表示的
数是________，A ，B 两点之间的距离为________；
(2)以点A 为分界点，把数轴折叠，与点B 重合的点表示的数是________；
(3)若将数轴折叠，使得A 点与C 点重合，则与B 点重合的点表示的数是0.5；若此数轴上M ，N 两点之间的距离为11(M 在N 的左侧)，且当A 点与C 点重合时，M 点与N 点也恰好重合，则点M 表示的数是________，点N 表示的数是________． 16．(1)借助数轴，回答下列问题．
①从－1到1有3个整数，分别是________； ①从－2到2有5个整数，分别是________________； ①从－3到3有7个整数，分别是________________________； ①从－100到100有________个整数；
(2)根据以上规律，直接写出，从－3.9到3.9有7个整数，从－10.1到10.1有________个整数；
(3)在单位长度是1 cm 的数轴上任意画一条长为1 000 cm 的线段AB ，线段AB 盖住的整点最多有多少个？
专题课4 有理数的加减运算技巧
有理数的加减运算的简便方法归纳 方法1 相反数结合法
【例1】 计算：(－2)＋3＋1＋(－3)＋2＋(－4).
方法2 同号结合法——把正数和负数分别结合相加 【例2】 计算：(＋9)－(＋10)＋(－2)－(－8)＋3.
方法3 同分母结合法 【例3】 计算：
(1)－23 －35 ＋78 －13 －25 ＋18 ；
(2)－479 －(－315 )－(＋229 )＋(－615 ).
方法4 凑整结合——分数相加，把相加得整数的数先结合相加 【例4】 计算：|－0.75|＋(－3)－(－0.25)＋|－18 |＋78 .
方法5 分解——将一个数拆分成两个数的和或差 【例5】 计算：－156 ＋(－523 )＋2434 ＋31
2 .
方法6 裂项相消法
【例6】 观察下列各式：12 ＝11×2 ＝1－12 ，16 ＝12×3 ＝12 －13 ，112 ＝13×4 ＝13 －1
4 ，…，
根据规律完成下列各题． (1)1
9×10
＝________； (2)计算12 ＋16 ＋112 ＋120 ＋…＋1
9 900
的值为________．
易错点 分解带分数时易弄错符号
【例7】 计算：634 ＋313 －514 －312 ＋12
3 .
强化训练 计算：
(1)(－7)－(＋5)＋(－4)－(－10)；
(2)－9＋6－(＋11)－(－15)；
(3)3.5－4.6＋3.5－2.4；
(4)12 ＋(－23 )＋45 ＋(－12 )＋(－1
3 )；
(5)－478 －(－512 )＋(－412 )－318 ；
(6)0.25＋112 ＋(－23 )－14 ＋(－5
12 )；
(7)|－12 |－(－2.5)－(－1)－|0－21
2 |；
(8)0＋1－[(－1)－(－37 )－(＋5)－(－4
7 )]＋|－4|；
(9)－205＋40034 ＋(－20423 )＋(－11
2 )；
(10)－12 －16 －112 －120 －130 －142 －156 －1
72 ；
(11)1－2－3＋4＋5－6－7＋8＋…＋97－98－99＋100.
专题课5 有理数的混合运算技巧
有理数混合运算的简便方法归纳 方法1 运用乘法的交换律和结合律
【例1】 计算：531 ×(－29 )×(－2115 )×(－41
2 ).
方法2 运用乘法对加法的分配律 【例2】 计算：
(1)－16×(34 －78 ＋1
2 )＋(－1)2020.
(2)3913
14 ×(－14)；
方法3 逆用乘法对加法的分配律
【例3】 计算：4×(－367 )－3×(－367 )－6×36
7 .
方法4 除法变乘法，再利用乘法对加法的分配律 【例4】 计算：(113 －58 ＋712 )÷(－1
24 ).
强化训练
计算：(能用简便方法的尽量用简便方法计算) (1)－0.75×(－112 )÷(－21
4 )；
(2)－(3－5)×32÷(－1)3；
(3)(－1.5)×45 ÷(－25 )×3
4 ；
(4)－14－(12 －23 ＋1
4 )×12；
(5)(－5)÷(－127 )×(－21
4 )÷7；
(6)131
8 ÷(－7)；
(7)(－5)－(－5)×110 ÷1
10 ×(－5)；
(8)2×(－137 )－234 ×13＋(－137 )×5＋1
4 ×(－13)；
(9)12.5×6.787 5×18 ＋1.25×678.75×0.125＋0.125×533.75×1
8 ；
(10)－14－(－512 )×4
11 ＋(－2)3÷|－32＋1|；
(11)1－(－112 )÷(12 －14 －1
6 )；
(12)1－0.52 －|0.5－23 |÷1
3 ×|－2－(－3)2|；
(13)[(－1)2 021－(32 －56 －1
9 )×18]÷|－22|.
2021-2022学年北师大版七年级数学上册第二章有理数及其运算章末专题复习练习题
专题课1绝对值的应用
类型1绝对值的非负性
①|a|≥0.
①若|a|＋|b|＝0，则a＝b＝0.
1．若|x|＝x，则x的取值范围是( C )
A．x＞0 B．x≤0 C．x≥0 D．x＜0
2．若|x－2|＝2－x，则x的取值范围是x≤2．
3．已知|x－3|＋|y－1|＝0，求2x＋3y的值．
解：因为|x－3|和|y－1|均为非负数，
即|x－3|≥0, |y－1|≥0，
又因为|x－3|＋|y－1|＝0，
所以|x－3|＝0，|y－1|＝0.
所以x－3＝0，y－1＝0.
所以x＝3，y＝1.
所以2x＋3y＝2×3＋3×1＝9.
4．已知有理数|x－2|与|y－3|互为相反数，求x＋y＋xy的值．
解：因为|x－2|与|y－3|互为相反数，
所以|x－2|＝－|y－3|.
所以|x－2|＋|y－3|＝0.
所以x－2＝0，y－3＝0.
所以x＝2，y＝3.
所以x＋y＋xy＝2＋3＋2×3＝11.
类型2 绝对值的最值问题
5．当a ＝2时，|2－a |＋2会有最小值，且最小值是2． 6．当b ＝1
2 时，5－|2b －1|会有最大值，最大值是5．
7．已知x 为有理数，则|x －5|＋|x －3|的最小值是2．
8．同学们都知道：|5－(－2)|表示5与－2之差的绝对值，实际上也可以理解成5和－2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：
(1)若|x －2|＝5，则x ＝7或－3；
(2)由以上探索猜想对于任何有理数x ，|x －3|＋|x －6|有最小值，请写出当x 在什么范围时|x －3|＋|x －6|有最小值，并求出最小值；
(3)当x 取何值时，|x －2|＋|x －(－3)|＋|x －4|有最小值，最小值是多少？ 解：(2)当3≤x ≤6时，|x －3|＋|x －6|有最小值，最小值为3. (3) 当x ＝2时，|x －2|＋|x －(－3)|＋|x －4|有最小值，最小值为7.
专题课2 有理数的大小比较
类型1 利用数轴比较有理数的大小
1．如图，数轴上的四个点分别表示有理数a ，b ，c ，d ，则下列说法正确的是( C )
A ．a >b
B ．c <0
C ．b <c
D ．－1>d
2．已知有理数在数轴上对应的点如图所示，则a ，－a ，－1，1的大小关系是( A )
A ．a ＜－1＜1＜－a
B ．－a ＜－1＜a ＜1
C ．a ＜－1＜－a ＜1
D ．－a ＜－1＜1＜a 3．大于－2.5而小于3.5的整数共有( A )
A ．6个
B ．5个
C ．4个
D ．3个
4．已知a ，b 两数在数轴上的位置如图所示，试在数轴上找出表示－a ，－b 的点，并用“＜”连接a ，b ，－a ，－b .
解：－a ，－b 对应的点如图所示． 由数轴上点的位置可得－b ＜a ＜－a ＜b .
5．在数轴上表示下列各数，并把这些数用“＞”连接起来： 3．5，3.5的相反数，－1
2 ，绝对值等于3的数，最大的负整数．
解：各数分别为：3.5，－3.5，－1
2
，±3，－1.在数轴上表示如图：
这些数由大到小用“>”连接为：3.5＞3＞－1
2 ＞－1＞－3＞－3.5.
类型2 利用比较大小的法则比较有理数的大小 6．下列各数中：－1，0，12，0.5，最小的数是( D )
A ．0.5
B ．0
C ．12
D ．－1 7．下列比较大小结果正确的是( D )
A ．－3＜－4
B ．－(－3)＜|－3|
C ．－12 ＞－13
D ．|－16 |＞－17
8．比较大小：1100 ＞－0.009；－2 0192 020 ＞－2 0202 019 .
9．已知数：0，－2，1，－3，5.用“＞”把各数连接起来． 解：5＞1＞0＞－2＞－3.
类型3 利用绝对值比较大小 10．比较下列各对数的大小： (1)－0.1与－0.2；
解：因为|－0.1|＝0.1，|－0.2|＝0.2，且0.1＜0.2，
所以－0.1＞－0.2.
(2)－45 与－56
；
解：因为|－45 |＝45 ＝2430 ，|－56 |＝56 ＝2530 ，
且2430 <25
30 ， 所以－45 >－56 .
(3)－821 与－|－17 |.
解：－|－17 |＝－17
.
因为|－821 |＝821 ，|－17 |＝17 ＝3
21 ，
且821 ＞3
21 ， 所以－821 ＜－|－1
7 |.
类型4 利用特殊值比较有理数的大小
11．如图，数轴上的点表示的有理数是a ，b ，则下列式子正确的是( B )
A ．－a ＜b
B ．a ＜b
C ．|a |＜|b |
D ．－a ＜－b 12．如果a >0，b <0，a <|b |，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( A ) A ．－b >a >－a >b B ．a >b >－a >－b C ．－b >a >b >－a D ．b >a >－b >－a
专题课3 一线串起有理数
类型1 数轴与有理数
1．数轴上，如果表示数a 的点在原点的左边，那么a 是( B )
A ．正数
B ．负数
C ．零
D ．以上皆有可能
2．点M 为数轴上表示－2的点，将点M 沿数轴向右平移5个单位到点N ，则点N 表示的数是( A )
A ．3
B ．5
C ．－7
D ．3或－7
【变式】 在数轴上，点A ，B 分别表示数a ，2，若将点B 在数轴上平移3个单位长度后与点A 重合，则数a 为( C )
A ．5
B ．－1
C ．5或－1
D ．5或－2 3．在数轴上，点A 表示数－4，距A 点3个单位长度的点表示的数是－7或－1． 4．请在数轴上表示下列各数：－|－3|，4，－1.5，－5，21
2 并将它们用“＞”连接起来，并回
答表示最大数与最小数两点之间相距多少个单位长度？ 解：如图所示．
4＞21
2
＞－1.5＞－|－3|＞－5.
最大数与最小数两点之间相距9个单位长度．
5．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A ，再向右爬了2个单位长度到达点B ，然后又向左爬了10个单位长度到达点C .
(1)画出数轴，标出A ，B ，C 三点在数轴上的位置，并写出A ，B ，C 三点表示的数； (2)根据点C 在数轴上的位置，点C 可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度得到的？
(3)若蚂蚁从点D 出发，先向右爬了7个单位长度，再向左爬了4个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点D 表示的数． 解：(1)如图：
A ，
B ，
C 三点表示的数分别为4，6，－4.
(2)点C 可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬了4个单位长度得到的．
(3)从原点向右爬4个单位长度，再向左爬7个单位长度，可以到D ，结合数轴可得，点D 表示的数为－3.
类型2数轴与相反数
6．已知数轴上A，B两点间的距离是6，它们分别表示的两个数a、b互为相反数(a＞b)，那么a＝3，b＝－3．
7．在数轴上，点A表示1，点B、点C所表示的数互为相反数，且点C与点A间的距离为3，则点B所表示的数是2或－4．
8．小明做题时，画了一个数轴，在数轴上原有一个点A，其表示的数是－3，由于粗心，把数轴的原点标错了位置，使点A正好落在了－3的相反数的位置，想想，要把数轴画正确，原点要向哪个方向移动几个单位长度？( A )
A．向右移6个单位长度
B．向右移3个单位长度
C．向左移6个单位长度
D．向左移3个单位长度
9．如图，图中数轴的单位长度为1.请回答下列问题：
(1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？
(2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C、D表示的数是多少？
解：(1)点C表示的数是－1.
(2)点C表示的数是0.5，D表示的数是－4.5.
类型3数轴与绝对值
10．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中所对应的数的绝对值最大的点是( D )
A．点A B．点B C．点C D．点D 11．如图，已知数轴的单位长度为1，如果点A，B表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是( C )
A ．－4
B ．0
C ．－2
D ．4
12．已知a ，b 是不为0的有理数，且|a |＝－a ，|b |＝b ，|a |>|b |，那么用数轴上的点来表示a ，b 时，正确的是( C )
13．有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，且|a |＝2，|b |＝3，则a ＝2或－2，b ＝3．
14．如图，奥运福娃在5×5的方格(每小格边长为1 m)上沿着网格线运动．贝贝从A 处出发去寻找B ，C ，D 处的其他福娃，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A 到B 记为：A →B (＋1，＋4)，从B 到A 记为：B →A (－1，－4)，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中
(1)B →D (＋3，－2)，C →A (－3，－4)；
(2)若贝贝的行走路线为A →B →C →D ，请计算贝贝走过的路程．
解：|＋1|＋|＋4|＋|＋2|＋|0|＋|＋1|＋|－2|＝10(米).
答：贝贝走过的路程为10米．
类型4 利用数轴探究问题
15．根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题：
(1)已知点A ，B ，C 表示的数分别为1，－52
，－3，观察数轴，与点A 的距离3的点表示的数是4或－2，A ，B 两点之间的距离为3.5；
(2)以点A 为分界点，把数轴折叠，与点B 重合的点表示的数是4.5；
(3)若将数轴折叠，使得A 点与C 点重合，则与B 点重合的点表示的数是0.5；若此数轴上M ，N 两点之间的距离为11(M 在N 的左侧)，且当A 点与C 点重合时，M 点与N 点也恰好重合，则点M 表示的数是－6.5，点N 表示的数是4.5．
16．(1)借助数轴，回答下列问题．
①从－1到1有3个整数，分别是－1，0，1；
①从－2到2有5个整数，分别是－2，－1，0，1，2；
①从－3到3有7个整数，分别是－3，－2，－1，0，1，2，3；
①从－100到100有201个整数；
(2)根据以上规律，直接写出，从－3.9到3.9有7个整数，从－10.1到10.1有21个整数；
(3)在单位长度是1 cm的数轴上任意画一条长为1 000 cm的线段AB，线段AB盖住的整点最多有多少个？
解：依题意，得①当线段AB起点在整点时覆盖1 001个数；
①当线段AB起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖1 000个数．
综上所述，线段AB盖住的整点最多有1 001个．
专题课4有理数的加减运算技巧
有理数的加减运算的简便方法归纳
方法1相反数结合法
【例1】计算：(－2)＋3＋1＋(－3)＋2＋(－4).
解：原式＝[(－2)＋2]＋[3＋(－3)]＋1＋(－4)
＝0＋0＋1＋(－4)
＝－3.
方法2同号结合法——把正数和负数分别结合相加
【例2】计算：(＋9)－(＋10)＋(－2)－(－8)＋3.
解：原式＝9－10－2＋8＋3
＝(9＋8＋3)－(10＋2)
＝20－12
＝8.
方法3同分母结合法
【例3】计算：
(1)－23 －35 ＋78 －13 －25 ＋18
； 解：原式＝(－23 －13 )＋(－35 －25 )＋(78 ＋18
) ＝－1－1＋1
＝－1.
(2)－479 －(－315 )－(＋229 )＋(－615
). 解：原式＝[－479 －(＋229 )]＋[－(－315 )＋(－615
)] ＝－7－3
＝－10.
方法4 凑整结合——分数相加，把相加得整数的数先结合相加
【例4】 计算：|－0.75|＋(－3)－(－0.25)＋|－18 |＋78
. 解：原式＝0.75－3＋0.25＋18 ＋78
＝(0.75＋0.25)＋(18 ＋78
)－3 ＝1＋1－3
＝－1.
方法5 分解——将一个数拆分成两个数的和或差
【例5】 计算：－156 ＋(－523 )＋2434 ＋312
. 解：原式＝(－1－56 )＋(－5－23 )＋(24＋34 )＋(3＋12
) ＝[(－1)＋(－5)＋24＋3]＋[(－56 )＋(－23 )＋34 ＋12
] ＝21＋(－14
) ＝2034
.
方法6 裂项相消法
【例6】 观察下列各式：12 ＝11×2 ＝1－12 ，16 ＝12×3 ＝12 －13 ，112 ＝13×4 ＝13 －14
，…，
根据规律完成下列各题．
(1)19×10 ＝19 －110 ； (2)计算12 ＋16 ＋112 ＋120 ＋…＋19 900 的值为99100 ．
易错点 分解带分数时易弄错符号
【例7】 计算：634 ＋313 －514 －312 ＋123
. 解：原式＝6＋34 ＋3＋13 －5－14 －3－12 ＋1＋23
＝(6＋3－5－3＋1)＋(34 ＋13 －14 －12 ＋23
) ＝2＋1
＝3.
强化训练
计算：
(1)(－7)－(＋5)＋(－4)－(－10)；
解：原式＝－7－5－4＋10
＝－6.
(2)－9＋6－(＋11)－(－15)；
解：原式＝－9＋6－11＋15
＝(－9－11)＋(6＋15)
＝－20＋21
＝1.
(3)3.5－4.6＋3.5－2.4；
解：原式＝(3.5＋3.5)＋(－2.4－4.6)
＝7－7
＝0.
(4)12 ＋(－23 )＋45 ＋(－12 )＋(－13
)； 解：原式＝[12 ＋(－12 )]＋[(－23 )＋(－13 )]＋45
＝0＋(－1)＋45
＝－15
.
(5)－478 －(－512 )＋(－412 )－318
； 解：原式＝－478 ＋512 －412 －318
＝(－478 －318 )＋(512 －412
) ＝－8＋1
＝－7.
(6)0.25＋112 ＋(－23 )－14 ＋(－512
)； 解：原式＝14 ＋112 ＋(－23 )－14 ＋(－512
) ＝(14 －14 )＋[112 ＋(－23 )＋(－512
)] ＝－1.
(7)|－12 |－(－2.5)－(－1)－|0－212
|； 解：原式＝12 ＋2.5＋1－212
＝12 ＋1＋(2.5－212
) ＝112
.
(8)0＋1－[(－1)－(－37 )－(＋5)－(－47
)]＋|－4|； 解：原式＝1－[(－1)＋37 －5＋47
]＋4 ＝1－[(－1＋37 ＋47
)－5]＋4 ＝10.
(9)－205＋40034 ＋(－20423 )＋(－112
)； 解：原式＝(－205)＋400＋34 ＋(－204)＋(－23 )＋(－1)＋(－12
) ＝(400－205－204－1)＋(34 －23 －12
) ＝－10＋(－512
) ＝－10512
.
(10)－12 －16 －112 －120 －130 －142 －156 －172
； 解：原式＝－(12 ＋16 ＋112 ＋120 ＋130 ＋142 ＋156 ＋172
) ＝－(1－12 ＋12 －13 ＋13 －14 ＋14 －15 ＋15 －16 ＋16 －17 ＋17 －18 ＋18 －19 ) ＝－(1－19
) ＝－89
.
(11)1－2－3＋4＋5－6－7＋8＋…＋97－98－99＋100.
解：原式＝(1－2)＋(－3＋4)＋(5－6)＋(－7＋8)＋…＋(97－98)＋(－99＋100)
＝－1＋1－1＋1－…－1＋1
＝0.
专题课5 有理数的混合运算技巧
有理数混合运算的简便方法归纳
方法1 运用乘法的交换律和结合律
【例1】 计算：531 ×(－29 )×(－2115 )×(－412
). 解：原式＝－531 ×29 ×3115 ×92
＝－(531 ×3115 )×(29 ×92
) ＝－13
×1 ＝－13
.
方法2 运用乘法对加法的分配律
【例2】 计算：
(1)－16×(34 －78 ＋12
)＋(－1)2020. 解：原式＝－16×34 ＋16×78 －16×12
＋1 ＝－12＋14－8＋1
＝－5.
(2)391314
×(－14)； 解：原式＝(40－114
)×(－14) ＝40×(－14)－114
×(－14) ＝－560＋1
＝－559.
方法3 逆用乘法对加法的分配律
【例3】 计算：4×(－367 )－3×(－367 )－6×367
. 解：原式＝－367
×(4－3＋6) ＝－27.
方法4 除法变乘法，再利用乘法对加法的分配律
【例4】 计算：(113 －58 ＋712 )÷(－124
). 解：原式＝(43 －58 ＋712
)×(－24) ＝43 ×(－24)－58 ×(－24)＋712
×(－24) ＝－32＋15－14
＝－31.
强化训练
计算：(能用简便方法的尽量用简便方法计算)
(1)－0.75×(－112 )÷(－214
)； 解：原式＝－34 ×(－32 )×(－49
) ＝－12
.
(2)－(3－5)×32÷(－1)3；
解：原式＝－(－2)×9÷(－1)
＝－2×9÷1
＝－18.
(3)(－1.5)×45 ÷(－25 )×34
； 解：原式＝32 ×45 ×52 ×34
＝94
.
(4)(2020·成都成华区期末)－14－(12 －23 ＋14
)×12； 解：原式＝－1－12 ×12＋23 ×12－14
×12 ＝－1－6＋8－3
＝－2.
(5)(－5)÷(－127 )×(－214
)÷7； 解：原式＝－5×79 ×94 ×17
＝－54
.
(6)1318
÷(－7)； 解：原式＝1318 ×(－17
) ＝(14－78 )×(－17
) ＝－2＋18
＝－178
.
(7)(－5)－(－5)×110 ÷110
×(－5)； 解：原式＝(－5)－(－5)×110
×10×(－5) ＝－5－25
＝－30.
(8)2×(－137 )－234 ×13＋(－137 )×5＋14
×(－13)； 解：原式＝－137 ×(2＋5)－13×(234 ＋14
) ＝－107
×7－13×3 ＝－10－39
＝－49.
(9)12.5×6.787 5×18 ＋1.25×678.75×0.125＋0.125×533.75×18
； 解：原式＝(12.5×6.787 5＋1.25×678.75＋0.125×533.75)×18
＝[125×(0.678 75＋6.787 5＋0.533 75)]×18
＝125×8×18
＝125.
(10)－14－(－512 )×411
＋(－2)3÷|－32＋1|； 解：原式＝－1＋112 ×411
－8÷8 ＝－1＋2－1
＝0.
(11)1－(－112 )÷(12 －14 －16
)； 解：原式＝1＋112 ÷(612 －312 －212
) ＝1＋112 ÷112
＝1＋1
＝2.
(12)1－0.52
－|0.5－23 |÷13 ×|－2－(－3)2|； 解：原式＝－4－16
×3×11 ＝－4－112
＝－192
.
(13)[(－1)2 021－(32 －56 －19 )×18]÷|－22|.
解：原式＝[(－1)－32 ×18＋56 ×18＋19
×18]÷4 ＝(－1－27＋15＋2)÷4 ＝(－11)÷4
＝－114
.。