2018年高三最新 北京市东城区2018学年度高三综合练习(

北京市东城区2018-2018学年度综合练习（一）
高 三 数 学（文科）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3至9页，共150分。

考试时间120分钟。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题 共40分）
注意事项： 1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，角橡
皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试卷上.
一、选择题：本大题共8小题. 每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．设集合集合},4,2,1,0,1{-=U U M ={－1，1}，则集合M 等于 （ ）
A ．{0，2}
B ．{0，4}
C ．{2，4}
D ．{0，2，4} 2．已知数列}{n a 的前n 项和4,21
a n n S n 则++=等于 （ ）
A ．
30
1
B ．34
1 C ．201
D ．32
1
3．已知非零向量则,,,c b a “⋅=⋅”是“=”的
（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知函数),10)(1(log 2)()(1
≠>-+==-a a x x f
x f y a 且的反函数是则函数
)(x f y = 的图象必过定点
（ ） A ．（2，0） B ．（－2，0）
C ．（0，2）
D ．（0，－2）
5．已知函数),(1,
,
1,16)23()(+∞-∞⎩⎨⎧≥<-+-=在x a x a x a x f x
上单调递减，那么实数a 的取值范围是
（ ）
A ．（0，1）
B ．)3
2,0(
C ．)3
2,83[
D ．)1,8
3[
6．已知双曲线122=-y kx 的一条渐近线与直线012=++y x 垂直，则这双曲线的离心率
是
（ ）
A ．
2
5
B ．
2
3 C ．34
D ．5
7．8名运动员参加男子100米的决赛. 已知运动场有从内到外编号依次为1，2，3，4，5，
6，7，8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字（如：4，5，6），则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有 （ ） A ．360种 B ．4320种 C ．720种 D ．2160种 8．已知函数①x x f ln 3)(=；②x e x f cos 3)(=；③x e x f 3)(=；④x x f cos 3)(=.其中对
于)(x f 定义域内的任意一个自变量1x 都存在唯一个个自变量)()(,212x f x f x 使=3成立的函数是
（ ）
A ．①②④
B ．②③
C ．③
D ．④
第II 卷（共110分）
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在题中横线上。

9． 30tan .
10． 已知x 、y 满足约束条件y x z y x y x 2,2,0,
0+=⎪⎩
⎪⎨⎧≥+≥≥则的最小值为 .
11．已知7
)1(x
x -
展开式的第4项的值等于5，则x = . 12．过点4)1(:)1,21
(22=+-y x C l M 与圆的直线交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小
时，直线l 的方程为 .
13．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12cm ，深2cm
的空穴，则该球的半径是 cm ，表面积是 cm 2. 14．对于数列}{}{},{n n n a a a 为数列定义∆的一阶差分数列，其中
).(1*+∈-=∆N n a a a n n n
若
数
列
{
n
a }的通项公式
n n n a a N n n n a ∆∆∈-=
*的通项公式
则}{),(2
13
252= .
若数列
三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15．（本小题满分13分）
已知函数.sin 2
1
cos sin cos 21)(22x x x x x f --=
（I ）求)(x f 的最小正周期；
（II ）求)(x f 函数图象的对称轴方程； （III ）求)(x f 的单调区间.
16．（本小题满分13分）
已知各项都不相等的等差数列}{n a 的前六项和为60，且2116a a a 和为的等比中项.
（I ）求数列}{n a 的通项公式n n S n a 项和及前；
（II ）若数列}1
{,3),(}{11n
n n n n b b N n a b b b 求数列且满足=∈=-*
+的前n 项和T n . 17．（本小题满分14分） 如图，在
棱长为2的
正
方
体
AB N BC M BD O D C B A ABCD 为的中点为的中点为中,,,11111-的中点，P 为BB 1的中点.
（I ）求证：C B BD 11⊥； （II ）求证MNP BD 平面⊥1；
（III ）求异面直线M C O B 11与所成角的大小.
18．（本小题满分13分） 甲、乙两人射击气球的命中率分别为0.7与0.4，如果每人射击2次. （I ）求甲击中1个气球且乙击中2个气球的概率； （II ）求甲、乙两人击中气球个数相等的概率.
19．（本小题满分13分）
已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为（3，0）.
（I ）求双曲线C 的方程；
（II ）若直线)0,0(≠≠+=m k m kx y 与双曲线C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN
的垂直平分线过点A （0，－1），求实数m 的取值范围.
20．（本小题满分14分）
已知函数1)(,2
1)(2
3
=++-=x x f c bx x x x f 在且处取得极值. （I ）求b 的值；
（II ）若当2)(,]2,1[c x f x <-∈时恒成立，求c 的取值范围； （III ）对任意的2
7
|)()(|],2,1[,2121≤
--∈x f x f x x 是否恒成立？如果成立，给出证明，如果不成立，请说明理由.
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．D 2．A 3．B 4．A 5．C 6．A 7．B 8．C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．3- 10．2 11．7
1
-
12．0342=+-y x 13．10，400π 14．42-n 注：两个空的填空题填对一个得3分.
三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题满分13分）
解：]cos sin 2)sin [(cos 21
)(22x x x x x f --=
)2sin 2(cos 2
1
x x -=
)2
2cos(22π+=
x …………4分 （I ）)(x f 的最小正周期ππ
==2
2T . …………5分
（II ）∈-=
=+k k x k x ,8
2,2
2π
πππ
则Z .
∴)(x f 函数图象的对称轴方程是∈-=
k k x ,8
2π
π Z . …………9分 （注：若写成也可以或Z k k x k x ∈+
=-=,8
38π
πππ） （III ）πππ
π+≤+
≤k x k 24
22令
Z k k x k k x k Z k k x k ∈-≤≤-
≤+≤-∈+
≤≤-
,8
85,
24
22.,8
38
π
πππππ
πππ
ππ
π则令则
故)(x f 的单调区间为.],8,85[Z k k k ∈--
π
πππ …………11分
)(x f 的单调减区间为.],8
3,8[Z k k k ∈+-π
πππ
…………13分
16．（本小题满分13分） 解：（I ）设等差数列}{n a 的公差为d ，则
,601561=+d a …………2分 2,51==d a 解得由
…………3分 32+=∴n a n .
…………5分
)4(2
)
325(+=++=
n n n n S n
…………6分
（II ）由).,2(,
111*--+∈≥=-∴=-N n n a b b a b b n n n n n n
,
3).2(3)41)(1()(()()(,
2111211
12211也适合对时当=+=++--=++++=+-++-+-=≥-----b n n n n b a a a b b b b b b b b n n n n n n n n
))(2(*∈+=∴N n n n b n
…………8分
).2
11(21)2(11+-=+=∴
n n n n b n …………10分
)2
11123(21)2114121311(21--+-=+-++-+-=
n n n n T n )
2)(1(4532+++=n n n
n
…………13分
17．（本小满分13分） 解法一：（I ）连结BC 1 由正方体的性质得BC 1是BD 1在 平面BCC 1B 1内的射影……3分 11BC C B ⊥且，
所以C B BD 11⊥…………5分 又M PM MN = ，
.1MNP BD 平面⊥∴
…………10分
（III ）延长OQ Q B BM BQ Q CB ,,,1连结使到=
.
//.,//111111M C Q B B C QM B C QM ∴=且则
.111所成的角与是异面直线M C O B Q OB ∠∴
…………12分
由于正方体的棱长为2，
15
15
5
32)6()5()3(cos .6,
,5,32
2212121122111=⨯⨯-+=
=+==+==Q OB Q O OO OQ O ABCD BQ B B Q B O B 可求得的中点为设底面则
即异面直线M C O B 11与所成角的大小为arccos 15
15
. …………14分 解法二：（I ）如图建立空间直角坐标系. 则B （2，2，0），C （0，2，0） B 1（2，2，2），D 1（0，0，2）.
),
2,0,2(),2,2,2(11--=--=D B BD
………………3分
C
B BD B BD 1111.0404⊥=-+=⋅
C B B
D 11⊥∴…………5分
（II ）)0,1,2(),1,2,2(),0,2,1(N P M ，
,
0022,0202),
0,1,1(),1,0,1(11=++-=⋅=++-=⋅-==BD BD
,
.,11M PM MN MP BD MN BD =⊥⊥∴ 又
MNP BD 平面⊥∴1.
…………10分
（III ）θ所成的角为与设异面直线M C O B C O 111),2,2,0(),1,1,1(， ).2,0,1(),1,1,1(11-=---=C B 则
…………11分
.1)2()1(0)1(1111=-⨯-+⨯-+⨯-=⋅M C O B
.5155
31|
|||cos 1111=⨯=
⋅=
∴M C O B θ
…………13分
即异面直线M C O B 11与所成角的大小为arccso
.5
15 …………14分
18．（本小题满分13分）
解：（I ）设甲击1个气球且乙击中2个气球为事件A ，事件A 1为甲在2次射击中恰好
击中1个气球，事件A 2为乙在2次射击中恰好击中2个气球.则
.0672.0)4.0)7.03.0()()()()(22
211112121=⋅⋅⨯⋅=⋅=⋅=C C A P A P A A P A P
…………6分
（II ）甲、乙两人击中气球个数相等为相件B ，事件B 1为甲、乙两个都击中2个气球，
事件B 2为甲、乙两人恰好都击中1个气球，事件B 3为甲、乙两人都末击中气球.则
.
3124.0)
6.03.0()6.04.0)(3.0
7.0()4.07.0()
()()()()(20
222212212222222321321=⋅⋅⋅+⨯⋅⨯⋅+⋅⋅⋅=++=++=C C C C C C B P B P B P B B B P B P
答：甲击中1个气球且乙击中2个气球的概率是0.1872，甲、乙两人击中气球个数 相等的概率是0.3124. …………13分
19．（本小题满分13分）
解：（I ）设双曲线方程为).0,0(122
22>>=-b a b
y a x
由已知得.1,,2,32222==+==b c b a c a 得
故双曲线C 的方程为13
22
=-y x . …………6分
（II ）联立⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=.13
,2
2y x m kx y
.0336)31(222=----m kmx x k 整理得
直线与双曲线有两个不同的交点，
⎪⎩⎪⎨⎧>-+=∆≠-∴.
0)31(12,0312
22
k m k …………8分
可得.132
2->k m ①
).
0,0(1
313131,,.31,3132,316).
,(),,(),,(2220
02210221002211≠≠-=-+-=∴⊥-=+=-=+=-=
+m k k k km k m
k MN AB k m
m kx y k km x x x k km x x y x B MN y x N y x M AB 由题意则的中点为设 整理得3k 2=4m +1. ②………………………………10分 将②代入①，得m 2－4m >0，∴m <0或m >4.
又3k 2=4m +1>0（k ≠0），即m >－4
1
.……………………12分 ∴m 的取值范围是（－4
1
，0）∪（4，+∞）.……………………13分 20．（本小题满分14分）
解：（I ）∵f (x )=x 3－
2
1x 2
+bx +c ， ∴f ′(x )=3x 2－x +b .…………………………………………2分 ∵f (x )在x =1处取得极值， ∴f ′(1)=3－1+b =0.
∴b =－2.………………………………………………………5分 （II ）f (x )=x 3－
2
1x 2
－2x +c.
2
∴当)3
,1[--∈x 时，函数f (x )单调递增； 当x ∈（－
3
2
,1）时，函数f (x )单调递减； 当x ∈（1，2]时，函数f (x )单调递增.
∴当x =－
3
2时，f (x )有极大值2722+c.…………………………8分
又,27
2221)1(,27222)2(c c f c c f +<+=-+>+= ∴x ∈[－1，2]时，f (x )最大值为f (2)=2+c.
∴c 2>2+c.
∴c<－1或c>2.……………………………………………………10分
（III ）对任意的2
7
|)()(|],2,1[,2121≤--∈x f x f x x 恒成立. 由（II ）可知，当x =1时，f (x )有极小值－3
2+c.
又,2
3
21)1(c c f +->+=-………………………………12分 ∴x ∈[－1，2]时，f (x )最小值为－3
2
+c.
2
7
|)()(||)()(|min max 21=-≤-∴
x f x f x f x f ，故结论成立.…………14分。