【易错题】九年级数学下期中试卷含答案

【易错题】九年级数学下期中试卷含答案
一、选择题
1．如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是（）
A．①和②B．②和③C．①和③D．①和④
2．如图，△ABC中，DE∥BC，若AD：DB＝2：3，则下列结论中正确的（）
A．
2
3
DE
BC
=B．
2
5
DE
BC
=C．
2
3
AE
AC
=D．
2
5
AE
EC
=
3．如图，在△ABC中，DE∥BC ，
1
2
AD
DB
=，DE=4，则BC的长是（）
A．8 B．10 C．11 D．12
4．已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论正确的是（）
A．AB2＝AC•BC B．BC2＝AC•BC C．AC＝51
2
BC D．BC＝
51
2
AC
5．在函数y＝
21
a
x
+
（a为常数）的图象上有三个点（﹣1，y1），（﹣
1
4
，y2），（
1
2
，
y3），则函数值y1、y2、y3的大小关系是（）
A．y2＜y1＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y3＜y1＜y2
6．如图，在正方形ABCD中，N为边AD上一点，连接BN．过点A作AP⊥BN于点P，连接CP，M为边AB上一点，连接PM，∠PMA＝∠PCB，连接CM，有以下结论：
①△PAM∽△PBC；②PM⊥PC；③M、P、C、B四点共圆；④AN＝AM．其中正确的个数为（）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 7．反比例函数k y x
=与1(0)y kx k =-+≠在同一坐标系的图象可能为（ ） A ． B ． C ． D ．
8．在同一直角坐标系中，函数k y x
=和y=kx ﹣3的图象大致是（ ） A ． B ． C ．
D ．
9．图（1）所示矩形ABCD 中，BC x =，CD y =，y 与x 满足的反比例函数关系如图（2）所示，等腰直角三角形AEF 的斜边EF 过点C ，M 为EF 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A ．当3x =时，EC EM <
B ．当9y =时，E
C EM <
C ．当x 增大时，EC CF ⋅的值增大
D ．当x 增大时，B
E D
F ⋅的值不变
10．如图所示，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，P 是AC 的中点，过 P 点的直线交AB 于点Q ，若以 A 、P 、Q 为顶点的三角形和以A 、B 、C 为顶点的三角形相似，则AQ 的长为 ( )
A．3B．3或4
3
C．3或
3
4
D．
4
3
11．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（）
A．1
2
B．
2
4
C．
1
4
D．
1
3
12．下列变形中：
①由方程
12
5
x-
=2去分母，得x﹣12=10；
②由方程2
9
x=
9
2
两边同除以
2
9
，得x=1；
③由方程6x﹣4=x+4移项，得7x=0；
④由方程2﹣
53
62
x x
-+
=两边同乘以6，得12﹣x﹣5=3（x+3）．
错误变形的个数是（）个．
A．4B．3C．2D．1
二、填空题
13．若点A(m，2)在反比例函数y＝的图象上，则当函数值y≥－2时，自变量x的取值范围是____.
14．一天，小青想利用影子测量校园内一根旗杆的高度，在同一时刻内，小青的影长为2米，旗杆的影长为20米，若小青的身高为1.60米，则旗杆的高度为__________米.
15．如图是由棱长相等的小立方体摆成的几何体的主视图与俯视图，根据视图可以判断组成这个几何体至少要________个小立方体．
16．如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，
点P（3a，a）是反比例函数
k
y
x
（k＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部
分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为▲．
17．如图，点A在双曲线
1
y=
x
上，点B在双曲线
3
y=
x
上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，
若四边形ABCD为矩形，则它的面积为．
18．如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，
AD=6，当AP的长度为__时，△ADP和△ABC相似．
19．如图所示，将一副三角板摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值为_____．
20．如图所示的网格是正方形网格，点P到射线OA的距离为m，点P到射线OB的距离
为n ，则m __________ n ．（填“>”，“=”或“<”）
三、解答题
21．如图，在OABC Y 中，22OA =，45AOC ∠=︒，点C 在y 轴上，点D 是BC 的中点，反比例函数()0k y x x
=>的图象经过点A 、D
（1）求k 的值；（2）求点D 的坐标．
22．如图，在正方形ABCD 中，E 为边AD 上的点，点F 在边CD 上，且CF ＝3FD ，∠BEF ＝90°
（1）求证：△ABE ∽△DEF ；
（2）若AB ＝4，延长EF 交BC 的延长线于点G ，求BG 的长
23．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y （毫克/百毫升）与时间x （时）成正比例；1.5小时后（包括1.5小时）y 与x 成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出一般成人喝半斤低度白酒后，y 与x 之间的函数关系式及相应的自变量取值范围；
（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上21：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．
24．为了预防“甲型H1N1”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y 与x的函数关系式呢？
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？
25．如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片．AD是边BC上的高，BC=40cm，
AD=30cm．从这张硬纸片剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH．使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上．AD与HG的交点为M．
（1）求证：AM HG AD BC
；
（2）求这个矩形EFGH的周长．
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
设小长方形的长为2a ，宽为a ．利用勾股定理求出三角形的三边长即可判断．
【详解】
由题意可知：小长方形的长是宽的2倍，
设小长方形的宽为a ，则长为2a ，
∴图①中的三角形三边长分别为2a ==；
图②中的三角形三边长分别为5a ==；
图③中的三角形三边长分别为==；
==、
5a =，
∴①和②图中三角形不相似；
∵2
2a a ≠≠ ∴②和③图中三角形不相似；
∵2
2a a ≠≠ ∴①和③图中三角形不相似；
55a === ∴①和④图中三角形相似．
故选D
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握熟练掌握基本知识．
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
运用平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．
【详解】
∵AD：DB=2：3，∴AD
AB
=
2
5
．
∵DE∥BC，∴DE
BC
=
AD
AB
=
2
5
，A错误，B正确；
AE AC =
AD
AB
=
2
5
，C错误；
AE EC =
AD
DB
=
2
3
，D错误．
故选B．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．3．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据AD
DB
=
1
2
，可得
AD
AB
=
1
3
，再根据DE∥BC，可得
DE
BC
=
AD
AB
；
接下来根据DE=4，结合上步分析即可求出BC的长.【详解】
∵AD
DB
=
1
2
，
∴AD
AB
=
1
3
，
∵在△ABC中，DE∥BC，
∴DE
BC
=
AD
AB
=
1
3
.
∵DE=4，
∴BC=3DE=12.
故答案选D.
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例的知识，解题的关键是熟练的掌握平行线分线段成比例定理.
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据黄金分割的定义得出
1
2
BC AC
AC AB
==，从而判断各选项．
【详解】
∵点C 是线段AB 的黄金分割点且AC ＞BC ，
∴BC AC AC AB ==，即AC 2=BC•AB，故A 、B 错误；
AB ，故C 错误；
BC=12
AC ，故D 正确； 故选D ．
【点睛】
本题考查了黄金分割，掌握黄金分割的定义和性质是解题的关键．
5．A
解析：A
【解析】
【分析】
先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的值判断出y 1，y 2，y 3的大小关系即可．
【详解】
∵反比例函数的比例系数为a 2+1＞0，∴图象的两个分支在一、三象限，且在每个象限y 随x 的增大而减小．
∵﹣114-＜＜0，∴点（﹣1，y 1），（14
-，y 2）在第三象限，∴y 2＜y 1＜0． ∵12＞0，∴点（
12
，y 3）在第一象限，∴y 3＞0，∴y 2＜y 1＜y 3． 故选A ．
【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据互余角性质得∠PAM ＝∠PBC ，进而得△PAM ∽△PBC ，可以判断①；
由相似三角形得∠APM ＝∠BPC ，进而得∠CPM ＝∠APB ，从而判断②；
根据对角互补，进而判断③；
由△APB ∽△NAB 得
AP AN BP AB
=，再结合△PAM ∽△PBC 便可判断④． 【详解】
解：∵AP ⊥BN ，
∴∠PAM+∠PBA＝90°，
∵∠PBA+∠PBC＝90°，
∴∠PAM＝∠PBC，
∵∠PMA＝∠PCB，
∴△PAM∽△PBC，
故①正确；
∵△PAM∽△PBC，
∴∠APM＝∠BPC，
∴∠CPM＝∠APB＝90°，即PM⊥PC，故②正确；
∵∠MPC+∠MBC＝90°+90°＝180°，
∴B、C、P、M四点共圆，
∴∠MPB＝∠MCB，
故③正确；
∵AP⊥BN，
∴∠APN＝∠APB＝90°，
∴∠PAN+∠ANB＝90°，
∵∠ANB+∠ABN＝90°，
∴∠PAN＝∠ABN，
∵∠APN＝∠BPA＝90°，
∴△PAN∽△PBA，
∴AN PA BA PB
=，
∵△PAM∽△PBC，
∴Al AP BC BP
=，
∴AN AM AB BC
=，
∵AB＝BC，
∴AM＝AN，
故④正确；
故选：A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质、四点共圆，同角的余角相等，判断
出PM⊥PC是解题的关键．
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据反比例函数和一次函数的性质逐个对选项进行分析即可．
【详解】
A 根据反比例函数的图象可知，k>0,因此可得一次函数的图象应该递减，但是图象是递增的，所以A错误；B根据反比例函数的图象可知，k>0,，因此一次函数的图象应该递减，和图象吻合，所以B正确；C根据反比例函数的图象可知，k<0,因此一次函数的图象应该递增，并且过（0,1）点，但是根据图象，不过（0,1），所以C错误；D根据反比例函数的图象可知，k<0,因此一次函数的图象应该递增，但是根据图象一次函数的图象递减，所以D错误．故选B
【点睛】
本题主要考查反比例函数和一次函数的性质，关键点在于系数的正负判断，根据系数识别图象.
8．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据一次函数和反比例函数的特点，k≠0，所以分k＞0和k＜0两种情况讨论．当两函数系数k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案．
【详解】
分两种情况讨论：
①当k＞0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限，没有图像符合要求；
②当k＜0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，A符合要求．
故选A．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．
9．D
解析：D
【解析】
【分析】
由于等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，则△BEC和△DCF都是直角三角形；观察反
比例函数图像得出反比例函数解析式为y=9
x
；当x=3时，y=3，即BC=CD=3，根据等腰直
角三角形的性质得CE=32，CF=32，则C 点与M 点重合；当y =9时，根据反比例函数的解析式得x =1，即BC=1，CD=9，所以EF=102，而EM=52；利用等腰直角三角形的性质B E•DF=BC•CD=xy ，然后再根据反比例函数的性质得BE•DF=9，其值为定值；由于EC•CF=2x ×2y =2xy ，其值为定值．
【详解】
解：因为等腰直角三角形AEF 的斜边EF 过C 点，M 为EF 的中点，所以△BEC 和△DCF 都是直角三角形；观察反比例函数图像得x =3，y =3，则反比例解析式为y=9x
． A 、当x =3时，y =3，即BC=CD=3，所以CE=2BC=32，CF=2CD=32，C 点与M 点重合，则EC=EM ，所以A 选项错误；
B 、当y =9时，x =1，即BC=1，CD=9，所以EC=2，EF=102，EM=52，所以B 选项错误；
C 、因为EC•CF=2x •2y =2×xy =18，所以，EC•CF 为定值，所以C 选项错误；
D 、因为BE•DF=BC•CD=xy =9，即BE•DF 的值不变，所以D 选项正确．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图像：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图像，注意自变量的取值范围．
10．B
解析：B
【解析】
AP AQ AB AC =,264AQ =，AQ=43
，
AP AQ AC AB =,246
AQ =，AQ =3.
点睛：相似常见图形
（1）称为“平行线型”的相似三角形（如图,有“A型”与“X型”图）
（2）如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形，有“反A共角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”，如下图：
11．D
解析：D
【解析】
【分析】
过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．
【详解】
过C点作CD⊥AB，垂足为D．
根据旋转性质可知，∠B′=∠B．
在Rt△BCD中，tanB=
1
3 CD
BD
，
∴tanB′=tanB=1
3
．
故选D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．12．B
【解析】
【分析】
根据方程的不同特点，从计算过程是否正确、方法应用是否得当等方面加以分析．【详解】
①方程
12
5
x-
=2去分母，两边同时乘以5，得x﹣12=10，故①正确．
②方程2
9
x=
9
2
，两边同除以
2
9
，得x=
81
4
；要注意除以一个数等于乘以这个数的倒数，故
②错误．
③方程6x﹣4=x+4移项，得5x=8；要注意移项要变号，故③错误．
④方程2﹣
53
62
x x
-+
=两边同乘以6，得12﹣（x﹣5）=3（x+3）；要注意去分母后，要
把是多项式的分子作为一个整体加上括号，故④错误．
故②③④变形错误．
故选B．
【点睛】
在解方程时，要注意以下问题：（1）去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号；（2）移项时要变号．
二、填空题
13．x≤－2或x＞0【解析】【分析】先把点A（m2）代入解析式得A(22)再根据反比例函数的对称性求出A点关于原点的对称点A（-2-2）再根据函数图像即可求出函数值y≥－2时自变量的取值【详解】把点A（
解析：x≤－2或x＞0
【解析】
【分析】
先把点A（m,2）代入解析式得A(2,2),再根据反比例函数的对称性求出A点关于原点的对称点A’（-2，-2），再根据函数图像即可求出函数值y≥－2时自变量的取值.
【详解】
把点A（m,2）代入y＝，
得A（2,2），
∵点A（2,2）关于原点的对称点A’为（-2，-2），
故当函数值y≥－2时，自变量x的取值范围为x≤－2或x＞0.
【点睛】
此题主要考查反比例函数的图像，解题的关键是利用反比例函数的中心对称性.
14．16【解析】【分析】易得△AOB∽△ECD利用相似三角形对应边的比相等
可得旗杆OA的长度【详解】解：
∵OA⊥DACE⊥DA∴∠CED=∠OAB=90°∵CD∥OE∴∠CDA=∠OBA∴△AO B∽△E
解析：16
【解析】
【分析】
易得△AOB∽△ECD，利用相似三角形对应边的比相等可得旗杆OA的长度．
【详解】
解：∵OA⊥DA，CE⊥DA，
∴∠CED=∠OAB=90°，
∵CD∥OE，
∴∠CDA=∠OBA，
∴△AOB∽△ECD，
∴CE OA16OA
,
DE AB220
==，
解得OA=16．
故答案为16．
15．8【解析】由俯视图可以看出组成这个几何体的底面小正方体有5个由主视图可知第二层最少有2个第三层最少有1个所以组成这个几何体的小正方体的个数最少为5+2+1=8个点睛：本题主要考查学生由三视图判断几何
解析：8
【解析】
由俯视图可以看出组成这个几何体的底面小正方体有5个，由主视图可知第二层最少有2个，第三层最少有1个，所以组成这个几何体的小正方体的个数最少为5+2+1=8个．
点睛：本题主要考查学生由三视图判断几何体，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．做题要掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”．
16．【解析】待定系数法曲线上点的坐标与方程的关系反比例函数图象的对称性正方形的性质【分析】由反比例函数的对称性可知阴影部分的面积和正好为小正方形面积的设小正方形的边长为b图中阴影部分的面积等于9可求出b
解析：
3
y
x =．
【解析】
待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数图象的对称性，正方形的性质．
【分析】由反比例函数的对称性可知阴影部分的面积和正好为小正方形面积的，设小正方形的边长为b，图中阴影部分的面积等于9可求出b的值，从而可得出直线AB的表达式，再根据点P（3a，a）在直线AB上可求出a的值，从而得出反比例函数的解析式：
∵反比例函数的图象关于原点对称，∴阴影部分的面积和正好为小正方形的面积．
设正方形的边长为b，则b2=9，解得b=6．
∵正方形的中心在原点O，∴直线AB的解析式为：x=3．
∵点P（3a，a）在直线AB上，∴3a=3，解得a=1．∴P（3，1）．
∵点P在反比例函数
3
y
x
（k＞0）的图象上，∴k=3×1=3．
∴此反比例函数的解析式为：．
17．2【解析】【分析】【详解】如图过A点作AE⊥y轴垂足为E∵点A在双曲线上∴四边形AEOD的面积为1∵点B在双曲线上且AB∥x轴∴四边形BEOC的面积为3∴四边形ABCD为矩形则它的面积为3－1＝2
解析：2
【解析】
【分析】
【详解】
如图，过A点作AE⊥y轴，垂足为E，
∵点A在双曲线
1
y=
x
上，∴四边形AEOD的面积为1
∵点B在双曲线
3
y=
x
上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC的面积为3
∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3－1＝2
18．4或9【解析】当△ADP∽△ACB时需有∴解得AP＝9当△ADP∽△ABC时需有
∴解得AP＝4∴当AP的长为4或9时△ADP和△ABC相似解析：4或9．
【解析】
当△ADP∽△ACB时，需有AP AD
AB AC
=，∴
6
128
AP
=，解得AP＝9．当△ADP∽△ABC时，需
有AP AD
AC AB
=，∴
6
812
AP
=，解得AP＝4．∴当AP的长为4或9时，△ADP和△ABC相
似．
19．【解析】【分析】如图所示连接BD过点D作DE垂直于BC的延长线于点E构造直角三角形将∠CBD置于直角三角形中设CE为x根据特殊直角三角形分别求得线段CDACBC从而按正切函数的定义可解【详解】解：如
解析：31 -
【解析】
【分析】
如图所示，连接BD，过点D作DE垂直于BC的延长线于点E，构造直角三角形，将∠CBD置于直角三角形中，设CE为x，根据特殊直角三角形分别求得线段CD、AC、BC，从而按正切函数的定义可解．
【详解】
解：如图所示，连接BD，过点D作DE垂直于BC的延长线于点E,
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°
∴∠DCE＝45°，
∵DE⊥CE
∴∠CEB＝90°，∠CDE＝45°
∴设DE＝CE＝x，则CD2x，
在Rt△ACD中，
∵∠CAD＝30°，
∴tan∠CAD=
3
3
＝
CD
AC
，
则AC6x，
在Rt△ABC中，∠BAC＝∠BCA＝45°
∴BC ＝3x ， ∴在Rt △BED 中，tan ∠CBD ＝DE BE ＝(13)x +＝31- 故答案为：
31-． 【点睛】 本题考查了用定义求三角函数，同时考查了特殊角的三角函数值，如何作辅助线，是解题的关键． 20．>【解析】【分析】由图像可知在射线上有一个特殊点点到射线的距离点到射线的距离于是可知利用锐角三角函数即可判断出【详解】由题意可知：找到特殊点如图所示：设点到射线的距离点到射线的距离由图可知【点睛】本 解析：>
【解析】
【分析】
由图像可知在射线OP 上有一个特殊点Q ,点Q 到射线OA 的距离2QD =，点Q 到射线OB 的距离1QC =，于是可知AOP BOP ∠>∠ ,利用锐角三角函数
sin sin AOP BOP ∠>∠ ,即可判断出m n >
【详解】
由题意可知：找到特殊点Q ，如图所示：
设点Q 到射线OA 的距离QD ，点Q 到射线OB 的距离QC
由图可知2QD =1QC =
∴ 2sin QD AOP OP ∠==1sin QC BOP OP OP ∠== ∴sin sin AOP BOP ∠>∠,
∴m n OP OP
> ∴m n >
【点睛】
本题考查了点到线的距离，熟知在直角三角形中利用三角函数来解角和边的关系是解题关键.
三、解答题
21．（1）4k =；（2）()1,4D .
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件求出A 点坐标即可；
（2）四边形OABC 是平行四边形OABC ，则有AB x ⊥轴，可知B 的横纵标为2，D 点的横坐标为1，结合解析式即可求解；
【详解】
（1）Q OA =45AOC ∠=︒，
∴()2,2A ，
∴4k =， ∴4y x
=； （2）四边形OABC 是平行四边形OABC ，
∴AB x ⊥轴，
∴B 的横纵标为2，
Q 点D 是BC 的中点，
∴D 点的横坐标为1，
∴()1,4D ；
【点睛】
本题考查反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质；利用平行四边形的性质确定点B 的横坐标是解题的关键．
22．（1）详见解析；（2）10
【解析】
【分析】
（1）由正方形的性质得出∠A ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝AD ，AD ∥BC ，证出∠ABE ＝∠DEF ，即可得出△ABE ∽△DEF ；
（2）求出DF ＝1，CF ＝3，由相似三角形的性质得出
AE AB DF DE =，解得DE ＝2，证明△EDF ∽△GCF ，得出
DE DF CG CF
= ，求出CG ＝6，即可得出答案． 【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形，
∴∠A ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝AD ，AD ∥BC ，
∵∠BEF ＝90°，
∵∠AEB +∠EBA ＝∠DEF +∠EBA ＝90°，
∴∠ABE ＝∠DEF ，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD，∴DF＝1，CF＝3，
∵△ABE∽△DEF，
∴AE AB
DF DE
=，即
44
1
DE
DE
-
=，
解得：DE＝2，
∵AD∥BC，
∴△EDF∽△GCF，
∴DE DF
CG CF
=，即
21
3
CG
=，
∴CG＝6，
∴BG＝BC+CG＝4+6＝10．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定及性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.
23．（1）
100(0 1.5)
225
( 1.5)
x x
y
x
x
⎧
⎪
=⎨
⎪⎩
剟
…
；（2）第二天早上7：00不能驾车去上班，见解析．
【解析】
【分析】
（1）直接利用待定系数法分别求出反比例函数以及一次函数的解析式得出答案；（2）根据题意得出x=10时y的值进而得出答案．
【详解】
（1）由题意可得：当0≤x≤1.5时，设函数关系式为：y=kx，则150=1.5k，解得：
k=100，故y=100x，当1.5≤x时，设函数关系式为：y
a
x
=，则a=150×1.5=225，解得：
a=225，故y
225
x
=（x≥1.5）．
综上所述：y与x之间的两个函数关系式为：y
()
()
1000 1.5
225
1.5
x x
x
x
⎧≤≤
⎪
=⎨
≥
⎪⎩
；
（2）第二天早上7：00不能驾车去上班．理由如下：
∵晚上21：00到第二天早上7：00，有10小时，∴x=10时，y
225
10
==22.5＞20，∴第二
天早上7：00不能驾车去上班．
【点睛】
本题考查了反比例函数的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是灵活掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用函数解决实际问题，属于中考常考题型．
24．（1）()3084{?48(8)x x y x x
≤≤=>；（2）至少需要30分钟后生才能进入教室．（3）这次消毒是有效的．
【解析】
【分析】
（1）药物燃烧时，设出y 与x 之间的解析式y=k 1x ，把点（8，6）代入即可，从图上读出x 的取值范围；药物燃烧后，设出y 与x 之间的解析式y=
2k x ，把点（8，6）代入即可； （2）把y=1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x ；
（3）把y=3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x ，两数之差与10进行比较，大于或等于10就有效．
【详解】
解：（1）设药物燃烧时y 关于x 的函数关系式为y=k 1x （k 1＞0）代入（8，6）为6=8k 1 ∴k 1=34
设药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为y=2k x （k 2＞0）代入（8，6）为6=2k 8
， ∴k 2=48 ∴药物燃烧时y 关于x 的函数关系式为3y x 4=
（0≤x≤8）药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为48y x
=（x ＞8） ∴()30x 84y 48(8)x
x x ⎧≤≤⎪⎪⎨=⎪>⎪⎩ （2）结合实际，令48y x =
中y≤1.6得x≥30 即从消毒开始，至少需要30分钟后生才能进入教室．
（3）把y=3代入3y x 4=
，得：x=4 把y=3代入48y x
=
，得：x=16 ∵16﹣4=12
所以这次消毒是有效的．
【点睛】
现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间
的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
25．（1）证明见解析；（2）72cm．
【解析】
【分析】
（1）根据矩形性质得出∠AHG=∠ABC，再证明△AHG∽△ABC，即可得出结论；（2）根据（1）中比例式即可求出HE的长度，以及矩形的周长．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形EFGH为矩形，
∴EF∥GH，
∴∠AHG=∠ABC，
又∵∠HAG=∠BAC，
∴△AHG∽△ABC，
∴AM HG AD BC
=；
（2）解：由（1）AM HG
AD BC
=得：设HE=xcm，则MD=HE=xcm．
∵AD=30cm，
∴AM=（30﹣x）cm．∵HG=2HE，
∴HG=（2x）cm，
可得：30
3040
x x
-
=，
解得：x=12，
故HG=2x=24，
所以矩形EFGH的周长为：2×（12+24）=72（cm）．
答：矩形EFGH的周长为72cm．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据矩形性质得出△AHG∽△ABC是解决问题的关键．。